性质1： E [ X ] = ∫ 0 ∞ ( 1 − F ( x ) ) d x − ∫ − ∞ 0 F ( x ) d x ( 1 ) E[X]=\int_0^{\infty}(1-F(x))dx - \int_{-\infty}^0F(x)dx\quad (1) E[X]=∫0∞(1−F(x))dx−∫−∞0F(x)dx(1)
证明：
E [ X ] = ∫ − ∞ + ∞ x p ( x ) d x E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty}xp(x)dx E[X]=∫−∞+∞xp(x)dx
= ∫ 0 ∞ x p ( x ) d x + ∫ − ∞ 0 x p ( x ) d x = \int_0^{\infty}xp(x)dx + \int_{-\infty}^0xp(x)dx =∫0∞xp(x)dx+∫−∞0xp(x)dx
= ∫ 0 + ∞ ∫ 0 x p ( x ) d y d x − ∫ − ∞ 0 ∫ 0 x p ( x ) d y d x =\int_{0}^{+\infty} \int_0^xp(x)dydx - \int_{-\infty}^0\int_0^xp(x)dydx =∫0+∞∫0xp(x)dydx−∫−∞0∫0xp(x)dydx
= ∫ 0 + ∞ ∫ y ∞ p ( x ) d x d y − ∫ − ∞ 0 ∫ − ∞ y p ( x ) d x d y = \int_0^{+\infty}\int_y^{\infty}p(x)dxdy -\int_{-\infty}^0\int_{-\infty}^{y}p(x)dxdy =∫0+∞∫y∞p(x)dxdy−∫−∞0∫−∞yp(x)dxdy
= ∫ 0 ∞ ( 1 − F ( y ) ) d y − ∫ − ∞ 0 F ( y ) d y =\int_0^{\infty}(1-F(y))dy - \int_{-\infty}^0F(y)dy =∫0∞(1−F(y))dy−∫−∞0F(y)dy
= ∫ 0 ∞ ( 1 − F ( x ) ) d x − ∫ − ∞ 0 F ( x ) d x =\int_0^{\infty}(1-F(x))dx - \int_{-\infty}^0F(x)dx =∫0∞(1−F(x))dx−∫−∞0F(x)dx
性质2： E [ X 2 k ] = = 2 k [ ∫ 0 ∞ x 2 k − 1 ( 1 − F ( x ) ) d x + ∫ 0 ∞ x 2 k − 1 F ( x ) d x ] ( 2 ) E[X^{2k}] = =2k[\int_0^{\infty}x^{2k-1}(1-F(x))dx + \int_0^{\infty}x^{2k-1}F(x)dx] \quad (2) E[X2k]==2k[∫0∞x2k−1(1−F(x))dx+∫0∞x2k−1F(x)dx](2)
证明：
E [ X 2 k ] = ∫ − ∞ + ∞ x 2 k p ( x ) d x E[X^{2k}] = \int_{-\infty}^{+\infty}x^{2k}p(x)dx E[X2k]=∫−∞+∞x2kp(x)dx
= ∫ 0 + ∞ x 2 k p ( x ) d x + ∫ − ∞ 0 x 2 k p ( x ) d x = \int_0^{+\infty}x^{2k}p(x)dx + \int_{-\infty}^{0}x^{2k}p(x)dx =∫0+∞x2kp(x)dx+∫−∞0x2kp(x)dx
= ∫ 0 + ∞ ∫ 0 x 2 k p ( x ) d y d x + ∫ − ∞ 0 ∫ 0 x 2 k p ( x ) d y d x =\int_{0}^{+\infty}\int_0^{x^{2k}}p(x)dydx + \int_{-\infty}^{0}\int_0^{x^{2k}}p(x)dydx =∫0+∞∫0x2kp(x)dydx+∫−∞0∫0x2kp(x)dydx
= ∫ 0 ∞ ∫ y 1 / 2 k ∞ p ( x ) d x d y + ∫ 0 ∞ ∫ − ∞ − y 1 / 2 k p ( x ) d x d y =\int_0^{\infty}\int_{y^{1/2k}}^{\infty}p(x)dxdy + \int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{-y^{1/2k}}p(x)dxdy =∫0∞∫y1/2k∞p(x)dxdy+∫0∞∫−∞−y1/2kp(x)dxdy
= ∫ 0 ∞ ( 1 − F ( y 1 / 2 k ) ) d y + ∫ 0 ∞ F ( − y 1 / 2 k ) d y =\int_0^{\infty}(1-F(y^{1/2k}))dy + \int_0^{\infty}F(-y^{1/2k})dy =∫0∞(1−F(y1/2k))dy+∫0∞F(−y1/2k)dy
u = y 1 / 2 k , y = u 2 k , d y = 2 k u 2 k − 1 d u u = y^{1/2k}, y = u^{2k},dy=2ku^{2k-1}du u=y1/2k,y=u2k,dy=2ku2k−1du
v = − y 1 / 2 k , y = v 2 k , d y = 2 k v 2 k − 1 d v v=-y^{1/2k},y = v^{2k},dy=2kv^{2k-1}dv v=−y1/2k,y=v2k,dy=2kv2k−1dv
E [ X 2 k ] = ∫ 0 ∞ 2 k u 2 k − 1 ( 1 − F ( u ) ) d u + ∫ 0 ∞ 2 k v 2 k − 1 F ( v ) d v E[X^{2k}]=\int_0^{\infty}2ku^{2k-1}(1-F(u))du + \int_0^{\infty}2kv^{2k-1}F(v)dv E[X2k]=∫0∞2ku2k−1(1−F(u))du+∫0∞2kv2k−1F(v)dv
= ∫ 0 ∞ 2 k x 2 k − 1 ( 1 − F ( x ) ) d x + ∫ 0 ∞ 2 k x 2 k − 1 F ( x ) d x =\int_0^{\infty}2kx^{2k-1}(1-F(x))dx + \int_0^{\infty}2kx^{2k-1}F(x)dx =∫0∞2kx2k−1(1−F(x))dx+∫0∞2kx2k−1F(x)dx
= 2 k [ ∫ 0 ∞ x 2 k − 1 ( 1 − F ( x ) ) d x + ∫ 0 ∞ x 2 k − 1 F ( x ) d x ] =2k[\int_0^{\infty}x^{2k-1}(1-F(x))dx + \int_0^{\infty}x^{2k-1}F(x)dx] =2k[∫0∞x2k−1(1−F(x))dx+∫0∞x2k−1F(x)dx]
性质3： E [ X 2 k + 1 ] = ( 2 k + 1 ) [ ∫ 0 ∞ x 2 k ( 1 − F ( x ) ) d x − ∫ 0 ∞ x 2 k F ( x ) d x ] ( 3 ) E[X^{2k + 1}]=(2k+1)[\int_0^{\infty}x^{2k}(1-F(x))dx - \int_0^{\infty}x^{2k}F(x)dx]\quad (3) E[X2k+1]=(2k+1)[∫0∞x2k(1−F(x))dx−∫0∞x2kF(x)dx](3)
证明：
E [ X 2 k + 1 ] = ∫ − ∞ + ∞ x 2 k + 1 p ( x ) d x E[X^{2k + 1}] = \int_{-\infty}^{+\infty}x^{2k + 1}p(x)dx E[X2k+1]=∫−∞+∞x2k+1p(x)dx
= ∫ 0 + ∞ x 2 k + 1 p ( x ) d x + ∫ − ∞ 0 x 2 k + 1 p ( x ) d x = \int_0^{+\infty}x^{2k+1}p(x)dx + \int_{-\infty}^{0}x^{2k + 1}p(x)dx =∫0+∞x2k+1p(x)dx+∫−∞0x2k+1p(x)dx
= ∫ 0 + ∞ ∫ 0 x 2 k + 1 p ( x ) d y d x − ∫ − ∞ 0 ∫ x 2 k + 1 0 p ( x ) d y d x =\int_{0}^{+\infty}\int_0^{x^{2k + 1}}p(x)dydx - \int_{-\infty}^{0}\int_{x^{2k + 1}}^0p(x)dydx =∫0+∞∫0x2k+1p(x)dydx−∫−∞0∫x2k+10p(x)dydx
= ∫ 0 ∞ ∫ y 1 / ( 2 k + 1 ) ∞ p ( x ) d x d y − ∫ 0 ∞ ∫ − ∞ y 1 / ( 2 k + 1 ) p ( x ) d x d y =\int_0^{\infty}\int_{y^{1/(2k+1)}}^{\infty}p(x)dxdy - \int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{y^{1/(2k+1)}}p(x)dxdy =∫0∞∫y1/(2k+1)∞p(x)dxdy−∫0∞∫−∞y1/(2k+1)p(x)dxdy
= ∫ 0 ∞ ( 1 − F ( y 1 / ( 2 k + 1 ) ) ) d y − ∫ 0 ∞ F ( y 1 / ( 2 k + 1 ) ) d y =\int_0^{\infty}(1-F(y^{1/(2k+1)}))dy - \int_0^{\infty}F(y^{1/(2k+1)})dy =∫0∞(1−F(y1/(2k+1)))dy−∫0∞F(y1/(2k+1))dy
u = y 1 / ( 2 k + 1 ) , y = u 2 k + 1 , d y = ( 2 k + 1 ) u 2 k d u u = y^{1/(2k+1)}, y = u^{2k+1},dy=(2k+1)u^{2k}du u=y1/(2k+1),y=u2k+1,dy=(2k+1)u2kdu
E [ X 2 k + 1 ] = ∫ 0 ∞ ( 2 k + 1 ) u 2 k ( 1 − F ( u ) ) d u − ∫ 0 ∞ ( 2 k + 1 ) u 2 k F ( u ) d u E[X^{2k+1}]=\int_0^{\infty}(2k+1)u^{2k}(1-F(u))du - \int_0^{\infty}(2k+1)u^{2k}F(u)du E[X2k+1]=∫0∞(2k+1)u2k(1−F(u))du−∫0∞(2k+1)u2kF(u)du
= ∫ 0 ∞ ( 2 k + 1 ) x 2 k ( 1 − F ( x ) ) d x − ∫ 0 ∞ ( 2 k + 1 ) x 2 k F ( x ) d x =\int_0^{\infty}(2k+1)x^{2k}(1-F(x))dx - \int_0^{\infty}(2k+1)x^{2k}F(x)dx =∫0∞(2k+1)x2k(1−F(x))dx−∫0∞(2k+1)x2kF(x)dx
= ( 2 k + 1 ) [ ∫ 0 ∞ x 2 k ( 1 − F ( x ) ) d x − ∫ 0 ∞ x 2 k F ( x ) d x ] =(2k+1)[\int_0^{\infty}x^{2k}(1-F(x))dx - \int_0^{\infty}x^{2k}F(x)dx] =(2k+1)[∫0∞x2k(1−F(x))dx−∫0∞x2kF(x)dx]
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