考研数学（4/9）：微分方程

微分方程

微分方程是高等数学中一个重要的分支，也是考研数学数一中必考的内容。本章主要介绍微分方程的概念、一阶微分方程、高阶线性微分方程以及微分方程的应用。

1. 微分方程的概念

1.1 微分方程的定义

微分方程 是指包含未知函数及其导数的方程。

更准确地说，如果一个方程包含一个或多个未知函数及其导数，那么这个方程称为微分方程。

例如：

y' + 2y = x 是一个微分方程，其中 y 是未知函数，y' 是 y 的一阶导数。
y'' + y = sin(x) 是一个微分方程，其中 y 是未知函数，y'' 是 y 的二阶导数。

1.2 微分方程的分类

微分方程可以根据不同的标准进行分类：

常微分方程： 只包含一个自变量的微分方程。
偏微分方程： 包含多个自变量的微分方程。
线性微分方程： 未知函数及其导数都是线性的微分方程。
非线性微分方程： 未知函数及其导数中至少有一个是非线性的微分方程。
微分方程的阶数： 微分方程中最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。

例如：

y' + 2y = x 是一个一阶常系数线性微分方程。
y'' + y = sin(x) 是一个二阶常系数线性微分方程。
y' + y^2 = x 是一个一阶非线性微分方程。

1.3 微分方程的解

微分方程的解 是指满足微分方程的函数。

更准确地说，如果函数 y(x) 满足微分方程，那么称 y(x) 是该微分方程的解。

例如：

微分方程 y' + 2y = x 的一个解为 y(x) = (1/2)x - (1/4) + Ce^(-2x)，其中 C 为任意常数。

求解微分方程的过程称为解微分方程。

2. 一阶微分方程

2.1 可分离变量方程

可分离变量方程 是指可以将未知函数和自变量分离的微分方程。

更准确地说，如果微分方程可以写成以下形式：

f(y)dy = g(x)dx

那么这个微分方程称为可分离变量方程。

求解可分离变量方程的方法是将两边分别积分：

∫f(y)dy = ∫g(x)dx

例如：

求解微分方程 y' = xy：
- 将两边分别积分：

        ∫dy/y = ∫xdx

计算积分：

        ln|y| = (1/2)x^2 + C

解出 y：

        y = Ce^(x^2/2)

2.2 齐次方程

齐次方程 是指可以写成以下形式的微分方程：

y' = f(y/x)

求解齐次方程的方法是进行变量替换：

u = y/x

则有：

y = ux

将 y 和 y' 代入原方程，得到一个关于 u 和 x 的可分离变量方程，然后求解即可。

例如：

求解微分方程 y' = (y + x) / x：
- 进行变量替换：

        u = y/x

则有：

        y = ux

将 y 和 y' 代入原方程，得到：

        u'x + u = (ux + x) / x

化简得到：

        u'x = 1

将两边分别积分：

        ∫du = ∫dx/x

计算积分：

        u = ln|x| + C

将 u 代回，得到：

        y/x = ln|x| + C

解出 y：

        y = x(ln|x| + C)

2.3 一阶线性方程

一阶线性方程 是指可以写成以下形式的微分方程：

y' + p(x)y = q(x)

求解一阶线性方程的方法是使用积分因子：

μ(x) = e^(∫p(x)dx)

将积分因子乘以原方程，得到：

μ(x)y' + μ(x)p(x)y = μ(x)q(x)

左侧可以写成 (μ(x)y)'，然后将两边分别积分即可。

例如：

求解微分方程 y' + 2y = x：
- 计算积分因子：

        μ(x) = e^(∫2dx) = e^(2x)

将积分因子乘以原方程，得到：

        e^(2x)y' + 2e^(2x)y = xe^(2x)

左侧可以写成 (e^(2x)y)'，然后将两边分别积分：

        ∫(e^(2x)y)'dx = ∫xe^(2x)dx

计算积分：

        e^(2x)y = (1/2)xe^(2x) - (1/4)e^(2x) + C

解出 y：

        y = (1/2)x - (1/4) + Ce^(-2x)

2.4 伯努利方程

伯努利方程 是指可以写成以下形式的微分方程：

y' + p(x)y = q(x)y^n

其中 n 是一个实数，且 n ≠ 0，n ≠ 1。

求解伯努利方程的方法是进行变量替换：

u = y^(1-n)

则有：

y = u^(1/(1-n))

将 y 和 y' 代入原方程，得到一个关于 u 和 x 的一阶线性方程，然后求解即可。

例如：

求解微分方程 y' + y = xy^2：
- 进行变量替换：

        u = y^(-1)

则有：

        y = u^(-1)

将 y 和 y' 代入原方程，得到：

        -u'u^(-2) + u^(-1) = xu^(-2)

化简得到：

        u' - u = -x

计算积分因子：

        μ(x) = e^(∫-1dx) = e^(-x)

将积分因子乘以原方程，得到：

        e^(-x)u' - e^(-x)u = -xe^(-x)

左侧可以写成 (e^(-x)u)'，然后将两边分别积分：

        ∫(e^(-x)u)'dx = ∫-xe^(-x)dx

计算积分：

        e^(-x)u = xe^(-x) + e^(-x) + C

解出 u：

        u = x + 1 + Ce^x

将 u 代回，得到：

        y = (x + 1 + Ce^x)^(-1)

3. 高阶线性微分方程

3.1 常系数齐次线性微分方程

常系数齐次线性微分方程 是指可以写成以下形式的微分方程：

ay^(n) + by^(n-1) + ... + cy' + dy = 0

其中 a，b，...，c，d 为常数，且 a ≠ 0。

求解常系数齐次线性微分方程的方法是使用特征方程：

ar^n + br^(n-1) + ... + cr + d = 0

特征方程的根称为特征根。

根据特征根的类型，可以得到微分方程的通解：

如果特征根都是实数且互不相同，那么通解为：

    y(x) = C1e^(r1x) + C2e^(r2x) + ... + Cne^(rnx)

其中 C1，C2，...，Cn 为任意常数。

如果特征根中有重复的实数根，那么通解为：

    y(x) = (C1 + C2x + ... + Ckx^(k-1))e^(rx) + ...

其中 r 是重复的实数根，k 是重复的次数，C1，C2，...，Ck 为任意常数。

如果特征根中有复数根，那么通解为：

    y(x) = e^(αx)(C1cos(βx) + C2sin(βx)) + ...

其中 α 和 β 是复数根的实部和虚部，C1 和 C2 为任意常数。

例如：

求解微分方程 y'' + 4y' + 4y = 0：
- 特征方程：

        r^2 + 4r + 4 = 0

解得特征根为 r = -2（二重根）。
通解为：

        y(x) = (C1 + C2x)e^(-2x)

3.2 常系数非齐次线性微分方程

常系数非齐次线性微分方程 是指可以写成以下形式的微分方程：

ay^(n) + by^(n-1) + ... + cy' + dy = f(x)

其中 a，b，...，c，d 为常数，且 a ≠ 0，f(x) 是一个非零函数。

求解常系数非齐次线性微分方程的方法是使用待定系数法或变易常数法。

待定系数法： 根据非齐次项 f(x) 的形式，假设特解的形式，然后将特解代入原方程，求解待定系数。
变易常数法： 将齐次方程的通解中的常数替换为关于 x 的函数，然后将新的解代入原方程，求解新的函数。

例如：

求解微分方程 y'' + 4y' + 4y = e^x：
- 首先求解齐次方程 y'' + 4y' + 4y = 0 的通解：
  - 特征方程：

            r^2 + 4r + 4 = 0

解得特征根为 r = -2（二重根）。
通解为：

            y_h(x) = (C1 + C2x)e^(-2x)

然后使用待定系数法求解非齐次方程的特解：
- 假设特解的形式为 y_p(x) = Ae^x。
- 将特解代入原方程，得到：

            Ae^x + 4Ae^x + 4Ae^x = e^x

解得 A = 1/9。
因此，特解为：

            y_p(x) = (1/9)e^x

非齐次方程的通解为：

        y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (C1 + C2x)e^(-2x) + (1/9)e^x

3.3 变系数线性微分方程

变系数线性微分方程 是指系数不是常数的线性微分方程。

求解变系数线性微分方程的方法比较复杂，一般需要使用级数解法或其他特殊方法。

4. 微分方程的应用

微分方程在数学、物理、工程、生物、经济等领域都有广泛的应用，主要包括以下几个方面：

4.1 物理学

牛顿定律： 牛顿定律描述了物体的运动规律，可以用微分方程来表示。
热传导方程： 热传导方程描述了热量在物体中的传导规律，可以用微分方程来表示。
波动方程： 波动方程描述了波的传播规律，可以用微分方程来表示。

4.2 化学

化学反应速率方程： 化学反应速率方程描述了化学反应的速度，可以用微分方程来表示。

4.3 生物学

种群增长模型： 种群增长模型描述了种群数量的变化规律，可以用微分方程来表示。

4.4 经济学

经济增长模型： 经济增长模型描述了经济的增长规律，可以用微分方程来表示。

5. 考研真题分析

5.1 考查重点

微分方程的概念和分类
一阶微分方程：可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程
高阶线性微分方程：常系数齐次线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程
微分方程的应用

5.2 难点

高阶线性微分方程的求解：待定系数法、变易常数法
微分方程的应用：物理学、化学、生物学、经济学

5.3 解题技巧

掌握微分方程的概念和分类
熟练运用一阶微分方程的求解方法
掌握高阶线性微分方程的求解方法：待定系数法、变易常数法
理解微分方程的应用

6. 总结

概念	描述
微分方程	包含未知函数及其导数的方程
常微分方程	只包含一个自变量的微分方程
偏微分方程	包含多个自变量的微分方程
线性微分方程	未知函数及其导数都是线性的微分方程
非线性微分方程	未知函数及其导数中至少有一个是非线性的微分方程
微分方程的阶数	微分方程中最高阶导数的阶数
微分方程的解	满足微分方程的函数
可分离变量方程	可以将未知函数和自变量分离的微分方程
齐次方程	可以写成 y' = f(y/x) 的微分方程
一阶线性方程	可以写成 y' + p(x)y = q(x) 的微分方程
伯努利方程	可以写成 y' + p(x)y = q(x)y^n 的微分方程
常系数齐次线性微分方程	可以写成 ay^(n) + by^(n-1) + ... + cy' + dy = 0 的微分方程
常系数非齐次线性微分方程	可以写成 ay^(n) + by^(n-1) + ... + cy' + dy = f(x) 的微分方程
变系数线性微分方程	系数不是常数的线性微分方程