最短路径是图论中最为人们熟知的问题。

基础部分

最短路径问题

在一个图中有 $n$ 个点、$m$条边。边有权值，例如费用、长度等，权值可正可负。边可能是有向的，也可能是无向的。给定两个点，起点是$s$，终点是$t$，在所有能连接s和t的路径中寻找边的权值之和最小的路径，这就是最短路径问题。

用$DFS$搜索所有的路径

在一般的图中，求图中任意两点间的最短路径，首先需要遍历所有可能经过的结点和边，不能有遗漏。其次，在所有可能的路径中查找最短的一条。如果用暴力法找所有路径，最简单的方法是把 $n$ 个结点进行全排列，然后从中找到最短的。但是共有 $n!$个排列，是天文数字，无法求解。更好的办法是用$DFS$输出所有存在的路径，这显然比$n!$要少得多，不过，其复杂度仍然是指数级的。

用$BFS$求最短路径

在特殊的地图中，所有的边都是无权的，可以把每个边的权值都设成1，那么 $BFS$也是很好的最短路径算法，在之前也有讲过。

最短路算法

1. 图的规模小，用$Floyd$。如果边的权值有负数，需要判断负圈。
2. 图的规模大，且边的权值非负，用$Dijkstra$。
3. 图的规模大，且边的权值有负数，用$SPFA$。需要判断负圈。

节点$n$，边$m$	边权值	选用算法	数据结构
$n<300$	允许有负数	$Floyd$	邻接矩阵
$m\times n<10^7$	允许有负数	$Bellman-Ford$	邻接表
更大	有负数	$SPFA$	邻接表、链式前向星
更大	无负数	$Dijkstra$	邻接表、链式前向星

$Floyd$

一次性求出所有点对间的最短路径
如何一次性求所有结点之间的最短距离？$Floyd$可以完成这一工作，其他 $3$ 种算法都不行。而且$Floyd$是最简单的最短路径算法，程序比暴力的$DFS$更简单。需要提醒的是，$Floyd$的复杂度有$O(n^3)$，只能用于小规模的图。
$Floyd$用到了动态规划的思想：求两点 $i、j$ 之间的最短距离，可以分两种情况考虑，即经过图中某个点$k$的路径和不经过点$k$的路径，取两者中的最短路径。

动态规划的过程可以描述为：

1. 令$k=1$，计算所有结点之间(经过结点1、不经过结点1)的最短路径。
2. 令$k=2$，计算所有结点之间(经过结点2、不经过结点2)的最短路径，这一次计算利用了$k=1$时的计算结果。
3. 令$k=3$,……

读者可以这样想象这个过程：

1. 图上有$n$个结点，$m$条边。
2. 把图上的每个点看成一个灯，初始时灯都是灭的，大部分结点之间的距离被初始化为无穷大$INF$，除了$m$条边连接的那些结点以外。
3. 从结点$k=1$开始操作，想象点亮了这个灯，并以$k=1$为中转点，计算和调整图上所有点之间的最短距离。很显然，对这个灯的邻居进行的计算是有效的，而对远离它的那些点的计算基本是无效的。
4. 逐步点亮所有的灯，每次点灯，就用这个灯中转，重新计算和调整所有灯之间的最短距离，这些计算用到了以前点灯时得到的计算结果。
5. 灯逐渐点亮，直到图上的点全亮，计算结束。

code(Floyd的实现):

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
const int N = 300;
int n, m, q; //n个地点，m条路线，q次询问
void floyd(){
	for(int k = 1; k <= n; k++){
		for(int i = 1; i <= n; i++){
		if(dp[i][k] == INF)continue;
			for(int j = 1; j <= n; j++){
				dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
				//min 最好改写，因为min比较慢 
			}
		}
	}
}
int main(){
	cin >> n >> m >> q;
	ll st, ed, dif;
	memset(dp, INF, sizeof dp);
	for(int i = 0; i < m; i++){
		cin >> st >> ed >> dif; //从 st 到 ed 的距离是 dif
		dp[st][ed] = min(dp[st][ed], dif);
		dp[ed][st] = dp[st][ed];
	}
	
	floyd();
	
	return 0;
}

$Floyd$算法虽然低效，但是也有优点：

1. 程序很简单
2. 可以一次求出所有结点之间的最短路径
3. 能处理有负权边的图

$SPFA$

$SPAF$很像$BFS$

1. 起点 $s$ 入队，计算它所有邻居到 $s$ 的最短距离(当前最短距离，不是全局最短距离。在下文中，把计算一个结点到起点 $s$ 的最短路径简称为更新状态。最后的“状态”就是$SPFA$的计算结果)。把 $s$ 出队，状态有更新的邻居入队，没更新的不入队。也就是说，队列中都是状态有变化的结点，只有这些结点才会影响最短路径的计算。
2. 现在队列的头部是 $s$ 的一个邻居 $u$。弹出 $u$，更新其所有邻居的状态，把其中有状态变化的邻居入队列。
3. 这里有一个问题，弹出 $u$ 之后，在后面的计算中 $u$ 可能会再次更新状态(后来发现，$u$借道其他结点去 $s$，路更近)。所以，$u$可能需要重新入队列。这一点很容易做到：在处理一个新的结点 $v$ 时，它的邻居可能就是以前处理过的 $u$，如果 $u$ 的状态变化了，把 $u$ 重新加入队列就行了。
4. 继续以上过程，直到队列空。这也意味着所有结点的状态都不再更新。最后的状态就是到起点 $s$ 的最短路径。
   上面第(3)点决定了$SPFA$的效率。有可能只有很少结点重新进入队列，也有可能很多。这取决于图的特征，即使两个图的结点和边的数量一样，但是边的权值不同，它们的$SPFA$队列也可能差别很大。所以，$SPFA$是不稳定的。
   在比赛时，有的题目可能故意卡$SPFA$的不稳定性：如果一个题目的规模很大，并且边的权值为非负数，它很可能故意设置了不利于$SPFA$的测试数据。此时不能冒险用$SPFA$，而是用下一节的$Dijkstra$算法。$Dijkstra$是一种稳定的算法，一次迭代至少能找到一个结点到 $s$ 的最短路径，最多只需要$m$(边数)次迭代即可完成。

code(基于邻接表的$SPFA)$

在这个程序中，存图最合适的方法是邻接表。上面第(2)步是更新$u$的所有邻居结点的状态，而邻接表可以很快地检索一个结点的所有邻居，正符合算法的需要。在下程序中输入图时，每执行一次$e[a].pus{h}_{b}ack(edge(a,b,c))$，就把边$(a,b)$存到了结点 $a$ 的邻接表中在$spfa()$中，执行$for(inti=0;i<e[u].size();i++)$，就检索了结点 $u$ 的所有邻居。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 1e5 + 5;
struct edge{
    int to; long long dif;
    //to 表示目标位置， dif表示到目标的距离  
    edge(int x, long long y){to = x, dif = y;}
};

bool flag[N];           //标记点 i 是否在队列中  
long long dist[N];      //记录 i 到起点的距离  
vector<edge> e[N];      //记录 i 的所有邻接点  

void SPFA(int start){
    memset(dist, INF, sizeof(dist));
    memset(flag, false, sizeof(flag));
    dist[start] = 0;        //起点到自己的距离为0  
    queue<int> que;         
    que.push(start);     
    flag[start] = true;     //入队就标记  
    while(!que.empty()){
        int now = que.front(); que.pop();   //处理队列第一个点  
        flag[now] = false;                  //now不在队列里，取消标记  
        if(dist[now] == INF)continue;       //如果这个点不能到起点，就不管了  
        for(int i = 0; i < e[now].size(); i++){ //访问这个点的所有邻居  
            int next = e[now][i].to;
            int d = e[now][i].dif;
            if(dist[next] > dist[now] + d)
                dist[next] = dist[now] + d;
            //如果这个点有更近的到起点的路，那就把距离记录优化
            if(!flag[next]){        //如果这个点还没进队列的话，就让他进队  
                que.push(next);
                flag[next] = true;
            }
        }
    }
}
int main(){
    int n, m, s;    //n 个地方， m 条路， s 是起点  
    cin >> n >> m >> s;
    for(int i = 1; i<= m; i++){
        int now, to; long long dif;
        cin >> now >> to >> dif;
        e[now].push_back(edge(to, dif));
    }
    
    SPFA(s);

    return 0;
}

$Dijkstra$

$Dijkstra$是非常高效而且稳定的单源随短路算法，它比前面提到的最短路径算法都复杂一些。下面先介绍它的思想：
现实中，$Dijkstra$有另外的模型，多米诺骨牌，读者可以想象下面的场景：在图中所有的边上排满多米诺骨牌，相当于把骨牌看成图的边。一条边上的多米诺骨牌数量和边的权值(例如长度或费用)成正比。规定所有骨牌倒下的速度都是一样的。如果在一个结点上推倒骨牌，会导致这个结点上的所有骨牌都往后面倒下去。在起点 $s$ 推倒骨牌，可以观察到，从 $s$ 开始，它连接的边上的骨牌都逐渐倒下，并到达所有能达到的结点。在某个结点 $t$，可能先后从不同的线路倒骨牌过来，先倒过来的骨牌，其经过的路径肯定就是从 $s$ 到达 $t$ 的最短路径，后倒过来的骨牌，对确定结点 $t$ 的最短路径没有贡献，不用管它。

从整体看，这就是一个从起点 $s$ 扩散到整个图的过程。在这个过程中，观察所有结点的最短路径是这样得到的：

1. 在 $s$ 的所有直连邻居中，最近的邻居 $u$，骨牌首先到达。$u$ 是第一个确定最短路径的结点。从 $u$ 直连到 $s$ 的路径肯定是最短的，因为如果 $u$ 绕道别的结点到 $s$，必然更远。
2. 然后，把后面骨牌的倒下分成两个部分，一部分是从 $s$ 继续倒下到 $s$ 的其他的直连邻居，另一部分是从 $u$ 出发倒下到 $u$ 的直连邻居。那么下一个到达的结点 $v$ 必然是 $s$ 或者 $u$ 的一个直连邻居。$v$ 是第二个确定最短路径的结点。
3. 继续以上步骤，在每一次迭代过程中都能确定一个结点的最短路径。$Dijkstra$算法应用了贪心法的思想，即“抄近路走，肯定能找到最短路径”。
   在上述步骤中可以发现：$Dijkstra$的每次迭代，只需要检查上次已经确定最短路径的那些结点的邻居，检查范围很小，算法是高效的；每次迭代，都能得到至少一个结点的最短路径，算法是稳定的。

那么如何编程实现呢？程序的主要内容是维护两个集合，即已确定最短路径的结点集合$A$、这些结点向外扩散的邻居结点集合$B$。程序逻辑如下：

1. 把起点$s$放到$A$中，把$s$所有的邻居放到$B$中。此时，邻居到$s$的距离就是直连距离。
2. 从$B$中找出距离起点$s$最短的结点$u$，放到$A$中。
3. 把$u$所有的新邻居放到$B$中。显然，$u$的每一条边都连接了一个邻居，每个新邻居都要加进去。其中$u$的一个新邻居$v$，它到$s$的距离$dis(s,v)$等于$dis(s,u)+dis(u,v)$。
4. 重复(2)、(3),直到$B$为空时结束。计算结束后，可以得到从起点$s$到其他所有点的最短距离。
   
   如上图，起点是$1$,求$1$到其他所有结点的最短路径。
5. 1到自己的距离最短，把$1$放到集合$A$里： A = { 1 } A=\{1\} A={1}。把$1$的邻居放到集合$B$里：$B=\{(2-5),(3-2)\}$。其中$(2-5)$表示结点$2$到起点的距离是$5$。
6. 从$B$中找到离集合$A$最近的结点，是结点$3$。在$A$中加上$3$,现在 A = { 1 , 3 } A=\{1,3\} A={1,3},也就是说得到了从1到3的最短距离；从$B$中拿走$(3-2)$,现在$B=\{(2-5)\}$。
7. 对结点3的每条边，扩展它的新邻居，放到$B$中。3的新邻居是2和4,那么 $B=\{(2-5),(2-4),(4-7)\}$。其中$(2-4)$是指新邻居2通过3到起点1,距离是4。由于$(2-4)$比$(2-5)$更好，丢弃$(2-5)$，$B=\{(2-4),(4-7)\}$。
8. 重复步骤$(2)、(3)$。从$B$中找到离起点最近的结点，是结点2。在$A$中加上2,并从$B$中拿走$(2-4)$；扩展2的邻居放到$B$中。现在 A = { 1 , 3 , 2 } , B = { ( 4 − 7 ) , ( 4 − 5 ) } A=\{1,3,2\},B=\{(4-7),(4-5)\} A={1,3,2},B={(4−7),(4−5)}。由于$(4-5)$比$(4-7)$更好，丢弃$(4-7),B=\{(4-5)\}$。
9. 从$B$中找到离起点最近的结点，是结点4。在$A$中加上4,并从$B$中拿走$(4-5)$。此时已经没有新邻居可以扩展。现在 A = { 1 , 3 , 2 , 4 } , B A=\{1,3,2,4\},B A={1,3,2,4},B为空，结束。

下面讨论上述步骤的复杂度。图的边共有$m$个，需要往集合$B$中扩展$m$次。在每次扩展后，需要找集合$B$中距离起点最小的结点。集合$B$最多可能有$n$个结点。把问题抽象为每次往集合$B$中放一个数据，在$B$中的$n$个数中找最小值，如何快速完成？如果往$B$中放数据是乱放，找最小值也是用类似冒泡的简单方法，复杂度是$n$，那么总复杂度是$O(nm)$。
上述方法可以改进，得到更好的复杂度。改进的方法如下：

1. 每次往$B$中放新数据时按从小到大的顺序放，用二分法的思路，复杂度是$O(lo{g}_{2}n)$，保证最小的数总在最前面。
2. 找最小值，直接取$B$的第一个数，复杂度是$O(1)$。
   此时$Dijkstra$算法总的复杂度是$O(mlo{g}_{2}n)$，是最高效的最短路径算法。
   在编程时，一般不用自己写上面的程序，直接用STL的优先队列就行了，完成数据的插入和提取。
   下面的程序代码中有两个关键技术：
3. 用邻接表存图和查找邻居。对邻居的查找和扩展是通过动态数组$vector<edge>e[NUM]$实现的邻接表，和上一节的$SPFA$一样。其中$e[i]$存储第i个结点上所有的边，边的一头是它的邻居，即$structedge$的参数$to$。在需要扩展结点i的邻居的时候，查找$e[i]$即可。已经放到集合$A$中的结点不要扩展；程序中用$booldone[NUM]$记录集合$A$,当$done[i]=true$时，表示它在集合$A$中，已经找到了最短路径。
4. 在集合$B$中找距离起点最短的结点。直接用STL的优先队列实现，在程序中是$priority\_queue<s\_node>Q$。但是有关丢弃的动作，STL的优先队列无法做到。例如步骤
5. 中，需要在$B=\{(2-5),(2-4),(4-7)\}$中丢弃$(2-5)$，但是STL没有这种操作。在程序中也是用$booldone[NUM]$协助解决这个问题。从优先队列$pop$出$(2-4)$时，记录$done[2]=true$，表示结点2已经处理好。下次从优先队列$pop$出$(2-5)$时，判断$done[2]$是$true$，丢弃。

code（dijkstra的实现）:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010, Maxm = 500010;

struct edge{
	int to, dis, next;
}e[Maxm];

int head[Maxm], dis[Maxm], cnt;
bool vis[Maxm];
int n, m, s;

void addEdge(int u, int v, int d){
	cnt++;
	e[cnt].dis = d;
	e[cnt].to = v;
	e[cnt].next = head[u];
	head[u] = cnt;
}

struct node{
	int dis, pos;
	bool operator <(const node& x)const{
		return x.dis < dis;
	}
};

priority_queue<node>q;

void dijkstra(){
	dis[s] = 0;
	//s 是起点位置
	q.push({0, s});
	//第一个节点据原点的距离为0，位置是s
	while(!q.empty()){
		node tmp = q.top();
		q.pop();
		int x = tmp.pos;
		int d = tmp.dis;
		if(vis[x] == true){
			continue;
			//这个点走过的话就跳过
		}
		vis[x] = true;
		for(int i = head[x]; i != 0;i = e[i].next){
			//i 是沿着一条路一直走，走到尾部之后i会为0
			int y = e[i].to;
			if(dis[y] > dis[x] + e[i].dis){
				dis[y] = dis[x] + e[i].dis;
				if(vis[y] == false){
					q.push({dis[y], y});
					//如果这个点没有走过，就放入这个点
					//和原点的距离是dis[y]，位置是y
				}
			}
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n, &m, &s);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		dis[i] = 0x7fffffff;
	}	
	for(int i = 0; i < m; i++){
		int u, v, d;
		scanf("%d%d%d",&u, &v, &d);
		addEdge(u, v, d);
	}
	
	dijkstra();

	return 0;
}