目录
- 一、AVL树的概念
- 二、AVL树的实现
- 1、AVL树的定义
- 2. 平衡二叉树的插入
- 2.1 按照二叉排序树的方式插入并更新平衡因子
- 2.2 AVL树的旋转
- 2.2.1 新节点插入较高左子树的左侧（LL平衡旋转）
- 2.2.2 新节点插入较高右子树的右侧（RR平衡旋转）
- 2.2.3 新节点插入较高左子树的右侧（LR平衡旋转）
- 2.2.4 新节点插入较高右子树的左侧（RL平衡旋转）
- 2.2.5 总结
- 3 平衡二叉树的删除（了解即可）
- 4 平衡二叉树的验证
- 三、平衡二叉树的效率分析
一、AVL树的概念
二叉排序树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。
为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，规定在插入和删除结点时，要保证任意结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1，将这样的二叉树称为平衡二叉树，也称AVL树。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
二、AVL树的实现
1、AVL树的定义
AVL树结点的定义：
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{}
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent; // 使用三叉链方便后续处理，但要记得维护
pair<K, V> _kv; // 保存键值对
int _bf; // 平衡因子
};
2. 平衡二叉树的插入
2.1 按照二叉排序树的方式插入并更新平衡因子
AVL树就是在二叉排序树的基础上加上了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉排序树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
(1) 按照二叉排序树的方法插入新结点
(2) 调整结点的平衡因子
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
// 先按照二叉排序树的方法进行结点插入
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while(cur)
{
if (kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
// 新结点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否
// 破坏了AVL树的平衡性
while (parent)
{
/*
cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent
的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
1. 如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可
2. 如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可
*/
if (parent->_left == cur)
{
--parent->_bf;
}
else
{
++parent->_bf;
}
/*
此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
1. 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整
成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
2. 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更
新成正负1，此时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
3. 如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
行旋转处理
*/
if (0 == parent->_bf)
{
break;
}
else if (1 == parent->_bf || -1 == parent->_bf)
{
cur = cur->_parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (2 == parent->_bf || -2 == parent->_bf)
{
// 旋转处理
}
else
{
// 如果平衡因子不是以上几种情况，说明代码逻辑错误
assert(false);
}
}
return true;
}
2.2 AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：LL平衡旋转（右旋），RR平衡旋转（左旋），LR平衡旋转（先左旋后右旋），RL平衡旋转（先右旋后左旋）
2.2.1 新节点插入较高左子树的左侧（LL平衡旋转）
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
- 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
- 60可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
void RotateR(Node* parent)
{
// subL：parent的左孩子
// subLR：parent的左孩子的右孩子，注意：该点可能不存在
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
subL->_right = parent;
parent->_left = subLR;
Node* ppnode = parent->_parent; // 记录parent的父结点，用于连接新的子树
parent->_parent = subL;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
if (ppnode == nullptr)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subL;
}
else
{
ppnode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppnode;
}
// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
2.2.2 新节点插入较高右子树的右侧（RR平衡旋转）
具体实现参考右旋即可。
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
subR->_left = parent;
parent->_right = subRL;
Node* ppnode = parent->_parent; // 记录parent的父结点
parent->_parent = subR;
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
if (ppnode == nullptr)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subR;
}
else
{
ppnode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppnode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
2.2.3 新节点插入较高左子树的右侧（LR平衡旋转）
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
void RotateLR(Node* parent)
{
// subL：parent的左孩子
// subLR：parent的左孩子的右孩子，注意：该点可能不存在
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (1 == bf)
{
subL->_bf = -1;
}
else if (-1 == bf)
{
parent->_bf = 1;
}
}
2.2.4 新节点插入较高右子树的左侧（RL平衡旋转）
参考右左双旋。
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (1 == bf)
{
parent->_bf = -1;
}
else if (-1 == bf)
{
subR->_bf = 1;
}
}
2.2.5 总结
假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑：
- parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为subR
当subR的平衡因子为1时，执行左单旋
当subR的平衡因子为-1时，执行右左双旋 - parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为subL
当subL的平衡因子为-1是，执行右单旋
当subL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
3 平衡二叉树的删除（了解即可）
因为AVL树也是二叉排序树，可按照二叉排序树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。
平衡二叉树删除操作的具体步骤：
- 先按照二叉排序树的方式删除结点
- 一路向上找到最小不平衡子树，找不到就结束
- 找最小不平衡子树下，最高的儿子和孙子
- 根据孙子的位置，调整平衡
- 孙子在LL：右单旋
- 孙子在RR：左单旋
- 孙子在LR：先左旋再右旋
- 孙子再RL：先右旋再左旋
- 如果不平衡向上传导，继续第二步
- 对最小不平衡子树的旋转可能导致树变矮，从而导致上层祖先不平衡
4 平衡二叉树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
- 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树 - 验证其为平衡树
- 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
- 节点的平衡因子是否计算正确
// 求二叉树的高度
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftH = _Height(root->_left);
int rightH = _Height(root->_right);
return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
}
// 验证平衡树
bool _Isbalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftH = _Height(root->_left);
int rightH = _Height(root->_right);
if (rightH - leftH != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "结点平衡因子异常" << endl;
return false;
}
return rightH - leftH < 2
&& _Isbalance(root->_left)
&& _Isbalance(root->_right);
}
三、平衡二叉树的效率分析
在平衡二叉树上进行查找的过程与二叉排序树相同。因此，在查找过程中，进行关键字的比较次数不超过树的深度。假设以
n
h
n_h
nh表示深度为h的平衡二叉树中含有的最少结点数。
n
0
=
0
,
n
1
=
1
,
n
2
=
2
n_0=0,n_1=1,n_2=2
n0=0,n1=1,n2=2，并且有
n
h
=
n
h
−
2
+
n
h
−
1
+
1
n_h=n_{h-2}+n_{h-1}+1
nh=nh−2+nh−1+1含有n个结点的平衡二叉树的最大深度为
O
(
l
o
g
2
n
)
O(log_2n)
O(log2n)，因此平均查找效率为
O
(
l
o
g
2
n
)
O(log_2n)
O(log2n)。
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
