[C++][数据结构][跳表]详细讲解

0.什么是跳表？

SkipList本质上也是一种查找结构，用于解决算法中的查找问题，跟平衡搜索树和哈希表的价值是一样的，可以作为key或者key/value的查找模型
SkipList，是在有序链表的基础上发展起来的
- 如果是一个有序的链表，查找数据的时间复杂度是 $O (N)$

1.SkipList的优化思路

假如每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图b所示
- 这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半
- 由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半
以此类推，可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表，这样搜索效率就进一步提高了，如下图c
SkipList正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的
实际上，按照上面生成链表的方式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到 $O(log_2N)$
但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题
- 插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的2:1的对应关系
- 如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点(也包括新插入的节点)重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成O(n)
SkipList的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理
- 不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数
- 这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了

2.SkipList的效率如何保证？

SkipList插入一个节点时随机出一个层数，听起来这么随意，如何保证搜索时的效率呢？
首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的
- 一般跳表会设计一个最大层数maxLevel的限制
- 其次会设置一个多增加一层的概率p
- 计算这个随机层数的伪代码如下图：
**参考：**在Redis的SkipList实现中，这两个参数的取值为：
```
p = 1/4;
maxLevel = 32;
```
根据前面randomLevel()的伪代码，产生越高的节点层数，概率越低
- 节点层数至少为1，而大于1的节点层数，满足一个概率分布
- 节点层数恰好等于1的概率为 $1 - p$
- 节点层数大于等于2的概率为 $p$ ，而节点层数恰好等于2的概率为 $p * (1 - p)$
- 节点层数大于等于3的概率为 $p^2$ ，而节点层数恰好等于3的概率为 $p^2*(1-p)$
- 节点层数大于等于4的概率为 $p^3$ ，而节点层数恰好等于4的概率为 $p^3*(1-p)$
因此，一个节点的平均层数(即包含的平均指针数目)，计算如下：
- 当 $p = 1/2$ 时，每个节点所包含的平均指针数目为2
- 当 $p = 1/4$ 时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33
SkipList的平均时间复杂度为： $O (l o g N)$ ，

3.SkipList实现

插入结点的关键是找到这个位置的每一层前一个结点
- 比它小，向下走
- 比它大，向右走

struct SkipListNode
{
    int _val;
    vector<SkipListNode*> _nextV;

    SkipListNode(int val, int level)
        : _val(val)
        , _nextV(level, nullptr)
    {}
};

class Skiplist
{
    typedef SkipListNode Node;
public:
    Skiplist()
    {
        srand(time(nullptr));

        _head = new Node(-1, 1); // 头节点，层数是1
    }

    bool Search(int target)
    {
        Node* cur = _head;
        int level = _head->_nextV.size() - 1;

        while (level >= 0)
        {

            if (cur->_nextV[level] && target > cur->_nextV[level]->_val)
            {
                // 目标值比下一个结点值大，向右走
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            else if (!cur->_nextV[level] || target < cur->_nextV[level]->_val)
            {
                // 下一个结点是空(尾) || 目标值比下一个节点值要小，向下走
                level--;
            }
            else
            {
                return true;
            }
        }

        return false;
    }

    void Add(int num)
    {
        vector<Node*> preV = FindPrevNode(num);

        int n = RandomLevel();
        Node* newnode = new Node(num, n);

        // 如果n超过当前最大的层数，那就升高一下_head的层数
        if (n > _head->_nextV.size())
        {
            _head->_nextV.resize(n, nullptr);
            preV.resize(n, _head);
        }

        // 链接前后结点
        for (size_t i = 0; i < n; i++)
        {
            newnode->_nextV[i] = preV[i]->_nextV[i];
            preV[i]->_nextV[i] = newnode;
        }
    }

    bool Erase(int num)
    {
        vector<Node*> preV = FindPrevNode(num);

        // 第一层下一个不是val，则val不在表中
        if (!preV[0]->_nextV[0] || preV[0]->_nextV[0]->_val != num)
        {
            return false;
        }

        Node* del = preV[0]->_nextV[0];

        // del结点每一层前后指针链接起来
        for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); i++)
        {
            preV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
        }
        delete del;

        // 如果删除最高层结点，把头节点的层数也降一下
        // 可以稍微提高查找效率
        int i = _head->_nextV.size() - 1;
        while (i >= 0)
        {
            if (!_head->_nextV[i])
            {
                i--;
            }
            else
            {
                break;
            }
        }
        _head->_nextV.resize(i + 1);

        return true;
    }

    // SkipList精髓
    vector<Node*> FindPrevNode(int num)
    {
        Node* cur = _head;
        int level = _head->_nextV.size() - 1;

        // 插入位置每一层前一个结点指针
        vector<Node*> preV(level + 1, _head);

        while (level >= 0)
        {
            if (cur->_nextV[level] && num > cur->_nextV[level]->_val)
            {
                // 目标值比下一个结点值大，向右走
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            else if (!cur->_nextV[level] || num <= cur->_nextV[level]->_val)
            {
                preV[level--] = cur;
            }
        }

        return preV;
    }

    // v1.0 C
    int RandomLevel()
    {
        size_t level = 1;

        // rand() / RAND_MAX -> [0, 1]
        while (rand() <= RAND_MAX * _p && level <= _maxLevel)
        {
            level++;
        }

        return level;
    }

    // v2.0 C++
    // int RandomLevel()
    // {
    //     static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
    // 	static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);

    // 	size_t level = 1;
    // 	while (distribution(generator) <= _p && level < _maxLevel)
    // 	{
    // 		++level;
    // 	}

    // 	return level;
    // }
private:
    Node* _head;
    size_t _maxLevel = 32;
    double _p = 0.5;
};

4.SkipList VS 平衡搜索树 && Hash

SkipList相比平衡搜索树(AVL树和红黑树)，都可以做到遍历数据有序，时间复杂度也差不多
- SkipList的优势：
  - SkipList实现简单，容易控制
    - 平衡树增删查改遍历都更复杂
  - SkipList的额外空间消耗更低
    - 平衡树节点存储每个值有三叉链，平衡因子/颜色等消耗
    - SkipList中 $p = 1/2$ 时，每个节点所包含的平均指针数目为2
    - SkipList中 $p = 1/4$ 时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33
SkipList相比哈希表而言，就没有那么大的优势了
- SkipList劣势：
  - 哈希表平均时间复杂度是 O(1)，比SkipList快
  - 哈希表空间消耗略多一点
- SkipList优势：
  - 遍历数据有序
  - SkipList空间消耗略小一点，哈希表存在链接指针和表空间消耗
  - 哈希表扩容有性能损耗
  - 哈希表在极端场景下哈希冲突高，效率下降厉害，需要红黑树补足接力