目录
一、树型结构
二、二叉树
2.1 概念
2.2 特殊的二叉树
2.3 二叉树的性质
2.4 二叉树的存储
2.5 遍历二叉树
2.6 操作二叉树
总结
一、树型结构
树是一种非线性的数据结构，它是由 n(n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合，一棵 n 个结点的树有 n-1 条边。
- 结点的度：一个节点具有的子树个数称为该结点的度。如上图，结点 A 的度为 6。
- 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度。如上图，树的度为 6。
- 叶子结点 (终端结点)：度为 0 的结点称为叶子结点。如上图，B、C、H、I、N 等结点为叶子结点。
- 父结点 (双亲结点)：若一个结点含有子结点，则称该结点为其子结点的父节点。如上图，A 是 B 的父结点。
- 根结点：是每棵树的起始结点，即没有父结点的结点。如上图，A 为根结点。
- 子结点 (孩子结点)：一个结点含有的子树的根结点，称为该结点的子节点。如上图，B 是 A 的子结点。
- 结点的层次：从根结点开始，根结点为第 1 层，根结点的子结点为第 2 层，以此类推。如上图，结点 A 为第 1 层，结点 B、C、D 等为第 2 层。
- 树的高度 (深度)：树中结点的最大层次。如上图，树的高度为 4。
- 分支结点：度不为 0 的结点。
- 兄弟结点：具有相同父结点的结点互为兄弟。
- 堂兄弟结点：父结点在同一层的结点互为堂兄弟。
- 结点的祖先：从根结点到该结点分支上的所有结点。如上图，A 是所有结点的祖先。
- 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图，所有结点都是 A 的子孙。
- 森林：由 m(m>=0) 棵互不相交的树组成的集合称为森林。
二、二叉树
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，二叉树有两种情况：
① 空树；
② 由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成。
【特点】
1、二叉树不存在度大于 2 的结点；
2、二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
2.2 特殊的二叉树
1、满二叉树：若一棵二叉树每层的结点数都达到最大值，则这棵树就是满二叉树。即若一棵二叉树的高度为 k，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2、完全二叉树：满二叉树是一种特殊的完全二叉树。对于高度为 K，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与高度为 k 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称为完全二叉树。
2.3 二叉树的性质
- 一棵非空二叉树的第 k 层上最多有
个结点；
- 高度为 k 的二叉树最大结点数为
；
- 叶子结点个数为
，度为 2 的结点个数为
，则有
；
- 有 n 个结点的完全二叉树高度为
；("[]"为取整)
- 一棵有 n 个结点的完全二叉树，对于其编号为 i 的结点有：
- 若 i > 0，父结点编号：[(i-1) / 2]；若 i = 0，则 i 为根结点编号，无父结点。
- 若 2i+1 <= n，左孩子编号：2i+1；反之无左孩子。
- 若 2i+2 <= n，右孩子编号：2i+1；反之无右孩子。
2.4 二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个结点引用构造出的，例如，孩子表示法和孩子双亲表示法：
//孩子表示法
class Node {
int val; //数据域
Node left; //左孩子
Node right; //右孩子
}
//孩子双亲表示法
class Node {
int val; //数据域
Node left; //左孩子
Node right; //右孩子
Node parent; //当前节点的父亲节点
}2.5 遍历二叉树
【前中后序遍历】
前序(NLR)：根结点 → 左子树 → 右子树；(根左右)
中序(LNR)：左子树 → 根结点 → 右子树；(左根右)
后序(LRN)：左子树 → 右子树 → 根结点；(左右根)
前序：ABDEGCF
中序：DBGEAFC
后序：DGEBFCA
public class BinaryTree {
//孩子表示法
static class TreeNode {
public String val; //数据域
public TreeNode left; //左孩子
public TreeNode right; //右孩子
public TreeNode(String val) {
this.val = val;
}
}
//构建树，返回根结点
public TreeNode createTree() {
TreeNode A = new TreeNode("A");
TreeNode B = new TreeNode("B");
TreeNode C = new TreeNode("C");
TreeNode D = new TreeNode("D");
TreeNode E = new TreeNode("E");
TreeNode F = new TreeNode("F");
TreeNode G = new TreeNode("G");
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
E.left = G;
C.left = F;
return A;
}
//前序遍历
public void preOrder(TreeNode root) {
//若为空树，返回
if (root == null) {
return;
}
System.out.print(root.val + " "); //根
preOrder(root.left); //左
preOrder(root.right); //右
}
//中序遍历
public void inOrder(TreeNode root) {
//若为空树，返回
if (root == null) {
return;
}
inOrder(root.left);//左
System.out.print(root.val + " ");//根
inOrder(root.right);//右
}
//后序遍历
public void postOrder(TreeNode root) {
//若为空树，返回
if (root == null) {
return;
}
postOrder(root.left);//左
postOrder(root.right);//右
System.out.print(root.val + " ");//根
}
}
public class Main {
public static void main(String[] args) {
//创建二叉树对象
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
//构建二叉树
BinaryTree.TreeNode root = binaryTree.createTree();
binaryTree.preOrder(root);//前序：A B D E G C F
System.out.println();
binaryTree.inOrder(root);//中序：D B G E A F C
System.out.println();
binaryTree.postOrder(root);//后序：D G E B F C A
}
}
【层序遍历】
层序遍历：即自上而下、从左至右逐层访问树的结点的遍历过程。
2.6 操作二叉树
采用子问题思路来实现二叉树的操作。
1、获取树中结点个数
//获取树中结点的个数
public int size(TreeNode root) {
//若为空树，返回
if (root == null) {
return 0;
}
//返回根结点的左子树 + 根结点的右子树 + 根结点本身
return size(root.left) + size(root.right) + 1;
}2、获取树中叶子结点个数
//获取叶子结点的个数
public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
//若为空树，返回
if (root == null) {
return 0;
}
//若无左子树与右子树，便是叶子结点
if (root.left == null && root.right == null) {
//是叶子结点，返回 1
return 1;
}
//返回根结点的左子树、右子树中的叶子结点
return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
}3、获取第 K 层结点个数
//获取第 K 层结点的个数
public int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
//若为空树，返回
if (root == null) {
return 0;
}
//第 K 层是第 1 层根结点的第 K-1 层，
//也是第 2 层结点的第 K-2 层。
//即第 K 层结点的第 1 层，
if (k == 1) {
return 1;
}
//返回根结点的左子树、右子树的第 K 层结点
return getKLevelNodeCount(root.left, k-1) + getKLevelNodeCount(root.right, k-1);
}4、获取二叉树的高度
//获取二叉树的高度
public int getHeight(TreeNode root) {
//若为空树，返回
if (root == null) {
return 0;
}
//左子树高度
int leftHeight = getHeight(root.left);
//右子树高度
int rightHeight = getHeight(root.right);
//根结点的左子树与右子树对比，
//谁高返回谁 + 根结点本身，即左(右)子树高度 + 1。
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;
}5、检测值为 val 的元素是否存在
//检测值为 val 的元素是否存在
public TreeNode find(TreeNode root, String val) {
//若为空树，返回
if (root == null) {
return null;
}
//判断根结点元素
if (root.val == val) {
return root;
}
//判断根结点的左子树
TreeNode left = find(root.left, val);
if (left != null) {
return left;
}
//判断根结点的右子树
TreeNode right = find(root.right, val);
if (right != null) {
return right;
}
return null;
}总结
1、一棵 n 个结点的树有 n-1 条边。
2、二叉树不存在度大于 2 的结点。
3、二叉树的存储结构分为：顺序存储和链式存储。
4、前序（根左右）；中序（左根右）；后序（左右根）。
5、层序遍历：自上而下、从左至右逐层访问树的结点的遍历过程。
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