931. 下降路径最小和
https://leetcode.cn/problems/minimum-falling-path-sum/description/
给你一个n x n的方形整数数组matrix，请你找出并返回通过matrix的下降路径的最小和。下降路径可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置(row, col)的下一个元素应当是(row + 1, col - 1)、(row + 1, col)或者(row + 1, col + 1)。
- 输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]，输出：13，解释：如图所示，为和最小的两条下降路径。
- 输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]，输出：-59，解释：如图所示，为和最小的下降路径。
提示：n == matrix.length == matrix[i].length；1 <= n <= 100；-100 <= matrix[i][j] <= 100。
我们用动态规划的思想来解决这个问题。
确定状态表示：根据经验和题目要求，我们用dp[i][j]表示：到达[i, j]位置时，所有下降路径的最小和。
推导状态转移方程：想要到达[i, j]位置，只有3种情况：
- 先到达[i - 1, j - 1]位置，再下降到[i, j]位置。此时，到达[i, j]位置的最小和，应该为到达[i - 1, j - 1]位置的最小和加上矩阵中[i, j]位置的元素，也就是dp[i - 1][j - 1] + matrix[i][j]。
- 先到达[i - 1, j]位置，再下降到[i, j]位置。此时，到达[i, j]位置的最小和，应该为到达[i - 1, j]位置的最小和加上矩阵中[i, j]位置的元素，也就是dp[i - 1][j] + matrix[i][j]。
- 先到达[i - 1, j + 1]位置，再下降到[i, j]位置。此时，到达[i, j]位置的最小和，应该为到达[i - 1, j + 1]位置的最小和加上矩阵中[i, j]位置的元素，也就是dp[i - 1][j + 1] + matrix[i][j]。
而到达[i, j]位置的最小和，应该是上面三种情况的最小值，即dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + matrix[i][j], dp[i - 1][j] + matrix[i][j], dp[i - 1][j + 1] + matrix[i][j]) = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1]) + matrix[i][j]。
初始化：根据状态转移方程，我们发现，在填写dp表的最上面一行、最左边一列和最右边一列时，会有越界访问。理论上，我们要对其进行初始化。这里我们采用增加辅助结点的方式来初始化。我们在dp表的最上面、最左边和最右边分别加上一行两列。接下来，我们要考虑，如何初始化辅助结点，才能让后续的填表是正确的。
观察状态转移方程，我们发现有一项是min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1])，用文字来表述，就是dp表中，该位置上面3个位置的最小值。再来分析一下，如果没有辅助结点，dp表第一行的值就应该是矩阵对应位置的值。现在有了辅助结点，只需要使min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1])这一项是0，就能符合预期。所以，最上面一行辅助结点就应该填充0。我们把目前已知的dp表画出来：
0 0 0 0 0
* ? ? ? *
* ? ? *
* ? ? *此时只需要考虑*位置的辅助结点应该如何填写。现在最上面一行?位置的值已经是正确的了，只需要保证最左边和最右边两列的?位置的值也是正确的。再来观察状态转移方程，我们发现，影响结果的一项依然是min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1])，其中dp[i - 1][j - 1]和dp[i - 1][j + 1]会涉及到辅助结点。所以，为了使得求最小值时，辅助结点的值不会影响结果，应该将其初始化为+∞。dp表中*位置的辅助结点，也就是最左边和最右边两列，除了最上面一行的0以外，都要初始化为+∞。由于辅助结点的值并没有容易造成溢出风险的运算，所以将其设为INT_MAX就行了。
综上所述：我们在最上面、最左边和最右边分别增加一行两列辅助结点，并把最上面一行辅助结点初始化为0，把最左边和最右边两列辅助结点中，除了最上面一行之外，都初始化为INT_MAX。
填表顺序：观察状态转移方程，dp表每个位置的值都依赖于上面3个位置的值，所以应从上往下填表，至于左右顺序无所谓，这里选择从左往右填表。
返回值：由于要返回的是所有下降路径的最小和，我们并不知道最终会下降到最下面一行的哪个位置，再根据状态表示，我们应该返回的是dp表最下面一行中，除了最左边和最右边的2个元素之外，其他元素的最小值（事实上，把最左边和最右边的2个元素考虑进去也没什么问题，毕竟INT_MAX不会影响求最小值的结果）。
细节问题：由于新增了一行两列辅助结点，所有dp表的规模会比矩阵多一行两列。题目描述中，矩阵是方形的，假设其规模是n x n，那么dp表的规模就是(n + 1) x (n + 2)。另外，由于新增了辅助结点，需要时刻注意下标的映射关系：dp表的[i, j]位置对应矩阵的[i - 1, j - 1]位置。
时间复杂度：O(N^2)，空间复杂度：O(N^2)。
class Solution {
public:
int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
size_t n = matrix.size();
// 创建dp表
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 2, INT_MAX));
// 初始化
fill(dp[0].begin(), dp[0].end(), 0);
// 填表
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dp[i][j] =
min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1])) +
matrix[i - 1][j - 1];
}
}
// 返回结果
return *min_element(dp[n].begin() + 1, dp[n].end() - 1);
}
};
