1. 复变函数项级数

1.1. 复数序列 { z n } \{z_n\} {zn​}

  一列无穷多个有序的复数 $z_1,z_2,...,z_n,...$ 记作 { z n }    ( n = 1 ,   2 ,   ⋅ ⋅ ⋅ ) \{z_n\}\,\,(n=1,\,2,\,\cdot\cdot\cdot) {zn​}(n=1,2,⋅⋅⋅)。
  
  若 $\exists z_0=a+bi$，对于 $\forall ϵ>0$，存在一个充分大的正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $|z_n-z_0|<ϵ$，记作
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=z_0$$
  并称 { z n } \{z_n\} {zn​} 收敛于极限 $z_0$，反之，若极限不存在，则称 { z n } \{z_n\} {zn​} 发散。
  

1.2. 复数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n$

  对于 { z n } \{z_n\} {zn​}，$z_1+z_2+\cdot \cdot \cdot +z_n+\cdot \cdot \cdot$ 记作 $\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n(z_n=a_n+i{b}_n)$。
  
  其前 $n$ 项和 $s_n=z_1+z_2+\cdot \cdot \cdot +z_n$，称为部分和。若 { s n } \{s_n\} {sn​} 收敛于
$$s=\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n$$
  则称 $\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n$ 收敛，并称该极限为级数的和，记作 $s=\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n$，反之，若极限不存在，则称级数发散。
  

1.2.1. 收敛条件

  复数项级数收敛的充要条件：$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$ 同时收敛

  复数项级数收敛的必要条件：$\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=0$
  

1.2.2. 绝对收敛和条件收敛

  $\sum _{n=1}^{\infty }|z_n|$ 收敛，称 $\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n$ 绝对收敛，并且 $\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n$ 一定收敛。
  
  $\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n$ 收敛，而 $\sum _{n=1}^{\infty }|z_n|$ 发散，称 $\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n$ 条件收敛。
  

1.3. 复变函数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(z)$

  对于复变函数序列 { f n ( z ) } \{f_n(z)\} {fn​(z)}，$f_1(z)+f_2(z)+\cdot \cdot \cdot +f_n(z)+\cdot \cdot \cdot$ 记作 $\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(z)$。
  
  其中，$f_n(z)$ 均定义在集合 $E$ 上。若 $\exists z_0\in E$，复数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(z_0)$ 收敛，则称 $\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(z)$ 在 $z_0$ 处收敛，并称 $z_0$ 为收敛点，$\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(z)$ 的收敛点的全集为它的收敛域，记作 $D$。
  
  其前 $n$ 项和 $s_n(z)=f_1(z)+f_2(z)+\cdot \cdot \cdot +f_n(z)$，称为部分和。则 $\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(z)$ 的和函数为
$$s(z)=\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n(z),z\in D$$
  记作$$s(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(z)$$

1.3.1. 一致收敛

  对于 $\forall ϵ>0$，存在充分大的正整数 $N(ϵ)$，当 $n>N(ϵ)$ 时，$|s(z)-s_n(z)|<ϵ$ 在 $E$ 上恒成立，称 $\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(z)$ 一致收敛于 $s(z)$。
  
  其充要条件为：对于收敛的正项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{M}_n$，$|f_n(z)|\le M_n$
  
  同一定义集上，复变函数 $f_n(z)$ 和一致收敛于 $s(z)$ 的 $\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(z)$ 有以下性质

• 连续性：区域 $D$ 上，对于连续函数 $f_n(z)$，$s(z)$ 连续
• 可积性：（逐段）光滑曲线 $C$ 上，对于连续函数 $f_n(z)$，$s(z)$ 可积，并有
  $${\int }_C\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(z)dz={\int }_{C}s(z)dz=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_C{f}_n(z)dz$$
• 可微性：区域 $D$ 上，对于解析函数 $f_n(z)$，$s(z)$ 解析，并有
  $$s^{(p)}(z)dz=\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n^{(p)}(z)dz(p=1,2,\cdot \cdot \cdot )$$
    

2. 幂级数

2.1. 一般式与标准式

  形如 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n-1}(z-z_0{)}^{n-1}$ 的复变函数项级数称为幂级数，其一般形式为 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-z_0{)}^n$，取 $z_0=0$ 时，为标准形式 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n$
  

2.2. 阿贝尔（Abel）定理

  对于标准幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n$，若级数在点 $z_0(\ne 0)$ 处

• 收敛：级数在 $|z|<|z_0|$ 上绝对收敛，在 $|z|\le \rho |z_0|(0<\rho <1)$ 上一致收敛
• 发散：级数在 $|z|>|z_0|$ 上发散
    

2.3. 收敛半径与收敛圆

  对于一般幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-z_0{)}^n$，一定 $\exists R>0$，满足

• $|z-z_0|<R$ 时级数绝对收敛
• $|z-z_0|>R$ 时级数发散
• $|z-z_0|=R$ 时级数敛散性不确定

  则称 $R$ 为级数的收敛半径，$|z-z_0|<R$ 为级数的收敛圆。一般幂级数的收敛半径的求法如下：
  
  级数的增长速率分别定义为

• 检比法（达朗贝尔法则）：$\lambda =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
• 检根法（柯西法则）：$\lambda =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}$

  都有
$$R=\{\begin{array}{ll}+\infty ,& \lambda =0\\ & \\ \frac{1}{\lambda },& 0<\lambda <+\infty \\ & \\ 0,& \lambda =+\infty \end{array}$$
  

2.4. 分析性质

  对于一般幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-z_0{)}^n$，在收敛圆 $D$ 上，和函数 $s(z)$ 解析并可积，设光滑曲线 $C\subset D$，有
$$s^{(k)}(z)=\sum _{n=k}^{\infty }\frac{n!}{(n-k)!}{a}_n(z-z_0{)}^{n-k}$$ $${\int }_{C}s(z)dz={\int }_C\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-z_0{)}^{n}dz$$
  

2.5. 复合性质

  对于标准幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n=s(z)$，收敛半径为 $R$，复变函数 $g(z)$ 满足 $|g(z)|<R$，若其解析区域为 $|z|<R$，则有
$$s[g(z)]=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n[g(z){]}^n$$
  

2.6. 运算性质

  对于标准幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n,\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{z}^n$，收敛半径分别为 $R_1,R_2$，有加法：
$$(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n)\pm (\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{z}^n)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_n\pm b_n)z^n$$

  有柯西乘积：
$$(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n)(\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{z}^n)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k})z^n$$

  其中新级数的收敛半径 R = m i n { R 1 ,    R 2 } R=min\{R_1,\,\,R_2\} R=min{R1​,R2​}. 若 $b_0\ne 0$，且 $\exists \sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^n$，使得
$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n=(\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{z}^n)(\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^n)$$
  则称 $\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^n$ 是 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n$ 和 $\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{z}^n$ 的商。
  

3. 泰勒级数

3.1. 泰勒展开定理

  $f(z)$ 在区域 $D$ 上解析，$z_0\in D$，$R$ 为 $z_0$ 到区域边界（最近奇点）的距离，则收敛圆 $|z-z_0|<R$ 上，有
$$f(z)=\sum _{n=0}^{N-1}{a}_n(z-z_0{)}^n+R_N(z)$$

  由柯西积分公式、常见幂级数展开和高阶导数公式，易证
$$a_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C_r}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{(n+1)}}d\zeta =\frac{f^n(z_0)}{n!}$$ $$R_N(z)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C_r}[\sum _{n=N}^{\infty }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{(n+1)}}(z-z_0{)}^n]d\zeta$$

  其中，$C_r:|\zeta -z_0|=r<R$. 由此推知，$f(z)$ 在 $z_0$ 解析的充要条件 为：$f(z)$ 在 $z_0$ 附近展开为幂级数，而该级数只能是泰勒级数。
  

3.2. 直接展开法

  利用泰勒展开式，直接计算展开系数 $a_n$，由此可得以下常用函数的幂级数展开式：

  收敛域为 $|z|<1$ 的有：
$$\frac{1}{1-z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n$$ $$\frac{1}{1+z}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{z}^n$$ $$ln(1+z)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{z^n}{1}$$

  收敛域为 $|z|<+\infty$ 的有：
$$e^z=\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n$$ $$sinz=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ $$cosz=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}$$
  

3.3. 间接展开法

  将展开式未知的函数 $f(z)$ 向展开式已知的函数 $g(z)$ 的形式构造，并利用级数的分析性质、复合性质和运算性质求解。

  对于在 $z_0=\zeta$ 处的泰勒展开式，需利用添项法转化为 $f(z-\zeta )$ 的形式，并通过提出常系数因子或 $(z-\zeta {)}^m$ 的方式构造出 $g(z-\zeta )$（其导函数或者原函数的部分也可），再利用级数性质求解。

  特别的，对于 $n=0$ 项为常数的级数求导后所得的级数，其首项应从 $n=1$ 开始。
  

3.4. 待定系数法

  对于一个展开式未知的函数 $f(z)$ 和两个展开式已知的函数 $g(z)$ 和 $h(z)$，若满足以下条件之一：
$$g(z)=f(z)\cdot h(z)$$ $$g(z)=f(z)\pm h(z)$$

  即可对 $f(z)$ 用待定系数展开泰勒级数，并将各函数的幂级数展开式代入上式，从而通过比较同次幂项系数解出待定系数。
  

3.5. 级数代入法

  设有复合函数 $f(z)=F[g(z)]$，其中 $F(\zeta )=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha }_k{\zeta }^k$，$g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\beta }_n{z}^n$，收敛圆分别为$|\zeta |<r$ 和 $|z|<R$，且 $|z|<R$ 时，$|g(z)|<r$，则有
$$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha }_k(\sum _{n=0}^{\infty }{\beta }_n{z}^n{)}^k$$

  利用柯西乘积将 $(\sum _{n=0}^{\infty }{\beta }_n{z}^n{)}^k$ 展开为幂级数，即可求解（结果不一定有通项）。
  

4. 洛朗级数

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_n(z-z_0{)}^n$$

4.1. 圆环收敛域

  洛朗级数可分为含有正幂项和负幂项的级数，即：$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-z_0{)}^n$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{-n}(z-z_0{)}^{-n}$，其收敛半径分别为 $R_2$ 和 $\frac{1}{R_1}$。

  仅当 $0\le R_1<R_2\le +\infty$ 时，洛朗级数有收敛域，即圆环
$$D:R_1<|z-z_0|<R_2$$
  

4.2. 唯一性

  在闭圆环域上解析的函数，在该解析区域上的洛朗级数展开唯一。