题目描述(简单难度)

给一个数组，存在一个数字超过了半数，找出这个数。

解法一

这种计数问题，直接就会想到 HashMap，遍历过程中统计每个数字出现的个数即可。可以确定的是，超过半数的数字一定有且只有一个。所以在计数过程中如果出现了超过半数的数字，我们可以立刻返回。

 public int majorityElement(int[] nums){
        HashMap<Integer,Integer> map = new HashMap<>();
        int n = nums.length;
        for(int i = 0;i < nums.length; i++){
            int numbers_count = map.getOrDefault(nums[i],0);
            if(numbers_count == n/2){
                return nums[i]
            }
            map.put(nums[i],numbers_count + 1);
        }
        return -1;
    }

上边的解法时间复杂度是 O(n)，同时也需要 O(n) 的空间复杂度。所以下边讨论在保证时间复杂度不变的情况下，空间复杂度为 O(1) 的解法。

解法二 位运算

举个例子：

5 5 2 1 2 2 2 都写成 2 进制

1 0 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1 
0 1 0
0 1 0
0 1 0

由于 2 是超过半数的数，它的二进制是 010，所以对于从右边数第一列一定是 0 超过半数，从右边数第二列一定是 1 超过半数，从右边数第三列一定是 0 超过半数。然后每一列超过半数的 0,1,0 用 10进制表示就是 2 。

所以我们只需要统计每一列超过半数的数，0 或者 1，然后这些超过半数的二进制位组成一个数字，就是我们要找的数。

当然，我们可以只统计 1 的个数，让每一位开始默认为 0，如果发现某一列的 1 的个数超过半数，就将当前位改为 1。

具体算法通过按位与和按位或实现。

def majorityElement(nums):
    # 32位整数
    bits = [0] * 32

    # 统计每一位上1的个数
    for num in nums:
        for i in range(32):
            # 检查num的第i位是否为1
            if num & (1 << i):
                bits[i] += 1

    # 重建多数元素
    majority = 0
    n = len(nums)
    for i in range(32):
        if bits[i] > n // 2:
            # 如果第i位1的个数超过n//2，则多数元素的第i位为1
            if i == 31:  # 处理负数情况
                majority -= (1 << i)
            else:
                majority |= (1 << i)

    return majority

# 测试示例
nums = [3, 2, 3]
print(majorityElement(nums))  # 输出 3

nums = [2, 2, 1, 1, 1, 2, 2]
print(majorityElement(nums))  # 输出 2

初始化位计数器：

bits 是一个长度为32的数组，用于存储每一位上1的个数。
统计每一位的1的个数：

对于数组中的每个数字，检查每一位是否为1。
如果某一位为1，则增加对应位置的计数器。
重建多数元素：

遍历每一位，如果某一位上1的个数超过 n//2，则将该位设置为1。
特别地，对于第31位（符号位），如果超过 n//2，需要处理负数情况，将对应位减去而不是增加。
通过这种方法，可以高效地找到数组中的多数元素，时间复杂度为 O(32n) ≈ O(n)，空间复杂度为 O(1)。

这里通过 num & (1 << i) 检查 num 的第 i 位是否为 1。如果是，表达式的结果不为 0；如果不是，结果为 0。

摩尔投票法

1980 年由 Boyer 和 Moore 两个人提出来的算法，英文是 Boyer-Moore Majority Vote Algorithm。

算法思想很简单，但第一个想出来的人是真的强。

我们假设这样一个场景，在一个游戏中，分了若干个队伍，有一个队伍的人数超过了半数。所有人的战力都相同，不同队伍的两个人遇到就是同归于尽，同一个队伍的人遇到当然互不伤害。

这样经过充分时间的游戏后，最后的结果是确定的，一定是超过半数的那个队伍留在了最后。

而对于这道题，我们只需要利用上边的思想，把数组的每个数都看做队伍编号，然后模拟游戏过程即可。

group 记录当前队伍的人数，count 记录当前队伍剩余的人数。如果当前队伍剩余人数为 0，记录下次遇到的人的所在队伍号。

public int majorityElement(int[] nums) {
        int count = 1;
        int group = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            //当前队伍人数为零，记录现在遇到的人的队伍号
            if (count == 0) {
                count = 1;
                group = nums[i];
                continue;
            }
            //现在遇到的人和当前队伍同组，人数加 1
            if (nums[i] == group) {
                count++;
            //遇到了其他队伍的人，人数减 1
            } else {
                count--;
            }
        }
        return group;

参考文献

• https://zhuanlan.zhihu.com/p/93208809