数学建模~~多目标规划

1.认识多目标规划

（1）前面我们介绍的是单目标规划，现在我们要认识一下多目标规划：

（2）使用上面的这个题目作为例子，简单的翻译一下题干，这个题目说的就是有1，2这两种产品需要我们进行生产，一共有11的原材料，10小时的时间，产品1的生产消耗原材料2千克，需要耗费1小时，利润是8万元，产品二以此类推；

如果是单个目标规划问题，可能题干就会问这个最大的利润是多少，如果是这个多目标规划问题，问题就是这个图片里面展示的那样，产品1的产量不超过产品2的产量，充分利用设备就是说不要只是用一个设备，而且最大化这个效率，不希望加班的意思就是时间不能超过这个10小时，总利润不能低于56万元；

上面的这三个目标就是我们说的多目标；这三个目标并不是都要一定满足，而是在不能全部满足的情况下，根据重要性进行取舍；

2.模型分析

（1）正负偏差变量

衡量的是每个目标的完成情况：

我们定义变量fi表示的是这个目标的实际值，我们使用di0表示的是这个目标的理论值；

正偏差变量di+=max{fi-di0,0}，就是取得两者里面的最大值；

负偏差变量di-=-min{fi-di0,0},就是这个实际值偏离理论值的部分；

上面的这个只是看起来好像还要运算，还要求最值，有的时候求最大值，有的时候求最小值，其实实际过程中这个偏差变量我们一眼就可以看出来，而且无论是正偏差变量还是负偏差变量，这个具体的数值都是一个正数；

上面的这个就是理论值56万元，50万就是低于这个理论值，产生的就是负偏差变量6，60万元就是超过了这个理论值，产生的就是正偏差变量4；

（2）目标函数

目标函数1：

因为题目的要求是不超过这个目标值，但是现实生活中可能会那么不尽如人意，不超过这个目标值更好，超过的话就尽量让这个正偏差变量越小越好；

目标函数3：

要求不少于目标值，大于目标值更好，如果实在是小于目标值，我们就需要让这个负偏差变量越小越好；

目标函数2：

尽量充分利用设备，但是不希望加班，就是让这个x1+x2的时间尽量等于10个小时；

（3）约束条件

这个分为绝对约束和相对约束，绝对约束就是题目必须要满足的条件，目标约束就是允许的偏差

这个目标约束遵循多退少补的规则，就是这个di-是这个负偏差变量，di+就是正偏差变量，我们把这个不足的给补上，把这个超过的给减去，最后就可以把这个8x1+10x2的大于等于号变成等于号，因为在这个偏差变量的加持下，我们已经考虑到了这个误差，所以这个时候是可以取到等号的

（4）优先因子

这个优先因子就是重要性的意思，这个题目里面我们假设他们的重要性是一致的；

我们上面就是这个数学模型的数学语言，这个里面的第一行就是目标函数，下面的大括号里面的就是约束条件，其中第一个是绝对约束，下面的三个就是目标约束条件；

这个里面的p1,p2,p3就是我们上面已经提到的优先因子，为什么这个d1是右上角有正号，d3的右上角有负号，因为这个是取决于我们的约束条件的，因为这个第一个条件是产品1的尽量小于产品2的，就是x1-x2<=0.但这个可能会不满足，我们考虑的就是这个不满足的，因为这个d代表的就是偏差因子，只有x1>x2才叫做偏差，大于的话，我们希望这个正偏差变量越小越好，因为这个是正偏差变量，所以我们的d的右上角是正号，

同理，第三个约束条件的是让这个利润尽量大于56，如果这个大于的话，肯定是符合条件的，小于的话就是负偏差变量，所以这个地方就是d的右上角有一个负号；

通过这里我们就可以得出多退少补的一个规律，就是正偏差变量的前面是减号，负偏差变量的前面是加号（通过这个可以辅助我们记住偏差变量前面的符号）；

3.数学建模

（1）优先因子说明

首先需要注意的就是这个题目（注意是这个题目，不是所有该类型的），这里的p1p2p3仅仅表示的是计算的先后顺序，不是一个具体的数字（可以是具体的数字，但是这样就具有主观性，所以我们一般不会这样做的）；

（2）序贯算法

就是这里第一个优先级计算时，我们这个地方求出第一个单目标规划的时候最优解是f1,我们在这个第一个优先因子里的最优解f1在新的约束条件下面进行第二个优先级的目标的最优解，以此类推，这个地方需要注意的就是这个当我们求解到最后一级的时候，是吧前面的所有作为新的约束条件，而不仅仅是他的上一级作为约束条件；

（3）创建优化问题和优化变量

我们这里是使用的关键字optimvar创建优化变量，使用这个optimproblem关键字创建优化问题；

（为了方便大家记忆这个关键字，简单介绍，这个optim就是英文单词optimistic简写，这个单词的意思就是乐观的，在数学建模里面就有这个优化的意思，都表示的是朝着好的方向发展，var就是表示的创建一个变量，无论是在MATLAB还是其他的编程语言里面，这个var都可以用来表示一个变量的创建，所以optimvar就表示的优化变量，optimproblem就表示的优化问题）；

（4）创建优化变量问题代码

上面展示的就是优化变量和优化问题的创建，x,dp,dm都是在创建优化变量，因为创建优化变量使用的是 optimvar关键字，x,dp,dm加上单引号表示的是这个变量的名字，我们就是在这个x的外面加上单引号就可以了（实际上这个可以类似于C++里面的类和对象的创建，等号左边的x可以理解为一个类，右边括号里面的带引号的x可以理解为对象，对象的名字就是在这个类外面加上引号，这样明明是为了我们后续使用的时候代码更加简洁，省略不必要的问题）；

lowerbound字面就是最低边界意思，在这个地方可以理解为最小值，我们对于这三个优化变量的最小值全部设置为0；这里说明一下，x创建了两个变量就是代表的产品1和产品2，dp表示的是正偏差变量，dm表示的是负偏差变量，无论是正偏差变量还是负偏差变量我们都设置3个，这三个偏差变量分别代表的是第一个约束条件的两个产品的生产数量之间的关系，第二个偏差变量代表这个生产时间的那个偏差，第三个偏差变量就代表的是生产利润的偏差；