第二次作业【分治算法】
文章目录
- 第二次作业【分治算法】
- <1>算法实现题 2-2 马的Hamilton周游路线问题
- <2> 算法实现题 2-3 半数集问题
- <3>算法实现题 2-6 排列的字典序问题
- <4> 算法实现题 2-7 集合划分问题
<1>算法实现题 2-2 马的Hamilton周游路线问题
▲题目重述
8*8的国际象棋棋盘上的一只马，恰好走过除起点外的其他63个位置各一次，最后回到起点。这条路线称为马的一条Hamiltion周游路线。对于给定的m*n的国际象棋盘，m,n均为大于5的偶数，且|m-n|<=2,试分析分治算法找出马的一条Hamilton周游路线。
算法设计：对于给定的偶数m,n>=6,且|m-n|<=2,计算m*n的国际象棋盘上马的一条Hamilton周游路线。
数据输入：由文件input.txt给出输入数据。第1行有两个正整数m和n,表示给固定的国际象棋棋盘有m行，每行有n个格子组成
结果输出：将计算的马的Hamilton周游路线用下面两种表达方式输出到文件output.txt.
▲解题思路
首先打表数据*：66,68,88,810,1010,1012的结构化棋盘，其中是小规模的子结构，其中包含了该规模的棋盘走法。
分治划分规模：将棋盘尽可能平均地分割成4块。当m,n=4k时，分割为2个2k；当m,n=4k+2时，分割为1个2k和1个2k+2，如图：
▲代码
#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;
struct grid
{
//表示坐标
int x;
int y;
};
class Knight{
public:
Knight(int m,int n);
~Knight(){};
void out0(int m,int n,ofstream &out);
grid *b66,*b68,*b86,*b88,*b810,*b108,*b1010,*b1012,*b1210,link[20][20];
int m,n;
int pos(int x,int y,int col);
void step(int m,int n,int a[20][20],grid *b);
void build(int m,int n,int offx,int offy,int col,grid *b);
void base0(int mm,int nn,int offx,int offy);
bool comp(int mm,int nn,int offx,int offy);
};
Knight::Knight(int mm,int nn){
int i,j,a[20][20];
m=mm;
n=nn;
b66=new grid[36];b68=new grid[48];
b86=new grid[48];b88=new grid[64];
b810=new grid[80];b108=new grid[80];
b1010=new grid[100];b1012=new grid[120];
b1210=new grid[120];
//cout<<"6*6"<<"\n";
ifstream in0("66.txt",ios::in); //利用文件流读取数据
ifstream in1("68.txt",ios::in); //利用文件流读取数据
ifstream in2("88.txt",ios::in); //利用文件流读取数据
ifstream in3("810.txt",ios::in); //利用文件流读取数据
ifstream in4("1010.txt",ios::in); //利用文件流读取数据
ifstream in5("1012.txt",ios::in); //利用文件流读取数据
for(i=0;i<6;i++)
{
for(j=0;j<6;j++)
{
in0>>a[i][j];
}
}
step(6,6,a,b66);
//cout<<"6*8"<<"\n";
for(i=0;i<6;i++)
{
for(j=0;j<8;j++)
{
in1>>a[i][j];
}
}
step(6,8,a,b68);
step(8,6,a,b86);
//cout<<"8*8"<<"\n";
for(i=0;i<8;i++)
{
for(j=0;j<8;j++)
{
in2>>a[i][j];
}
}
step(8,8,a,b88);
for(i=0;i<8;i++)
{
for(j=0;j<10;j++)
{
in3>>a[i][j];
}
}
step(8,10,a,b810);
step(10,8,a,b108);
//cout<<"10*10"<<"\n";
for(i=0;i<10;i++)
{
for(j=0;j<10;j++)
{
in4>>a[i][j];
}
}
step(10,10,a,b1010);
for(i=0;i<10;i++)
{
for(j=0;j<12;j++)
{
in5>>a[i][j];
}
}
step(10,12,a,b1012);
step(12,10,a,b1210);
}
//将读入的基础棋盘的数据转换为网格数据
void Knight::step(int m,int n,int a[20][20],grid *b)
{
int i,j,k=m*n;
if(m<n)
{
for(i=0;i<m;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
int p=a[i][j]-1;
b[p].x=i;
b[p].y=j;
}
}
}
else
{
for(i=0;i<m;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
int p=a[j][i]-1;
b[p].x=i;
b[p].y=j;
}
}
}
}
//分治法的主体部分
bool Knight::comp(int mm,int nn,int offx,int offy)
{
int mm1,mm2,nn1,nn2;
int x[8],y[8],p[8];
if(mm%2||nn%2||mm-nn>2||nn-mm>2||mm<6||nn<6) return 1;
if(mm<12||nn<12)
{
base0(mm,nn,offx,offy);
return 0;
}
mm1=mm/2;
if(mm%4>0)
{
mm1--;
}
mm2=mm-mm1;
nn1=nn/2;
if(nn%4>0)
{
nn1--;
}
nn2=nn-nn1;
//分割
comp(mm1,nn1,offx,offy);//左上角
comp(mm1,nn2,offx,offy+nn1);//右上角
comp(mm2,nn1,offx+mm1,offy);//左下角
comp(mm2,nn2,offx+mm1,offy+nn1);//右下角
//合并
x[0]=offx+mm1-1; y[0]=offy+nn1-3;
x[1]=x[0]-1; y[1]=y[0]+2;
x[2]=x[1]-1; y[2]=y[1]+2;
x[3]=x[2]+2; y[3]=y[2]-1;
x[4]=x[3]+1; y[4]=y[3]+2;
x[5]=x[4]+1; y[5]=y[4]-2;
x[6]=x[5]+1; y[6]=y[5]-2;
x[7]=x[6]-2; y[7]=y[6]+1;
for(int i=0;i<8;i++)
{
p[i]=pos(x[i],y[i],n);
}
for(int i=1;i<8;i+=2)
{
int j1=(i+1)%8,j2=(i+2)%8;
if(link[x[i]][y[i]].x==p[i-1])
link[x[i]][y[i]].x=p[j1];
else
link[x[i]][y[i]].y=p[j1];
if(link[x[j1]][y[j1]].x==p[j2])
link[x[j1]][y[j1]].x=p[i];
else
link[x[j1]][y[j1]].y=p[i];
}
return 0;
}
根据基础解构造子棋盘的Hamilton回路
void Knight::base0(int mm,int nn,int offx,int offy)
{
if(mm==6&&nn==6)
build(mm,nn,offx,offy,n,b66);
if(mm==6&&nn==8)
build(mm,nn,offx,offy,n,b68);
if(mm==8&&nn==6)
build(mm,nn,offx,offy,n,b86);
if(mm==8&&nn==8)
build(mm,nn,offx,offy,n,b88);
if(mm==8&&nn==10)
build(mm,nn,offx,offy,n,b810);
if(mm==10&&nn==8)
build(mm,nn,offx,offy,n,b108);
if(mm==10&&nn==10)
build(mm,nn,offx,offy,n,b1010);
if(mm==10&&nn==12)
build(mm,nn,offx,offy,n,b1012);
if(mm==12&&nn==10)
build(mm,nn,offx,offy,n,b1210);
}
void Knight::build(int m,int n,int offx,int offy,int col ,grid *b)
{
int i,p,q,k=m*n;
for(i=0;i<k;i++)
{
int x1=offx+b[i].x,y1=offy+b[i].y,x2=offx+b[(i+1)%k].x,y2=offy+b[(i+1)%k].y;
p=pos(x1,y1,col);
q=pos(x2,y2,col);
link[x1][y1].x =q;
link[x2][y2].y =p;
}
}
//计算方格的编号
int Knight::pos(int x,int y,int col)
{
return col*x+y;
}
void Knight::out0(int m,int n,ofstream &out)
{
int i,j,k,x,y,p,a[20][20];
if(comp(m,n,0,0))
return;
for(i=0;i<m;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
a[i][j]=0;
}
}
i=0;j=0;k=2;
a[0][0]=1;
out<<"(0,0)"<<"";
for(p=1;p<m*n;p++)
{
x=link[i][j].x;
y=link[i][j].y;
i=x/n;j=x%n;
if(a[i][j]>0)
{
i=y/n;
j=y%n;
}
a[i][j]=k++;
out<<"("<<i<<","<<j<<")";
if((k-1)%n==0)
{
out<<"\n";
}
}
out<<"\n";
for(i=0;i<m;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
out<<a[i][j]<<" ";
}
out<<"\n";
}
}
int main()
{
int m,n;
ifstream in("input.txt",ios::in); //利用文件流读取数据
ofstream out("output.txt",ios::out);//利用文件流将数据存到文件中
in>>m>>n;
Knight k(m,n);
k.comp(m,n,0,0);
k.out0(m,n,out);
in.close();
out.close();
}
▲验证
书上案例验证通过
<2> 算法实现题 2-3 半数集问题
▲问题重述
给定一个自然数 n，由 n 开始可以依次产生半数集 set(n)中的数如下。
-
(1) n∈set(n)；
-
(2) 在 n 的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；
-
(3) 按此规则进行处理，直到不能再添加自然数为止。
例如，set(6)={6,16,26,126,36,136}。半数集 set(6)中有 6 个元素。
注意半数集是多重集。
编程任务：对于给定的自然数 n，编程计算半数集 set(n)中的元素个数。
数据输入：输入数据由文件名为 input.txt 的文本文件提供。每个文件只有 1 行，给出整数 n。(0<n<1000)
结果输出：程序运行结束时，将计算结果输出到文件 output.txt 中。输出文件只有 1 行，给出半数集 set(n)中的元素个数。
▲解题思路
问题有些复杂的时候可以先举例子。
例如.set(6) 6，16，26，126，36，136。半数集set(6)中有6个元素。
例如.set(10) 10，510，2510，12510，1510，410，2410，12410，1410，310，1310，210，1210，110，半数集set(10)中有14个元素。
设set(n)中的元素个数为f(n)。如：6的前面可以加上1、2、3，而2、3的前面又都可以加上1，也就是f(6)=1+f(3)+f(2)+f(1)。
则显然有递归表达式：f(n)=1+∑f(i)，i=1,2……n/2。
可以先写一个递归函数如下
int f(int n)
{
int temp=1;
if(n>1)
for (int i=1；i < = n/2；i ++)
temp+=f(i)；
return temp；
}
时间复杂度：n/2个相加，每一个需要计算1+…+i/2，因此时间复杂度为O(n^2)缺点：这样会有很多的重复子问题计算。
这个问题显然存在重叠子问题：例如，当n=4时，f(4)=1+f(1)+f(2)，而f(2)=1+f(1)，在计算f(2)的时候又要重复计算一次f(1)。如果这样的话时间复杂度会很大，我们要想办法简化重叠部分的计算。
可以采用“备忘录”的方法，来避免重叠部分的计算。
▲代码
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int solve(int f[], int n)
{
if (n == 1)
return 1;
if (f[n] != 0)
return f[n];
int sum = 1;
for (int i = 1; i <= n / 2; i++)
sum += solve(f, i);
f[n] = sum;
return sum;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int f[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++)
f[i] = 0;
printf("%d\n", solve(f, n));
}
▲验证
P1028 [NOIP2001 普及组] 数的计算（https://www.luogu.com.cn/problem/P1028）
测试结果如下：
▲算法分析
使用到记忆化剪枝，本质上仍然是对每个f[i]都去遍历了f[0]到f[n/2]，所以时间复杂度应该是O(n^2)。
由于开了备忘录数组，空间复杂度O(n)。
<3>算法实现题 2-6 排列的字典序问题
▲题目重述
问题描述：n个元素1 , 2 , ⋯ , n 有 n ! {1,2,\cdots,n}有n!1,2,⋯,n有n!个不同的排列。将这n ! n!n!个排列按字典序排列，并编号为0 , 1 , ⋯ , n ! − 1 0,1,\cdots,n!-10,1,⋯,n!−1。每个排列的编号为其字典序值。例如，当n=3时，6个不同排列的字典序值如下：
| 字典序值 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 排列 | 123 | 132 | 213 | 231 | 312 | 321 |
算法设计：给点n及n个元素的一个排列，计算出这个排列的字典序值，以及按字典序排列的下一个排列
数据输入：由文件input.txt提供输入数据。文件的第1行是元素个数n。接下来的一行是n个元素的一个排列
结果输出：将计算出的排列的字典序值和按字典序排列的下一个排列输出到文件output.txt。文件的第1行是字典序值，第2行是按字典序排列的下一个排列。
▲解题思路
- 阶乘函数 (
factorial)： 通过递归计算阶乘，并使用数组factorial_array进行记忆化，以避免在相同参数上的重复计算。 - 排列函数 (
permutation)： 通过调用阶乘函数计算排列的总数，该函数返回以输入整数为长度的排列的数量。 - 字典序索引计算函数 (
dictNum)： 该函数通过模拟字典序生成的过程，计算给定整数序列在字典序中的索引。它使用一个辅助链表sup_array来存储部分已经排好序的数字，然后遍历输入数组，计算每个数字在当前序列中的相对位置，从而得到总的字典序索引。 - 主函数 (
main)：- 读取输入文件中的整数
n和整数数组data。 - 调用
dictNum函数计算字典序索引，并将结果写入输出文件。 - 尝试找到下一个字典序排列，如果找到，将其写入输出文件。
- 读取输入文件中的整数
▲代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define rep(i, s, n) for (int i = s; i < n; i++)
#define reb(i, d, n) for (int i = d; i >= n; i--)
const int N = 100;
ll factorial_array[N];
list<int> sup_array; // 辅助数组
ll factorial(int n)
{
if (factorial_array[n] != 0)
return factorial_array[n];
ll res = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
res *= i;
factorial_array[n] = res; // 记忆，避免重复计算
return res;
}
ll permutation(int n)
{
ll res = 1;
rep(i, 2, n)
res *= factorial(i);
return res;
}
ll dictNum(int *data, int size)
{
// 将数字插入辅助数组中，判断有多少个比其小的数
int index = 1;
ll res = 0;
sup_array.push_back(data[0]);
res += (data[0] - 1) * factorial(size - 1);
for (int i = 1; i < size; i++)
{
list<int>::iterator p = sup_array.begin();
int min_nums;
int j;
for (j = 0; p != sup_array.end(); p++, j++)
{
if (data[i] < *p) // 升序排列 找到位置
{
min_nums = (data[i] - j - 1);
sup_array.insert(p, data[i]);
break;
}
}
if (p == sup_array.end())
{
min_nums = (data[i] - j - 1);
sup_array.push_back(data[i]);
}
res += (min_nums)*factorial(size - i - 1);
}
return res;
}
int main()
{
int n;
ifstream fin;
fin.open("input.txt", ios::in);
if (!fin.is_open())
{
cerr << "input.txt not found" << endl;
return -1;
}
ofstream fout;
fout.open("output.txt", ios::out);
fin >> n;
int data[N];
// cout << factorial(7) + 4 * factorial(6) + 2 * factorial(5) + 2 * factorial(4) + 3 * factorial(3) + 1 << endl;
rep(i, 0, n)
{
fin >> data[i];
}
fout << dictNum(data, n) << endl;
// 寻找下一个，倒着遍历 直到找到第一个比最后一个小的数，然后交换，再把后面排序即可
bool flag = 0;
reb(i, n - 2, 0)
{
if (data[i] < data[n - 1])
{
swap(data[i], data[n - 1]);
sort(data + i + 1, data + n);
flag = 1;
break;
}
}
if (!flag)
sort(data, data + n);
rep(i, 0, n)
fout
<< data[i] << " ";
fin.close();
fout.close();
return 0;
}
▲验证
书上验证案例通过。
<4> 算法实现题 2-7 集合划分问题
▲问题重述
n 个元素的集合{1,2,……, n }可以划分为若干个非空子集。例如，当 n=4 时，集合{1，2，3，4}可以划分为 15 个不同的非空子集如下：
{{1}，{2}，{3}，{4}}，
{{1，2}，{3}，{4}}，
{{1，3}，{2}，{4}}，
{{1，4}，{2}，{3}}，
{{2，3}，{1}，{4}}，
{{2，4}，{1}，{3}}，
{{3，4}，{1}，{2}}，
{{1，2}，{3，4}}，
{{1，3}，{2，4}}，
{{1，4}，{2，3}}，
{{1，2，3}，{4}}，
{{1，2，4}，{3}}，
{{1，3，4}，{2}}，
{{2，3，4}，{1}}，
{{1，2，3，4}}
编程任务：
给定正整数 n，计算出 n 个元素的集合{1,2,……, n }可以划分为多少个不同的非空子集。
数据输入：
由文件 input.txt 提供输入数据。文件的第 1 行是元素个数 n。
结果输出:
程序运行结束时，将计算出的不同的非空子集数输出到文件 output.txt 中。
▲解题思路
这道题在实验里做过了，在实验里我给出了三种方法解决这道题，详细可以参考实验报告2。
这里作为作业，为了简单考虑，我采取先求出第二类斯特林数再加和得到贝尔数的方法来解决。
【贝尔数】
B[n]的含义是基数为 n的集合划分成非空集合的划分数。
贝尔数自身递推关系： B[n+1] = ∑ C(n,k) B[k] ，其中k从0到n。
其中定义B[0] = 1
【第二类斯特林数】
第二类斯特林数实际上是集合的一个拆分，表示将 n个不同的元素拆分成m个集合间有序（可以理解为集合上有编号且集合不能为空）的方案数，记为 S(n,m) （这里是大写的）或者 {n m} (n在上m在下) 。
和第一类斯特林数不同的是，这里的集合内部是不考虑次序的，而圆排列圆的内部是有序的。常常用于解决组合数学中的几类放球模型。描述为：将n个不同的球放入m个无差别的盒子中，要求盒子非空，有几种方案。
S(n,k)的值可以递归的表示为：S(n+1, k) = kS(n, k) + S(n, k-1)。
递推边界条件：
S(n,n) = 1, n>=0
S(n,0) = 0, n>=1
为什么会这样表示呢？当我们将第（n + 1）个元素添加到k个划分集合时，有两种可能性。
- 第n + 1个元素作为一个单独的集合参与到划分成k个集合，有S(n,k-1)个。
- 将第n + 1个元素添加到已经划分的k个集合中，一共有k*S(n,k)种。
▲代码
#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef int itn;
const int N = 5000;
const int mod = 998244353;
int n, m, k;
ll S[N][N];
ll B[N];
int solve_S(int n, int k)
{
S[0][0] = 1;
S[n][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
for (int j = 1; j <= k; ++j)
{
S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + 1ll * j * S[i - 1][j]) % mod; // 公式中的 k 是当前的 k
}
}
return 0;
}
ll Bell(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
ll ans = 0;
for (int k = 0; k <= n; k++)
{
if (!S[n][k])
solve_S(n, k);
ans += S[n][k];
ans = ans % mod;
}
return ans;
}
int main()
{
for (int i = 0; i < N; i++)
B[i] = 0;
B[0] = 1;
int n, T;
scanf("%d", &T);
for (int i = 0; i < T; i++)
{
scanf("%d", &n);
// printf("ans = %lld\n", Bell(n));
printf("%lld\n", Bell(n));
}
return 0;
}
▲验证
洛谷P5748 集合划分计数（https://www.luogu.com.cn/problem/P5748）（与书本问题有细微差异：数据多组，要求取模）
![[论文阅读]FINE-TUNE THE PRETRAINED ATST MODEL FOR SOUND EVENT DETECTION](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/0494ebd01621430b928d21ddc2c37884.png)
