【数轮】数论、质数、最大公约数、菲蜀定理

数学

唯一分解定理

n>=2都可以表示为质因数的乘方。
令 n = a1^b1a2^b2 $\dots$
a1,b1 $\dots$ 都是质因数，b1,b2 $\dots$ 是对应质因数的数量。

调和级数

1+1/2 + 1/3 +1/4 $\cdots$ 1/ n 约等于 logn。
证明过程：
1/3 + 1/4 < (1/2) $\times$ 2 = 1
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 < (1/4) $\times$ 4 = 1
1/9+1/10+…1/16 < (1/8) $\times$ 8 = 1
$\vdots$
1/2^(m-1)+ $\cdots$ + 1/2^m < 1

区间公约数

n个数，那些数对非互质。两两枚举，时间复杂度是O(nn)。
令这些数最大值为m，枚举那些数是x$\in[2,m]的倍数，则时间复杂度是O(nlogn)。
一，相同值如果大于1，非互质。
二，如果同时x>1的倍数，非互质。
转化成并集查找计算连通区域，注意：两个连通区域合并，只需要从2个联通区域任取一点相连。

质数

质数分解

x的质因数中最多有一个大于 $\sqrt x$ 。反证法：如果有两个质因数大于 $\sqrt x$ ，则它们相乘大于 $\sqrt x \times \sqrt x$ ，和所有质因数相乘等于x矛盾。
小于等于x的质因数可以直接枚举。如何寻找大于 $\sqrt x$ 的质因数？
x 如果包括小于等于 $\sqrt x$ 的质因数x1，则x $\div$ =x1。直到不包括小于等于 $\sqrt x$ 的质因数。如果此时x>1，则此时的x也是质因数。

for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
			int tmp = nums[i];
			for (auto& iPri : vPrime) {
				if (iPri * iPri > tmp) { break; }
				if (0 == tmp % iPri) { indexs[iPri].emplace_back(i); }
				while ((0 == tmp % iPri)) {
					tmp /= iPri;
				}
			}
			if( tmp > 1){ indexs[tmp].emplace_back(i); }
		}

埃氏筛

如何寻找[1,m]所有质数。从2其，如果i是质数，则将i的x倍（x>1)标记位非质数。时间复杂度：O(nlogn)，logn是调和级数的和。

vector<int> CreatePrime(int iMax)
{
	vector<int> vNo(iMax + 1);
	vector<int> vPrime;
	for (int i = 2; i <= iMax; i++)
	{		
		if (!vNo[i])
		{
			vPrime.emplace_back(i);
		}
		for (const auto& n : vPrime)
		{
			if( n * i > iMax )
			{
				break;
			}
			vNo[n * i] = true;
		}		
	}
	return vPrime;
}

欧拉筛（线性筛）

埃氏筛枚举了所有a $\times$ b，其中a是质数，b是任意数。
欧拉筛增加了新条件：a <= b的最小质因数，也就a 是 a $\times$ b 的最小质因数。因为任意数的最小质因数都只有一个，故不会重复。故时间复杂度：O(n)
以12为例：
埃氏筛枚举了2次，2 $\times$ 6 ，3 $\times$ 4。
欧拉筛：只枚举了 2 $\times$ 6 。4 枚举完2后，就结束了。
在这里插入图片描述

代码

vector<int> CreatePrime(int iMax)
{
	vector<bool> isPrime(iMax + 1,true);
	vector<int> vPrime;
	for (int i = 2; i <= iMax; i++)
	{
		if (isPrime[i])
		{
			vPrime.emplace_back(i);
		}
		for (const auto& n : vPrime)
		{
			if (n * i > iMax){break;}
			isPrime[n * i] = false;
			if (0 == i % n) { break; }
		}
	}
	return vPrime;
}

最大公约数

gcc,vc都有gcd函数，可以直接使用。

辗转相减法

求a,b的最大公约数。如果a,b相等，则a就是公约数。下面只讨论两者不等。
不失一般性，令a > b,其最大公约数为q。a = a1q,b=b1q ，令a - b =（a1-b1)q =c1q= c。则q也是(c,b)的公约数。
我们用反证法来证明c,b没有大于q的公约数。假定c,b有大于q的公约数q1，则a = (b2+c2)q2 ,b = b2q2。a,b也有公约数q2，和a,b的最大公约数是q矛盾。
不断持续此过程，可以保持公约数不变的情况下，让max(a,b)变小。由于a>b，故c >= q。经过有限回合，c一定变成q，b变成q后，a每次也减少q，直到a也变成q。

辗转相除法（欧几里得）求最大公约数

$(a,b)^{不失一般性，令a >= b}_\rightarrow (c= a \mod b,d= b) ^{不失一般性，令c >= d}_\rightarrow (e=c \mod d,f=d) \cdots$
直到最后的两个数一个为0，则公约数是另外一个。比如：e为0，最大公约数就是f。f为0，最大公约数为e。
a,b不断变小，有限次数一定有一个数变为0。
令某两个数的最大公约数为q， $\times a,q \times b 则 q \times (a \mod b) , q \times b 的最大公约数为q$
a%b 为0,也符合数学定义: 0和任何数x的最大公约数是x。

二进制求公约数

求a,b的最大公约数。
一，如果a，b都是偶数，则GCD(a,b) = 2*GCD(a,b)。
二，如果a 是偶数，b是奇数（反之类似）。GCD(a,b)=GCD(a/2,b)。b是奇数，所以他们的公约数不包括2。
三，两者都是奇数。
3.1，两者相等。a就是最大公约数。
3.2，a b不等，不失一般性，令a>b。GCD(a,b) == GCD(a+b,b) == GCD((a+b)/2,b)
由于a,b是不断变小，一定会相等。

菲蜀定理

【数学归纳法反证法】菲蜀定理

题解

质数判断、分解
【分解质因数差分数组】2584. 分割数组使乘积互质
【状态机dp 状态压缩分组】1994. 好子集的数目
【唯一分解定理数学】1808好因子的最大数目
【单调栈】LeetCode:2818操作使得分最大

最大公约数
【栈最小公倍数最大公约数】2197. 替换数组中的非互质数
【最大公约数排序】2344. 使数组可以被整除的最少删除次数
【二进制求公约数】【数学】【数论】2543. 判断一个点是否可以到达
【最大公约数】2862. 完全子集的最大元素和

区间最大公约数：调和级数o(nlogn)
【并集查找最大公约数调和数】952. 按公因数计算最大组件大小
【数论最大公约数调和数】【最大公约数】1819. 序列中不同最大公约数的数目
【最大公约数调和级数】2183.统计可以被 K 整除的下标对数目
【调和级数并集查找】1627. 带阈值的图连通性
【最大公约调和奇数并集查找】2709. 最大公约数遍历