【算法】dfs

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个人专栏：《算法神殿》《数据结构世界》《进击的C++》

远方有一堆篝火，在为久候之人燃烧！

文章目录

引言
一、全排列
- 1. 决策树
- 2. 设计代码
- - 1. 全局变量
  - 2. dfs函数
  - 3. 细节问题
二、子集
- 解法一
- 1. 决策树
- 2. 设计代码
- - 1. 全局变量
  - 2. dfs函数
  - 3. 细节问题
- 解法二
- 1. 决策树
- 2. 设计代码
- - 1. 全局变量
  - 2. dfs函数
  - 3. 细节问题
三、子集的异或总和之和
四、全排列 ||
五、电话号码的字母组合
六、括号生成
七、组合
八、目标和
九、组合总和
十、字母大小写全排列
十一、优美的排列
总结

引言

在实际的dfs问题中，大多时候并不会直接告诉你，而是需要自己发现可以使用dfs来解决。而是否能用dfs解决的关键，就是画出决策树！同时，不同的决策树代表不同的解决方式，对于同一问题，好的决策树往往能节省时间，提高效率。

一、全排列

1. 决策树

绿色部分，就是剪枝，因为全排列不能重复枚举。

2. 设计代码

1. 全局变量

vector<vector< int >> ret：用来保存最终所有的结果
vector< int > path：用来保存单一路径的结果
bool check[6]：用来实现剪枝

2. dfs函数

将数组中所有数枚举一遍，如果没有枚举过，则将其加入path

3. 细节问题

回溯
- 清除path中最后一个数
- 更改check中的标记
剪枝：根据check的标记，去除重复枚举的情况
递归出口：当path路径长度等于枚举数组长度，则将其加入ret，返回

class Solution
{
    vector<vector<int>> ret;
    vector<int> path;
    bool check[6];//实现剪枝
public:
    void dfs(vector<int>& nums)
    {
        if(path.size() == nums.size())
        {
            ret.push_back(path);
            return;
        }

        for(int i=0; i<nums.size(); ++i)
        {
            if(!check[i])//剪枝
            {
                path.push_back(nums[i]);
                check[i] = true;
                dfs(nums);
                //回溯 - 恢复现场
                path.pop_back();
                check[i] = false;
            }
        }
    }

    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums)
    {
        dfs(nums);
        return ret;
    }
};

二、子集

解法一

1. 决策树

2. 设计代码

1. 全局变量

vector<vector< int >> ret：用来保存最终所有的结果
vector< int > path：用来保存单一路径的结果

2. dfs函数

对于数组中的每一个数，都遵循选或不选两种方式
- 不选：直接dfs下一层
- 选：先将其加入path，再dfs下一层
dfs(nums, i)：增加参数i作为当前数的下标

3. 细节问题

回溯：删除path中最后一个数
递归出口：当i枚举完所有数，来到数组末尾，则将path加入ret，返回

class Solution
{
    vector<vector<int>> ret;
    vector<int> path;
public:
    void dfs(vector<int>& nums, int i)
    {
        if(i == nums.size())
        {
            ret.push_back(path);
            return;
        }
        //不选
        dfs(nums, i+1);
        //选
        path.push_back(nums[i]);
        dfs(nums, i+1);
        path.pop_back();
    }

    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums)
    {
        dfs(nums, 0);
        return ret;
    }
};

解法二

1. 决策树

由于决策树不同的选取，解法二要优于解法一

2. 设计代码

1. 全局变量

vector<vector< int >> ret：用来保存最终所有的结果
vector< int > path：用来保存单一路径的结果

2. dfs函数

按照集合中元素的个数进行分类
依据集合的互异性，每层dfs只能选取下标i后面的数
dfs(nums, i)：增加参数i作为当前数的下标

3. 细节问题

回溯：删除path中最后一个数
递归出口：每一层path都是结果，都需要添加到ret

class Solution
{
    vector<vector<int>> ret;
    vector<int> path;
public:
    void dfs(vector<int>& nums, int i)
    {
        ret.push_back(path);

        for(int j=i; j<nums.size(); ++j)
        {
            path.push_back(nums[j]);
            dfs(nums, j+1);
            path.pop_back();
        }
    }

    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums)
    {
        dfs(nums, 0);
        return ret;
    }
};

三、子集的异或总和之和

思路：子集的变式题（按照集合元素个数分类）

class Solution
{
    int ret = 0;
    int path = 0;
public:
    void dfs(vector<int>& nums, int pos)
    {
        ret += path;

        for(int i=pos; i<nums.size(); ++i)
        {
            path ^= nums[i];
            dfs(nums, i + 1);
            path ^= nums[i];
        }
    }

    int subsetXORSum(vector<int>& nums)
    {
        dfs(nums, 0);
        return ret;
    }
};

四、全排列 ||

思路：本题是全排列的进阶版，存在重复元素，所以剪枝是关键。

前提：先对数组排序
同一个元素只能使用一次（check）
对于每一个节点，相同的元素只能选一次

class Solution
{
    vector<vector<int>> ret;
    vector<int> path;
    bool check[8];
public:
    void dfs(vector<int>& nums)
    {
        if(path.size() == nums.size())
        {
            ret.push_back(path);
            return;
        }

        for(int i=0; i<nums.size(); ++i)
        {
            if(!check[i] && (i == 0 || nums[i] != nums[i-1] || check[i-1]))
            {
                path.push_back(nums[i]);
                check[i] = true;
                dfs(nums);
                check[i] = false;
                path.pop_back();
            }
        }
    }

    vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums)
    {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        dfs(nums);
        return ret;
    }
};

五、电话号码的字母组合

细节：用哈希表存储数字与字符串的映射关系

class Solution
{
    vector<string> ret;
    string path;
    vector<string> hash = {"","","abc","def","ghi","jkl","mno","pqrs","tuv","wxyz"};
public:
    void dfs(string& digits, int pos)
    {
        if(path.size() == digits.size())
        {
            ret.push_back(path);
            return;
        }

        int n = digits[pos] - '0';
        string s = hash[n];
        for(int i=0; i<s.size(); ++i)
        {
            path.push_back(s[i]);
            dfs(digits, pos + 1);
            path.pop_back();
        }
    }

    vector<string> letterCombinations(string& digits)
    {
        if(digits.size() == 0) return ret;
        dfs(digits, 0);
        return ret;
    }
};

六、括号生成

class Solution
{
    vector<string> ret;
    string path;
    int n;
public:
    void dfs(int left, int right)
    {
        if(right == n)
        {
            ret.push_back(path);
            return;
        }

        if(left < n)
        {
            path.push_back('(');
            dfs(left + 1, right);
            path.pop_back();
        }

        if(right < left)
        {
            path.push_back(')');
            dfs(left, right + 1);
            path.pop_back();
        }
    }

    vector<string> generateParenthesis(int _n)
    {
        n = _n;
        dfs(0, 0);
        return ret;
    }
};

七、组合

class Solution
{
    vector<vector<int>> ret;
    vector<int> path;
    int n, k;
public:
    void dfs(int pos)
    {
        if(path.size() == k)
        {
            ret.push_back(path);
            return;
        }

        for(int i=pos; i<=n; ++i)
        {
            path.push_back(i);
            dfs(i + 1);
            path.pop_back();
        }
    }

    vector<vector<int>> combine(int _n, int _k)
    {
        n = _n, k = _k;
        dfs(1);
        return ret;
    }
};

八、目标和

class Solution
{
    int ret = 0;
    int t;
public:
    void dfs(vector<int>& nums, int pos, int path)
    {
        if(pos == nums.size())
        {
            if(path == t) ++ret;
            return;
        }

        dfs(nums, pos + 1, path + nums[pos]);
        dfs(nums, pos + 1, path - nums[pos]);
    }

    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target)
    {
        t = target;
        dfs(nums, 0, 0);
        return ret;
    }
};

九、组合总和

class Solution
{
    vector<vector<int>> ret;
    vector<int> path;
    int t;
public:
    void dfs(vector<int>& candidates, int pos, int sum)
    {
        if(sum >= t)
        {
            if(sum == t) ret.push_back(path);
            return;
        }

        for(int i=pos; i<candidates.size(); ++i)
        {
            path.push_back(candidates[i]);
            dfs(candidates, i, sum + candidates[i]);
            path.pop_back();
        }
    }

    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target)
    {
        t = target;
        dfs(candidates, 0, 0);
        return ret;
    }
};

十、字母大小写全排列

class Solution
{
    vector<string> ret;
public:
    void dfs(string& s, int pos, string path)
    {
        if(path.size() == s.size())
        {
            ret.push_back(path);
            return;
        }

        if(isalpha(s[pos]))
        {
            dfs(s, pos + 1, path + (char)tolower(s[pos]));
            dfs(s, pos + 1, path + (char)toupper(s[pos]));
        }
        else dfs(s, pos + 1, path + s[pos]);
    }

    vector<string> letterCasePermutation(string& s)
    {
        dfs(s, 0, "");
        return ret;
    }
};

十一、优美的排列

class Solution
{
    int ret = 0;
    bool check[20];
    int n;
public:
    void dfs(int pos, int path)
    {
        if(path == n)
        {
            ++ret;
            return;
        }

        for(int i=1; i<=n; ++i)
        {
            if(!check[i] && (i % pos == 0 || pos % i == 0))
            {
                check[i] = true;
                dfs(pos + 1, path + 1);
                check[i] = false;
            }
        }
    }

    int countArrangement(int _n)
    {
        n = _n;
        dfs(1, 0);
        return ret;
    }
};