MATLAB 集成

MATLAB 集成（Integration）

集成处理两种本质上不同的问题。

在第一种类型中，给出了函数的导数，我们想找到函数。因此，我们从根本上扭转了分化的过程。这种反向过程称为反微分，或者找到原始函数，或者找到indefinite integral。
在这里插入图片描述

第二类问题涉及相加大量非常小的数量，然后随着数量的大小接近零而取一个极限，而项的数量趋于无穷大。此过程导致的定义definite integral。

定积分用于查找面积，体积，重心，惯性矩，力完成的功以及许多其他应用。

使用MATLAB查找不定积分
根据定义，如果函数的导数f(x)是f’(x)，那么我们说f’(x)相对于x的不定积分是f(x)。例如，由于x 2的导数（相对于x）为2x，因此可以说2x的不定积分为x 2。

在符号中-

f’(x2) = 2x，所以，

∫ 2xdx = x2.

不定积分不是唯一的，因为对于常数c的任何值，x 2 + c的导数也将是2x。

这用符号表示为-

∫ 2xdx = x2 + c。

其中，c被称为“任意常数”。

MATLAB提供了int用于计算表达式积分的命令。为了导出一个函数的不定积分的表达式，我们写：

int(f);
例如，从我们之前的示例中-

syms x
int(2*x)
MATLAB执行上述语句并返回以下结果-

ans =
x^2
实例1
在此示例中，让我们找到一些常用表达式的积分。创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms x n

int(sym(x^n))
f = 'sin(nt)’
int(sym(f))
syms a t
int(acos(pi*t))
int(a^x)
运行文件时，它显示以下结果-

ans =
piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(nt)
ans =
-cos(nt)/n
ans =
(asin(pit))/pi
ans =
a^x/log(a)
实例2
创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5cos(5x))
pretty(int(x^5cos(5x)))

int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))

int((3 + 5x -6x^2 - 7x^3)/2*x2)
pretty(int((3 + 5x -6x^2 - 7x^3)/2*x2))
请注意，pretty函数以更易读的格式返回表达式。

运行文件时，它显示以下结果-

ans =
sin(x)

ans =
exp(x)

ans =
x*(log(x) - 1)

ans =
log(x)

ans =
(24cos(5x))/3125 + (24xsin(5x))/625 - (12x^2cos(5x))/125 + (x^4cos(5x))/5 - (4x^3sin(5x))/25 + (x^5sin(5*x))/5
2 4
24 cos(5 x) 24 x sin(5 x) 12 x cos(5 x) x cos(5 x)
----------- + ------------- - -------------- + ------------
3125 625 125 5

    3             5

4 x sin(5 x) x sin(5 x)
------------- + -----------
25 5

ans =
-1/(4*x^4)

ans =
tan(x)
2
x (3 x - 5 x + 1)

ans =

(7x^6)/12 - (3x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
```
6      5      4    3 
```
7 x 3 x 5 x x
- ---- - ---- + ---- + –
  12 5 8 2
  使用MATLAB查找定积分
  根据定义，定积分基本上是总和的极限。我们使用定积分来查找面积，例如曲线和x轴之间的面积以及两条曲线之间的面积。在其他情况下也可以使用定积分，在这种情况下，所需数量可以表示为总和的极限。

int通过传递要计算积分的极限，该函数可用于确定积分。

计算

定积分

我们写，

int(x, a, b)
例如，要计算值，实例我们写：

int(x, 4, 9)
MATLAB执行上述语句并返回以下结果-

ans =
65/2
以下是上述计算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym(“x”);
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint©;

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));
Octave执行代码并返回以下结果-

Area:

32.500
可以使用quad()Octave提供的功能给出代替解决方案，如下所示：