关于莫比乌斯变换属性梳理

文章目录

  • 一、说明
  • 二、多视角看莫比乌斯变换
    • 2.1 从几何角度
    • 2.2 复分析中的莫比乌斯变换
    • 2.3 莫比乌斯变换运算组合
    • 2.4 莫比乌斯变换的不动点
    • 2.5 三个点决定一个莫比乌斯变换
    • 2.6 交叉比
    • 2.7 莫比乌斯变换的逆变换
  • 三 莫比乌斯变换性质证明
    • 3.1 证明1:莫比乌斯变换将圆变成圆。
    • 3.2 证明2:寻找莫比乌斯变换不动点
    • 3.3 证明3:寻找一个莫比乌斯变换拥有两个不动点
  • 四、艺术的莫比乌斯变换

一、说明

莫比乌斯变换在非欧几何中有及其重要的地位,而莫比乌斯变换是抽象的, 不是一眼就能识别出其特征。本篇将继续梳理它的种种特性。并给出艺术数学的文献查询地址。

在这里插入图片描述

二、多视角看莫比乌斯变换

2.1 从几何角度

让我们了解一下莫比乌斯变换在不同背景下的含义。莫比乌斯变换可以从复分析和几何角度来看。在几何中,我们可以通过执行多个步骤来得到莫比乌斯变换,例如

  • 从平面到单位二球体的球极投影,
  • 旋转球体并将其移动到新位置,
  • 空间方向,
  • 从球体的新位置到平面的立体投影。
    此外,莫比乌斯变换保留角度,将每个圆映射到一条线或圆,并将每条直线映射到一条线或圆。

2.2 复分析中的莫比乌斯变换

复数函数 w = f ( z ) = ( a z + b ) ( c z + d ) ; a d – b c ≠ 0 w = f(z) = \frac{(az + b)}{(cz + d)}; ad – bc ≠ 0 w=f(z)=(cz+d)(az+b);adbc=0
a、b、c、d 为复数,称为莫比乌斯变换或分数线性变换。

莫比乌斯变换中的条件,即 ad – bc ≠ 0 确保以下陈述成立。

  • az + b 和 cz + d 都不会相同地消失
  • a 和 c 不能都等于 0,其中 f 为常数
  • b 和 d 不能都等于 0,其中 f 为常数
  • f(z) 的分母不能是该复数函数分子的常数倍。

2.3 莫比乌斯变换运算组合

莫比乌斯变换是四个基本映射的组合,即平移、膨胀、旋转和反转。

平移: z → z + z 0 z → z + z_0 zz+z0使得 z 0 ∈ C z_0 ∈ C z0C
膨胀: z → λ z z → λz zλz λ > 0 λ > 0 λ>0 λ ∈ R λ ∈ R λR
旋转: z → e i θ z z → e^{iθ} z zeiθz θ ∈ R θ ∈ R θR
反转: z → 1 / z z → 1/z z1/z

2.4 莫比乌斯变换的不动点

如果 f ( z 0 ) = z 0 f (z_0 ) = z_0 f(z0)=z0,则点 z 0 ∈ C ∞ z_0 ∈ C_∞ z0C称为复函数 f ( z ) f(z) f(z) 的不动点。莫比乌斯变换最多可以有两个不动点,除非它是恒等映射。

如果z满足条件 f ( z ) = ( a z + b ) / ( c z + d ) = z f(z) = (az + b)/(cz + d) = z f(z)=(az+b)/(cz+d)=z,那么我们可以推导出以下方程,即 c z 2 – ( a – d ) z – b = 0 cz^2 – (a – d)z – b = 0 cz2(ad)zb=0

c = 0 c = 0 c=0 时, z = − b / ( a – d ) z = -b/(a – d) z=b/(ad) 是 f 的唯一不动点,如果 a = d a = d a=d,则 z = − b / ( a – d ) z = -b/(a – d) z=b/(ad) ∞ ∞

2.5 三个点决定一个莫比乌斯变换

众所周知,莫比乌斯变换完全由其在三个不同点上的作用决定。此外,我们可以说,通过对复平面 C ∞ C_∞ C中 3 个不同点的作用,只有一种莫比乌斯变换是可能的。此分数线性变换组实际上是
a c ⋅ z + b a − 1 z + d c − 1 = A z + B z + C \displaystyle\frac{a}{c}\cdot\frac{z+ba^{-1}}{z+dc^{-1}}=A\frac{z+B}{z+C} caz+dc1z+ba1=Az+Cz+B
因此,有三个未知数。

2.6 交叉比

假设 z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ∈ C ∞ z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ∈ C_∞ z1,z2,z3,z4C ,使得 z 1 , z 2 , z 3 , z 4 z 1 , z 2 , z 3 , z 4 z1,z2,z3,z4的交比是由下式定义的莫比乌斯变换:

S ( z ) = ( z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) = ( z – z 3 ) ( z 2 – z 4 ) / ( z 2 – z 3 ) ( z – z 4 ) S(z) = (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) = (z – z 3 )(z 2 – z 4 )/(z 2 – z 3 )(z – z 4 ) S(z)=(z1,z2,z3,z4)=(zz3)(z2–z4)/(z2–z3)(zz4) 使得 S ( z 1 ) = 1 , S ( z 3 ) = 0 且 S ( z 4 ) = ∞ S( z 1 ) = 1,S(z 3 ) = 0 且 S(z 4 ) = ∞ S(z1)=1S(z3)=0S(z4)=

z 2 = ∞ z 2 = ∞ z2= 时,交比 ( z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) = ( z 1 – z 3 ) / ( z 1 – z 4 ) (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) = (z 1 – z 3 )/(z 1 – z 4 ) (z1,z2,z3,z4)=(z1–z3)/(z1–z4)

z 3 = ∞ z 3 = ∞ z3= 时,交比 ( z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) = ( z 2 – z 4 ) / ( z 1 – z 4 ) (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) = (z 2 – z 4 )/(z 1 – z 4 ) (z1,z2,z3,z4)=(z2–z4)/(z1–z4)

z 4 = ∞ z 4 = ∞ z4= 时,交比 ( z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) = ( z 1 – z 3 ) / ( z 2 – z 3 ) (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) = (z 1 – z 3 )/(z 2 – z 3 ) (z1,z2,z3,z4)=(z1–z3)/(z2–z3)

2.7 莫比乌斯变换的逆变换

考虑莫比乌斯变换 f(x) = (az + b)/(cz +d) 从复平面到复平面的可逆。然后,f(z) 的逆,即 f -1 (z) 又是莫比乌斯变换,给出如下:

f − 1 ( z ) = ( d z – b ) / ( − c z + a ) 。 f -1 (z) = (dz – b)/(-cz + a)。 f1(z)=(dzb)/(cz+a)

三 莫比乌斯变换性质证明

3.1 证明1:莫比乌斯变换将圆变成圆。

解决:

考虑一个复函数 w = u + i v w = u + iv w=u+iv,使得 z = x + i y z = x + iy z=x+iy。由此,我们可以写出以下内容:

u = x / ( x 2 + y 2 ) u = x/(x 2 + y 2 ) u=x/(x2+y2)
v = − y / ( x 2 + y 2 ) v = -y/(x 2 + y 2 ) v=y/(x2+y2)
x = u / ( u 2 + v 2 ) x = u/(u 2 + v 2 ) x=u/(u2+v2)
y = − v / ( u 2 + v 2 ) y = -v/(u 2 + v 2 ) y=v/(u2+v2)

我们知道,莫比乌斯变换是平移、扩张和反转的组合。而且,很容易证明平移和扩张将圆变成圆。那么,让我们验证一下圆到圆的反转。

考虑圆的一般方程:
A ( x 2 + y 2 ) + B X + C x + D = 0 A(x 2 + y 2 ) + BX + Cx + D = 0 A(x2+y2)+BX+Cx+D=0

现在,应用变换 w = 1 / z w = 1/z w=1/z。因此,将 x = u / ( u 2 + v 2 ) x = u/(u 2 + v 2 ) x=u/(u2+v2) y = − v / ( u 2 + v 2 ) y = -v/(u 2 + v 2 ) y=v/(u2+v2)代入给定的圆方程中。因此,
A [ ( u u 2 + v 2 ) 2 + ( − v u 2 + v 2 ) 2 ] + B ( u u 2 + v 2 ) + C ( − v u 2 + v 2 ) + D = 0 \begin{array}{l}A\left [ \left ( \frac{u}{u^2+v^2} \right )^2+ \left( \frac{-v}{u^2+v ^2} \right )^2\right ]+B\left ( \frac{u}{u^2+v^2} \right )+C\left ( \frac{-v}{u^2+v ^2} \right)+D=0\end{array} A[(u2+v2u)2+(u2+v2v)2]+B(u2+v2u)+C(u2+v2v)+D=0

经过简化,我们得到;
⇒ A [ 1 / ( u 2 + v 2 ) + B [ u / ( u 2 + v 2 ) ] + C [ − v / ( u 2 + v 2 ) ] + D = 0 ⇒ A [ 1 / ( u 2 + v 2 ) + B [ u / ( u 2 + v 2 ) ] + C [ − v / ( u 2 + v 2 ) ] + D = 0 ⇒ [ A + B u + − C v + D ( u 2 + v 2 ) ] / ( u 2 + v 2 ) = 0 ⇒ D ( u 2 + v 2 ) ] + B u – C v + A = 0 ⇒ A[1/(u 2 + v 2 ) + B[u/(u 2 + v 2 )] + C[-v/(u 2 + v 2 )] + D = 0 \\ ⇒ A[1/(u 2 + v 2 ) + B[u/(u 2 + v 2 )] + C[-v/(u 2 + v 2 )] + D = 0 \\ ⇒ [A + Bu + -Cv + D(u 2 + v 2 )] /(u 2 + v 2 ) = 0 \\ ⇒ D(u 2 + v 2 )] + Bu – Cv + A = 0 A[1/(u2+v2)+B[u/(u2+v2)]+C[v/(u2+v2)]+D=0A[1/(u2+v2)+B[u/(u2+v2)]+C[v/(u2+v2)]+D=0[A+Bu+Cv+D(u2+v2)]/(u2+v2)=0D(u2+v2)]+BuCv+A=0

这又是一个圆方程。这意味着反转保留了圆圈。
由此证明。

3.2 证明2:寻找莫比乌斯变换不动点

找到 f(z) = (3z – 1)/(z + 5) 的不动点。
解决:
鉴于, f ( z ) = ( 3 z – 1 ) / ( z + 5 ) f(z) = (3z – 1)/(z +5) f(z)=(3z–1)/(z+5)
f ( z ) = z f(z) = z f(z)=z

这意味着 ( 3 z – 1 ) / ( z + 5 ) = z (3z – 1)/(z + 5) = z (3z–1)/(z+5)=z
3 z – 1 = z ( z + 5 ) 3z – 1 = z(z + 5) 3z–1=z(z+5)
3 z – 1 = z 2 + 5 z 3z – 1 = z2 + 5z 3z–1=z2+5z
⇒ z 2 + 5 z – 3 z + 1 = 0 ⇒ z 2 + 5z – 3z + 1 = 0 z2+5z–3z+1=0
⇒ z 2 + 2 z + 1 = 0 ⇒ z 2 + 2z + 1 = 0 z2+2z+1=0
⇒ ( z + 1 ) 2 = 0 ⇒ (z + 1) 2 = 0 (z+1)2=0
⇒ z = − 1 ⇒ z = -1 z=1

3.3 证明3:寻找一个莫比乌斯变换拥有两个不动点

给定两个点,找到拥有这两个不动点的莫比乌斯变换。如:找到具有两个不动点(即 3i 和 1 + i)的莫比乌斯变换。

解决:

假设 3 i 3i 3i 1 + i 1 + i 1+i 是莫比乌斯变换的两个不动点。
设 α 和 β 为两个不动点。
这意味着 α = 3 i α = 3i α=3i β = 1 + i β = 1 + i β=1+i
众所周知, c z 2 – ( a – d ) z – b = 0 cz 2 – (a – d)z – b = 0 cz2–(ad)zb=0
这可以写成 c z 2 – ( a – d ) z – b = ( z – α ) ( z – β ) cz 2 – (a – d)z – b = (z – α) (z – β) cz2–(ad)zb=(zα)(zβ)

由此,我们可以写出以下内容:

c = 1 c = 1 c=1
a – d = α + β = 3 i + 1 + i = 1 + 4 i a – d = α + β = 3i + 1 + i = 1 + 4i ad=α+β=3i+1+i=1+4i
b = − α β = − ( 3 i ) ( 1 + i ) = − ( 3 i + 3 i 2 ) = 3 − 3 i b = -αβ = -(3i)(1 + i) = -(3i + 3i 2 ) = 3- 3i b=αβ=(3i)(1+i)=(3i+3i2)=33i
令 k 为除 α 或 β 之外的任何常数。
那么具有给定不动点的一组可能的解是:

a = k a = k a=k d = k − α − β d = k − α − β d=kαβ

我们知道,

f ( z ) = ( a z + b ) / ( c z + d ) f(z) = (az + b)/(cz + d) f(z)=(az+b)/(cz+d)

现在,通过替换上述值,我们得到;

f ( z ) = ( k z – α β ) / ( z + k – α – β ) f(z) = (kz – αβ)/ (z + k – α – β) f(z)=(kzαβ)/(z+kαβ)

让我们假设 k = 1 k = 1 k=1

因此, f ( z ) = ( z + 3 – 3 i ) / ( z + 1 – 1 – 4 i ) f(z) = (z + 3 – 3i)/(z + 1 – 1 – 4i) f(z)=(z+3–3i)/(z+1–1–4i),最后:

f ( z ) = ( z + 3 – 3 i ) / ( z – 4 i ) f(z) = (z + 3 – 3i)/(z – 4i) f(z)=(z+3–3i)/(z–4i)

四、艺术的莫比乌斯变换

应该指出的是, S n S^n Sn 的共形变换群的非紧性是一个不平凡的现象,它与每个人的几何直觉相矛盾。完全不清楚为什么存在 S n S^n Sn的单一共形变换,这不是刚性旋转。类似地,没有配备数学机器的普通眼睛无法看到 R^n 的任何非平凡的保角变换(正如我们所知,它将圆形球体映射到圆形球体),其中“平凡”指的是相似变换。

即使是具有几何思维的艺术家、对称图案的设计师,也无法克服人类想象力的这一限制。如果我们看看世界各地几个世纪以来设计的数量惊人的装饰品,我们会看到各种平移和旋转对称,但从未看到共形对称。然而,近年来,共角对称在埃舍尔的许多美丽的画作中得到了体现。然而,这些想法是由一位数学家考克塞特( Coxeter) 传达给艺术家的。
参考:(G. d’Ambra and M. Gromov, Lectures on transformation groups: Geometry and Dynamics, in: Surveys in Differential Geometry, 1, 1991.)

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