题干

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

解题思路

这道题目依旧使用动态规划。

1.首先确定dp数组的含义

这是个类似棋盘的结构，所以我们使用二维数组。

dp[i][j]为到[i][j]点的路径总和

2.确定递推公式

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];

由于靠边的格子只能从左边或上边的格子抵达，所以我做了分类讨论

if(i != 0 && j != 0){
    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
else if(i == 0 && j != 0){
    dp[i][j] = dp[i][j-1];
}
else if(j == 0 && i != 0){
    dp[i][j] = dp[i-1][j];
}           

3.dp数组的初始化

按照我刚刚的思路只需要初始化dp[0][0]即可，设立为1

如果刚刚没有分类讨论，则可以将第一行和第一列初始化为 1，就可以统一递推公式

4.确定递推顺序

从递推公式可以看出，状态由左边和上边的状态推到而来，用从左至右，从上至下的两层循环即可

5.举例推导dp数组

3*6的棋盘的数组的结果应该如下 

完整代码如下

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        //建立dp数组
        int dp[m][n];
        //确立dp数组的含义
        //dp[i][j]为到[i][j]点的路径总和
        //确定初始值
        dp[0][0] = 1;
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                if(i != 0 && j != 0){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
                }
                else if(i == 0 && j != 0){
                    dp[i][j] = dp[i][j-1];
                }
                else if(j == 0 && i != 0){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }           
            }
        }
     return dp[m-1][n-1];   
    }
};