【双曲几何】圆盘上的三角形概念

目录

  • 一、说明
  • 二、对偶三角形概念
    • 2.1 反演关系
    • 2.2 对偶关系
    • 2.3 找出三角形的对偶三角形
  • 三、正交三角形概念
    • 3.1 通过对偶三角形,找到垂心
    • 3.2 正交三角形的概念
    • 3.3 中心射影点的概念
  • 四、后记

一、说明

本文对双曲空间的三角形进行分析,本篇首先给出,参考圆内外的点映射,进而说明三角形形状的反演映射关系。进而给出正交三角图和射影中心的概念。我i们常常提到庞加莱盘的概念,但是深入探讨的时候,发现许多常识的不足,本篇也只是一些基本常识。基本概念而已。

二、对偶三角形概念

2.1 反演关系

本文中提到的测地线是外部测地线,它们是通过相对于单位半径地平圆的边界反演内部测地线而获得的,该地平线充当反演的镜子。这可以在数学上表达为 OA 乘以 OB 等于 OT 的平方,这相当于圆的性质,即与圆相交的两条线段的乘积等于切线或其幂的平方。
在这里插入图片描述
在图中, r 2 = O Q 2 = O S × O P r^2=OQ^2=OS\times OP r2=OQ2=OS×OP 这可以轻易证明。
因此,在圆外的广大区域内任意点P都可以反演到圆内S点。因此,P和S构成反演关系。其中,S是P的极线MN的中点。
结论:反演将无限平面空间的任意点,变换成圆盘空间的一点,反之亦然。这是庞加莱盘的构建基础。

2.2 对偶关系

上图提起反演,我们立刻想到的是单位圆的极点和极线的关系:
参考圆:以O为圆心的圆C(可以是单位圆)。
极点:在C外的任意点P。
极线:MN是P点的对偶线,P是MN的对偶点。

2.3 找出三角形的对偶三角形

何为对偶三角形,我们这里给出一个三角形 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3,置于基础圆盘附近,下面将一步一步说明,其对偶三角形的概念。

三角形图元:(triangle) a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3
相关三个边:(associated trilateral) L 1 L 2 L 3 ‾ \overline{L_1L_2L_3} L1L2L3
对偶三个边:(dual trilateral) A 1 A 2 A 3 ‾ \overline{A_1A_2A_3} A1A2A3
对偶三角形:(dual triangle) l 1 l 2 l 3 ‾ \overline{l_1l_2l_3} l1l2l3
在这里插入图片描述
如图所示:其中:
a 1 a 2 ‾ = L 3 \overline{a_1a_2}=L_3 a1a2=L3,
a 1 a 3 ‾ = L 2 \overline{a_1a_3}=L_2 a1a3=L2,
a 2 a 3 ‾ = L 1 \overline{a_2a_3}=L_1 a2a3=L1
以上标注了三条边。
a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3的对偶极线:构成对偶三个边:(dual trilateral)
A 1 A 2 A 3 ‾ \overline{A_1A_2A_3} A1A2A3
通过对偶边,获得对偶顶点,构成对偶三角形
A 1 A 2 ‾ = l 3 \overline{A_1A_2}=l_3 A1A2=l3
A 2 A 3 ‾ = l 1 \overline{A_2A_3}=l_1 A2A3=l1
A 1 A 3 ‾ = l 2 \overline{A_1A_3}=l_2 A1A3=l2
至此,对偶三角形被画出。
一句话,三角形顶点的极线构成对偶三角形。

三、正交三角形概念

3.1 通过对偶三角形,找到垂心

在图2中,找到三角形 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3的对偶三角形 l 1 l 2 l 3 ‾ \overline{l_1l_2l_3} l1l2l3
我们在图2的基础上,连接 a 1 l 1 ‾ \overline{a_1l_1} a1l1, a 2 l 2 ‾ \overline{a_2l_2} a2l2 a 3 l 3 ‾ \overline{a_3l_3} a3l3,此三条线交于h点,h点叫做三角形 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3的垂心。
在这里插入图片描述

3.2 正交三角形的概念

我们在图2的基础上,连接 a 1 l 1 ‾ \overline{a_1l_1} a1l1, a 2 l 2 ‾ \overline{a_2l_2} a2l2 a 3 l 3 ‾ \overline{a_3l_3} a3l3,此三条线是三角形 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3的垂线,分别交 L 1 L_1 L1 b 1 b_1 b1,交 L 2 L_2 L2 b 2 b_2 b2,交 L 3 L_3 L3 b 3 b_3 b3,其中 b 1 b 2 b 3 ‾ \overline{b_1b_2b_3} b1b2b3构成正交三角形。
在这里插入图片描述

3.3 中心射影点的概念

因为上图太过稠密,这里更换一个图形继续说明。
在这里插入图片描述
由于我们找到了正交三角形 b 1 b 2 b 3 ‾ \overline{b_1b_2b_3} b1b2b3,我们进一步,做出 b 1 b 2 b 3 ‾ \overline{b_1b_2b_3} b1b2b3的对偶三角形, c 1 c 2 c 3 ‾ \overline{c_1c_2c_3} c1c2c3,做法与上述相同,(做时要注意下标对应!)
连接 a 1 c 1 ‾ \overline{a_1c_1} a1c1 a 2 c 2 ‾ \overline{a_2c_2} a2c2 a 3 c 3 ‾ \overline{a_3c_3} a3c3,此三条线交于一点b,b就是三角形 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3的射影中心,从这一点发射的射线,将三角形 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3映射成三角形 c 1 c 2 c 3 ‾ \overline{c_1c_2c_3} c1c2c3,在空间中用锥体更加直观。

四、后记

对于几何图形在双曲空间的映射,这只是一个开端,进一步说,其他图元如何映射?如何编程?这些将是我们逐步考察的内容,敬请关注,谢谢!

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