目录
- 一、说明
- 二、对偶三角形概念
- 2.1 反演关系
- 2.2 对偶关系
- 2.3 找出三角形的对偶三角形
- 三、正交三角形概念
- 3.1 通过对偶三角形,找到垂心
- 3.2 正交三角形的概念
- 3.3 中心射影点的概念
- 四、后记
一、说明
本文对双曲空间的三角形进行分析,本篇首先给出,参考圆内外的点映射,进而说明三角形形状的反演映射关系。进而给出正交三角图和射影中心的概念。我i们常常提到庞加莱盘的概念,但是深入探讨的时候,发现许多常识的不足,本篇也只是一些基本常识。基本概念而已。
二、对偶三角形概念
2.1 反演关系
本文中提到的测地线是外部测地线,它们是通过相对于单位半径地平圆的边界反演内部测地线而获得的,该地平线充当反演的镜子。这可以在数学上表达为 OA 乘以 OB 等于 OT 的平方,这相当于圆的性质,即与圆相交的两条线段的乘积等于切线或其幂的平方。
在图中,
r
2
=
O
Q
2
=
O
S
×
O
P
r^2=OQ^2=OS\times OP
r2=OQ2=OS×OP 这可以轻易证明。
因此,在圆外的广大区域内任意点P都可以反演到圆内S点。因此,P和S构成反演关系。其中,S是P的极线MN的中点。
结论:反演将无限平面空间的任意点,变换成圆盘空间的一点,反之亦然。这是庞加莱盘的构建基础。
2.2 对偶关系
上图提起反演,我们立刻想到的是单位圆的极点和极线的关系:
参考圆:以O为圆心的圆C(可以是单位圆)。
极点:在C外的任意点P。
极线:MN是P点的对偶线,P是MN的对偶点。
2.3 找出三角形的对偶三角形
何为对偶三角形,我们这里给出一个三角形 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3,置于基础圆盘附近,下面将一步一步说明,其对偶三角形的概念。
三角形图元:(triangle)
a
1
a
2
a
3
‾
\overline{a_1a_2a_3}
a1a2a3
相关三个边:(associated trilateral)
L
1
L
2
L
3
‾
\overline{L_1L_2L_3}
L1L2L3
对偶三个边:(dual trilateral)
A
1
A
2
A
3
‾
\overline{A_1A_2A_3}
A1A2A3
对偶三角形:(dual triangle)
l
1
l
2
l
3
‾
\overline{l_1l_2l_3}
l1l2l3
如图所示:其中:
a
1
a
2
‾
=
L
3
\overline{a_1a_2}=L_3
a1a2=L3,
a
1
a
3
‾
=
L
2
\overline{a_1a_3}=L_2
a1a3=L2,
a
2
a
3
‾
=
L
1
\overline{a_2a_3}=L_1
a2a3=L1
以上标注了三条边。
做
a
1
a
2
a
3
‾
\overline{a_1a_2a_3}
a1a2a3的对偶极线:构成对偶三个边:(dual trilateral)
A
1
A
2
A
3
‾
\overline{A_1A_2A_3}
A1A2A3
通过对偶边,获得对偶顶点,构成对偶三角形
A
1
A
2
‾
=
l
3
\overline{A_1A_2}=l_3
A1A2=l3
A
2
A
3
‾
=
l
1
\overline{A_2A_3}=l_1
A2A3=l1
A
1
A
3
‾
=
l
2
\overline{A_1A_3}=l_2
A1A3=l2
至此,对偶三角形被画出。
一句话,三角形顶点的极线构成对偶三角形。
三、正交三角形概念
3.1 通过对偶三角形,找到垂心
在图2中,找到三角形
a
1
a
2
a
3
‾
\overline{a_1a_2a_3}
a1a2a3的对偶三角形
l
1
l
2
l
3
‾
\overline{l_1l_2l_3}
l1l2l3
我们在图2的基础上,连接
a
1
l
1
‾
\overline{a_1l_1}
a1l1,
a
2
l
2
‾
\overline{a_2l_2}
a2l2,
a
3
l
3
‾
\overline{a_3l_3}
a3l3,此三条线交于h点,h点叫做三角形
a
1
a
2
a
3
‾
\overline{a_1a_2a_3}
a1a2a3的垂心。
3.2 正交三角形的概念
我们在图2的基础上,连接
a
1
l
1
‾
\overline{a_1l_1}
a1l1,
a
2
l
2
‾
\overline{a_2l_2}
a2l2,
a
3
l
3
‾
\overline{a_3l_3}
a3l3,此三条线是三角形
a
1
a
2
a
3
‾
\overline{a_1a_2a_3}
a1a2a3的垂线,分别交
L
1
L_1
L1于
b
1
b_1
b1,交
L
2
L_2
L2于
b
2
b_2
b2,交
L
3
L_3
L3于
b
3
b_3
b3,其中
b
1
b
2
b
3
‾
\overline{b_1b_2b_3}
b1b2b3构成正交三角形。
3.3 中心射影点的概念
因为上图太过稠密,这里更换一个图形继续说明。
由于我们找到了正交三角形
b
1
b
2
b
3
‾
\overline{b_1b_2b_3}
b1b2b3,我们进一步,做出
b
1
b
2
b
3
‾
\overline{b_1b_2b_3}
b1b2b3的对偶三角形,
c
1
c
2
c
3
‾
\overline{c_1c_2c_3}
c1c2c3,做法与上述相同,(做时要注意下标对应!)
连接
a
1
c
1
‾
\overline{a_1c_1}
a1c1、
a
2
c
2
‾
\overline{a_2c_2}
a2c2、
a
3
c
3
‾
\overline{a_3c_3}
a3c3,此三条线交于一点b,b就是三角形
a
1
a
2
a
3
‾
\overline{a_1a_2a_3}
a1a2a3的射影中心,从这一点发射的射线,将三角形
a
1
a
2
a
3
‾
\overline{a_1a_2a_3}
a1a2a3映射成三角形
c
1
c
2
c
3
‾
\overline{c_1c_2c_3}
c1c2c3,在空间中用锥体更加直观。
四、后记
对于几何图形在双曲空间的映射,这只是一个开端,进一步说,其他图元如何映射?如何编程?这些将是我们逐步考察的内容,敬请关注,谢谢!