运筹说第112期 | M/M/s等待制排队模型

通过上期学习，大家已经了解了排队论中的一些基本概念，以及生灭过程和Poisson过程。

那么本期小编将基于这些基本原理，为大家介绍M/M/s混合制排队模型，包括单服务台模型和多服务台模型，介绍模型的概念以及推导过程等内容。M/M/s等待制排队模型有两种机制，分别为单服务台模型M/M/1/∞和多服务台模型M/M/s/∞。单服务台模型是指顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布，服务台数为1，服务时间服从参数为μ的负指数分布，系统空间无限，允许无限排队。多服务台模型是指顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布，服务台数为s且服务时间相互独立，服务时间服从参数为μ的负指数分布，系统空间无限，允许无限排队。

单服务台模型

01 队长的分布

设pn=P{N=n}(n=0,1,2,…)为系统达到平衡状态后队长N的概率分布，此时λn=λ，μn=μ。记ρ=λ/μ，且ρ<1，则

因 $\sum_{n=0}^{\infty}{p_{n}}=1$ ，故

其中， $\sum_{n=0}^{\infty}{p_{n}}$ 是一个等比数列，所以根据等比数列求和公式S=首项/(1-公比)，这里首项为1，公比为ρ，求出

ρ是系统中至少有一个顾客的概率，也就是服务台处于忙的状态的概率，因而也称ρ为服务强度，它反映了系统繁忙的程度。只有ρ＜1，即要求顾客平均到达率小于系统平均服务率，才能使系统达到统计平衡，才有

02 几个重要的数量指标

对单服务台等待制排队系统，通过平稳状态下队长的分布（即当系统达到统计平衡时处于状态n的概率为pn）与队长n相乘后加总，可以得到平均队长L

平均排队长Lq为

顾客在系统中的逗留时间为T，由于到达过程和服务时间分别服从参数为λ和μ负指数分布，具有无记忆性；因此T服从参数为μ-λ负指数分布

因此，平均逗留时间W为

可发现平均队长L与平均逗留时间W具有如下关系

同样，可发现平均排队长Lq与平均等待时间Wq。有如下关系

上述两式通常称为Little公式，是排队论中一个非常重要的公式。

03 忙期和闲期

由于忙期和闲期出现的概率分别为ρ和1-ρ，所以可认为在一段时间内两者总长度之比为ρ:(1-ρ)。又因为忙期和闲期是交替出现的，所以在足够长的时间内，它们出现的平均次数应该是相同的。于是，忙期平均长度和闲期平均长度之比也为ρ:(1-ρ)，即

在到达为Poisson流时，从系统空闲时刻起，到下一个顾客到达时刻止（闲期）的时间间隔仍服从参数为λ的负指数分布，且与到达时间间隔相互独立。故平均闲期为1/λ，可求得平均忙期为

可见，一个顾客在系统内的平均逗留时间=平均忙期。因此，一个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。

例题展示

例1：修理店只有一个修理工，顾客到达为Poisson流，平均4人/h。修理时间服从负指数分布，平均需要6min。试求：（1）修理店空闲概率；（2）店内恰有3个顾客的概率；（3）店里至少有1个顾客的概率；（4）店内平均顾客数；（5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过10min的概率。

解：本题为M/M/1/∞问题，λ=4，μ=1/0.1=10，ρ=λ/μ=2/5

（1）修理店空闲概率

（2）店内恰有3个顾客的概率

（3）店里至少有1个顾客的概率

（4）店内平均顾客数

（5）每位顾客在店内的平均逗留时间

（6）等待服务的平均顾客数

（7）每位顾客平均等待服务时间

（8）顾客在店内等待时间超过10min的概率

多服务台模型

01 基本概念

设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为的负指数分布，系统中共有s个服务台，服务台的服务时间相互独立，且服从参数为μ的负指数分布。系统空间无限，允许无限排队。多服务台模型与单服务台模型的区别为：单服务台模型中服务率与系统状态无关，均为μ，服务强度ρ=λ/μ<1；而多服务台模型中服务率与系统状态有关。 02 过程推导

记pn=P{N=n}(n=0,1,2,…)为系统达到平稳状态后队长N的概率分布，对个数为s的多服务台系统，有