一、题目描述
给定一个包含非负整数的 m x n
网格 grid
,请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。
说明:每次只能向下或者向右移动一步。
示例 1:
输入:grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]] 输出:7 解释:因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
示例 2:
输入:grid = [[1,2,3],[4,5,6]] 输出:12
提示:
m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 200
0 <= grid[i][j] <= 200
二、解题思路
- 初始化 dp 数组的左上角元素为 grid 的左上角元素的值,即
dp[0][0] = grid[0][0]
。 - 遍历 grid 的每一行和每一列,对于第一行和第一列,由于只能从左上角来,所以
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
和dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
。 - 对于其他位置,我们可以从左边或者上边来到当前位置,因此
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
。 - 遍历完成后,dp 数组的右下角元素即为所求的最小路径和。
三、具体代码
class Solution {
public int minPathSum(int[][] grid) {
if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {
return 0;
}
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
int[][] dp = new int[m][n];
// 初始化左上角元素
dp[0][0] = grid[0][0];
// 初始化第一行
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
}
// 初始化第一列
for (int i = 1; i < m; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 填充 dp 数组
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
}
}
// 返回右下角元素,即最小路径和
return dp[m - 1][n - 1];
}
}
四、时间复杂度和空间复杂度
1. 时间复杂度
- 代码首先进行了一些初始化操作,包括检查输入数组是否为空,以及初始化 dp 数组的边界值。这些操作的时间复杂度是 O(1)。
- 接着,代码通过两层循环遍历了整个 dp 数组。外层循环遍历行,内层循环遍历列。对于每一行和每一列,代码执行了常数时间的操作来计算 dp 数组的值。
- 因此,总的时间复杂度是 O(m * n),其中 m 是 grid 的行数,n 是 grid 的列数。这是因为算法需要对每个元素进行一次计算。
2. 空间复杂度
- 空间复杂度主要由 dp 数组决定,该数组的大小与输入的 grid 相同,即 m x n。
- 由于没有使用其他额外的空间(除了一些局部变量,它们的空间消耗与输入数组的大小无关),所以空间复杂度是 O(m * n)。
五、总结知识点
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动态规划(Dynamic Programming): 动态规划是一种算法设计技巧,它将一个复杂问题分解为更小的子问题,并存储这些子问题的解,以避免重复计算。在这段代码中,我们使用动态规划来找到从网格的左上角到右下角的最小路径和。通过构建一个 dp 数组,每个 dp[i][j] 表示到达 grid[i][j] 点的最小路径和。
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二维数组的使用: 代码中使用了二维数组
dp
来存储从左上角到每个点的最小路径和。这要求对二维数组的索引和更新有深入的理解。 -
边界条件的处理: 在动态规划中,正确处理边界条件是非常重要的。在这段代码中,首先检查了输入的 grid 是否为空或者维度是否为 0,然后分别初始化了 dp 数组的第一行和第一列,这是因为第一行和第一列的点只能从一个方向到达(第一行只能从左边到达,第一列只能从上面到达)。
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嵌套循环: 代码中使用了两层嵌套循环来遍历和填充 dp 数组。外层循环遍历行,内层循环遍历列。这种循环结构是处理二维数据时常见的模式。
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最小值的计算: 在填充 dp 数组时,需要计算每个点的最小路径和。这通过
Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
实现,它比较了从上方和左方到达当前点的路径和,并取最小值。 -
空间复杂度优化: 尽管代码中直接创建了一个与输入网格同样大小的 dp 数组,但实际上可以通过空间复杂度优化技巧,只使用一维数组或者滚动数组来减少空间消耗。这在处理大规模数据时尤其有用。
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函数的返回值: 函数的返回值是 dp 数组右下角的元素,即
dp[m - 1][n - 1]
,这代表了从左上角到右下角的最小路径和。
以上就是解决这个问题的详细步骤,希望能够为各位提供启发和帮助。