算法题
Leetcode 70. 爬楼梯（进阶版）
题目：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
输入描述：输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m
输出描述：输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。
输入示例：3 2
输出示例：3
提示：
当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。
此时你有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
个人思路
这道题是力扣70题的进阶版本，因为每阶都能重复使用，所以是一个完全背包问题，可以用动态规划方法解决。
解法
动态规划
这里的1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。所以思路和昨天的题目组合总和四基本就是一道题了。
动规五部曲：
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
2.确定递推公式
昨天的算法题，也是求装满背包有几种方法，这种递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
而本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]；
那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]
3.dp数组如何初始化
因为递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，所以dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。
下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果
4.确定遍历顺序
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
5.举例来推导dp数组
import java.util.Scanner;
class climbStairs{
public static void main(String [] args){
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int m, n;
while (sc.hasNextInt()) {
n = sc.nextInt(); // 从键盘输入参数，中间用空格隔开
m = sc.nextInt();
// 求排列问题，先遍历背包再遍历物品
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = 1;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
for (int i = 1; i <= m; i++) {
if (j - i >= 0) dp[j] += dp[j - i];
}
}
System.out.println(dp[n]);
}
}
}时间复杂度:O(n^2)；（嵌套for循环）
空间复杂度:O( n);（存储一个长度为n+1的dp数组）
Leetcode 322. 零钱兑换
题目链接:322. 零钱兑换
大佬视频讲解：零钱兑换视频讲解
个人思路
这道题的每种硬币的数量是无限的，典型的完全背包问题。
解法
动态规划
动规五部曲：
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
2.确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
3.dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
因为每次取最小的，所以dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。所以下标非0的元素都是应该是最大值。
4.确定遍历顺序
本题是求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
这里采用coins放在外循环，target在内循环的方式。本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序
5.举例推导dp数组
以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[amount + 1];
for (int j = 0; j < dp.length; j++) { //初始化dp数组为最大值
dp[j] = max;
}
dp[0] = 0; //当金额为0时需要的硬币数目为0
for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {//完全背包->正序遍历
if (dp[j - coins[i]] != max) {//只有不是初始最大值时，该位才有选择的必要
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);//选择硬币数目最小的情况
}
}
}
return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
}
}时间复杂度:O(n^2)；（嵌套for循环）
空间复杂度:O( n);（存储一个长度为n+1的dp数组）
Leetcode 279.完全平方数
题目链接:279.完全平方数
大佬视频讲解：完全平方数视频讲解
个人思路
还是完全背包问题，数字可以重复使用，和今天的前两天思路一样。
解法
动态规划
动规五部曲：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
2.确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
3.dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。
从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
4.确定遍历顺序
这里只求最小个数，所以遍历顺序没有讲究。
5.举例推导dp数组
已输入n为5例，dp状态图如下：
class Solution {
// 先遍历物品, 再遍历背包
public int numSquares(int n) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[n + 1];
Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);//初始化
dp[0] = 0; //当和为0时，组合的个数为0
for (int i = 1; i * i <= n; i++) {//遍历物品
for (int j = i * i; j <= n; j++) {// 遍历背包
if (dp[j - i * i] != max) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
}
}
}
return dp[n];
}
}
时间复杂度:O(n^2)；（嵌套for循环）
空间复杂度:O( n);（存储一个长度为n+1的dp数组）
以上是个人的思考反思与总结，若只想根据系列题刷，参考卡哥的网址代码随想录算法官网
