代码随想录算法训练营第五十六天|583.两个字符串的删除操作、72.编辑距离

day56 2023/03/28

一、两个字符串的删除操作

给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。

示例：

  • 输入: "sea", "eat"
  • 输出: 2
  • 解释: 第一步将"sea"变为"ea"，第二步将"eat"变为"ea"

分析如下：

这次是两个字符串可以相互删了，这种题目也知道用动态规划的思路来解，动规五部曲，分析如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。

这里dp数组的定义有点点绕，大家要撸清思路。

2.确定递推公式

  • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
  • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：

情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1

情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1

情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2

那最后当然是取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});

因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2，所以递推公式可简化为：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);

这里可能不少录友有点迷糊，从字面上理解 就是 当 同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，dp[i][j-1] 本来就不考虑 word2[j - 1]了，那么我在删 word1[i - 1]，是不是就达到两个元素都删除的效果，即 dp[i][j-1] + 1。

3.dp数组如何初始化

从递推公式中，可以看出来，dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。

dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i。

4.确定遍历顺序

从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

5.举例推导dp数组

以word1:"sea"，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：

代码如下：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

二、编辑距离

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

  • 插入一个字符

  • 删除一个字符

  • 替换一个字符

  • 示例 1：

  • 输入：word1 = "horse", word2 = "ros"

  • 输出：3

  • 解释： horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r') rorse -> rose (删除 'r') rose -> ros (删除 'e')

  • 示例 2：

  • 输入：word1 = "intention", word2 = "execution"

  • 输出：5

  • 解释： intention -> inention (删除 't') inention -> enention (将 'i' 替换为 'e') enention -> exention (将 'n' 替换为 'x') exention -> exection (将 'n' 替换为 'c') exection -> execution (插入 'u')

分析如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

2. 确定递推公式

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

此时可能有同学有点不明白，为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？

那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义，word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。

在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下dp[i][j]的定义，就明白了。

在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！

if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？

  • 操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

  • 操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。

可以回顾一下，if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。

那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。

所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

3. dp数组如何初始化

再回顾一下dp[i][j]的定义：

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢？

dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。

那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;

同理dp[0][j] = j;

4. 确定遍历顺序

从如下四个递推公式：

  • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
  • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
  • dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
  • dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：

所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。

 5.举例推导dp数组

代码如下：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }
                else {
                    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

复习一下之前的dp（温故而知新嘛）

组合总和Ⅳ：

注意：求组合数就是外层for遍历物品，内层for遍历背包

求排列数就是外层for遍历背包，内层for遍历物品

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int target;
vector<int> nums;

int main()
{
    scanf("%d",&target);
    int x;
	while(scanf("%d",&x)!=EOF) nums.push_back(x);
	
	vector<int> dp(target+1,0);//初始化dp数组
	dp[0]=1;
	for(int i=0;i<=target;i++)
	{
	    for(int j=0;j<nums.size();j++)
		   if(i>=nums[j])
		    dp[i]+=dp[i-nums[j]];
	}		
	printf("%d\n",dp[target]);
	
	return 0;
}

 爬楼梯相当于完全背包问题呢（将m赋值为2即可得到爬楼梯题目可以AC的题解）

//爬楼梯问题进阶
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int n,m;

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	//n表示要爬的楼梯数(相当于背包) 
	//m表示每次最多可以爬的楼梯数(相当于物品)
	vector<int> dp(n+1,0); 
	dp[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		if(i-j>=0)
		  dp[i]+=dp[i-j];
	}
	printf("%d\n",dp[n]);
	
	return 0;
}

 零钱兑换

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int amount;
vector<int> coins;

int main()
{
    scanf("%d",&amount);
	int x;
	while(scanf("%d",&x)!=EOF) coins.push_back(x);
	
	vector<int> dp(amount+1,INT_MAX); 
	dp[0]=0;//初始化dp数组 
	for(int i=0;i<coins.size();i++)//先遍历物品
	{
	    for(int j=coins[i];j<=amount;j++)
	    if(dp[j-coins[i]]!=INT_MAX)
		  dp[j]=min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);	
	} 
	if(dp[amount]!=INT_MAX)
	printf("%d\n",dp[amount]);
	else printf("-1\n");
	
	return 0;
}

完全平方数代码如下：（完全背包） 

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int n;

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	int x;
	//dp[i]表示和为i的完全平方数的最少数量 
	//n代表背包
	//每个完全平方数代表物品 
	vector<int> dp(n+1,INT_MAX);
	dp[0]=0;
	
	for(int i=1;i*i<=n;i++)//遍历物品 
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)//遍历背包 
		{
			if(j>=i*i)
			dp[j]=min(dp[j],dp[j-i*i]+1);
		}
	}
	
	if(dp[n]!=INT_MAX)
	printf("%d\n",dp[n]);
	else printf("-1\n");
	
	return 0;
}

 单词拆分（完全背包）

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

string s;
set<string> wordSet;

int main()
{
   ios_base::sync_with_stdio(0);
   cin.tie(0),cout.tie(0);
    
   cin>>s;
   string str;
   while(cin>>str) wordSet.insert(str);
   
   //字符串s代表背包,单词代表物品
   vector<bool>dp(s.size()+1,false);
   dp[0]=true;
   //初始化dp数组
   for(int i=1;i<=s.size();i++)//遍历背包
   {
      for(int j=0;j<i;j++)//遍历物品 
      {
      	 string word=s.substr(j,i-j);
      	 if(wordSet.find(word)!=wordSet.end()&&dp[j])
      	   dp[i]=true;
	  }
   }	
   if(dp[s.size()]) cout<<"yes"<<endl;
   else cout<<"no"<<endl;
   
   return 0;	
}

打家劫舍系列问题

Ⅰ代码如下：

//打家劫舍
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
vector<int> nums;

int main()
{
	int x;
	while(scanf("%d",&x)!=EOF) nums.push_back(x);
	
	if(nums.size()==0) printf("0\n");
	if(nums.size()==1) printf("%d\n",nums[0]);
	vector<int>dp(nums.size()+1,0);
	dp[0]=nums[0];
	dp[1]=max(nums[0],nums[1]);
	
	for(int i=2;i<=nums.size();i++)
	  dp[i]=max(dp[i-2]+nums[i],dp[i-1]);
	
	printf("%d\n",dp[nums.size()]);
	
	return 0;
}

 

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