1 方法一：对傅里叶级数展开式 F T 变换 FT变换 FT变换
由于周期信号进行傅里叶变换不满足标准定义式 F ( j w ) = ∫ − ∞ + ∞ e − j w t f ( t ) d t F(jw)=\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-jwt}f(t)dt F(jw)=∫−∞+∞e−jwtf(t)dt 使用的条件：需要绝对可积（周期信号时域上无限向两端延展会导致积分不收敛，而傅里叶变换要求积分主体范围是有界的），则求周期信号的傅里叶变换需另辟新径：根据周期信号的傅里叶级数展开式为 f ( t ) = ∑ n = − ∞ n = + ∞ F n e j n w 0 t f(t)=\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}F_ne^{jnw_0t} f(t)=∑n=−∞n=+∞Fnejnw0t
对上式求傅里叶变换（实际上将对周期信号进行 F T 变换 FT变换 FT变换 转化成了对非周期信号 e j n w 0 t e^{jnw_0t} ejnw0t 的 F T 变换 FT变换 FT变换：
F T [ f ( t ) ] = F T [ ∑ n = − ∞ + ∞ F n e j n w 0 t ] = ∑ n = − ∞ + ∞ F n ⋅ F T [ e j n w 0 t ] FT[f(t)]=FT[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_ne^{jnw_0t}]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_n\cdot FT[e^{jnw_0t}] FT[f(t)]=FT[n=−∞∑+∞Fnejnw0t]=n=−∞∑+∞Fn⋅FT[ejnw0t]
由于 F T [ f ( t ) e ± j w 0 t ] = F [ j ( w ∓ w 0 ) ] FT[f(t)e^{\pm jw_0t}]=F[j(w\mp w_0)] FT[f(t)e±jw0t]=F[j(w∓w0)]、 F T [ 1 ] = 2 π δ ( w ) FT[1]=2\pi\delta(w) FT[1]=2πδ(w)，则：
F T [ e j n w 0 t ] = F T [ 1 ⋅ e j n w 0 t ] = 2 π δ ( w − n w 0 ) FT[e^{jnw_0t}]=FT[1\cdot e^{jnw_0t}]=2\pi\delta(w-nw_0) FT[ejnw0t]=FT[1⋅ejnw0t]=2πδ(w−nw0)
合并得到：
F T [ f ( t ) ] = 2 π ∑ n = − ∞ + ∞ F n ⋅ δ ( w − n w 0 ) FT[f(t)]=2\pi\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_n\cdot \delta(w-nw_0) FT[f(t)]=2πn=−∞∑+∞Fn⋅δ(w−nw0)
则周期信号的傅里叶变换得到的频谱函数图由无限个冲激信号构成
- 例1：对矩形脉冲信号
f
(
t
)
f(t)
f(t) （实际上就是周期的门函数
g
τ
(
t
)
=
u
(
t
+
τ
2
)
−
u
(
t
−
τ
2
)
g_\tau(t)=u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})
gτ(t)=u(t+2τ)−u(t−2τ) ）进行
F
T
变换
FT变换
FT变换
注：下面所有的 w 0 = 2 π T w_0=\frac{2\pi}{T} w0=T2π
F n = 1 T ∫ T e − j n w 0 t ⋅ f T ( t ) d t , ∣ n ∣ = 0 , 1 , 2 , 3... F_n=\frac{1}{T}\int_Te^{-jnw_0t}\cdot f_T(t)dt,|n|=0,1,2,3... Fn=T1∫Te−jnw0t⋅fT(t)dt,∣n∣=0,1,2,3...
由于：
f T ( t ) = ∑ m = − ∞ + ∞ g τ ( t − m T ) f_T(t)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}g_\tau(t-mT) fT(t)=m=−∞∑+∞gτ(t−mT)
则：
F n = 1 T ∫ T e − j n w 0 t ⋅ [ ∑ m = − ∞ + ∞ g τ ( t − m T ) ] d t F_n=\frac{1}{T}\int_Te^{-jnw_0t}\cdot[\sum_{m=-\infty}^{+\infty}g_\tau(t-mT)]dt Fn=T1∫Te−jnw0t⋅[m=−∞∑+∞gτ(t−mT)]dt
由于 T > τ T>\tau T>τ，一个周期内只有一个门函数，则：
F
n
=
1
T
∫
−
τ
2
+
τ
2
e
−
j
n
w
0
t
⋅
g
τ
(
t
)
d
t
=
1
T
∫
−
τ
2
+
τ
2
e
−
j
n
w
0
t
⋅
1
d
t
F_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{+\frac{\tau}{2}}e^{-jnw_0t}\cdot g_\tau(t)dt=\frac{1}{T}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{+\frac{\tau}{2}}e^{-jnw_0t}\cdot 1dt
Fn=T1∫−2τ+2τe−jnw0t⋅gτ(t)dt=T1∫−2τ+2τe−jnw0t⋅1dt
=
1
T
⋅
1
−
j
n
w
0
[
e
−
j
n
w
0
t
]
t
=
−
τ
2
t
=
+
τ
2
=
2
T
s
i
n
(
n
w
0
τ
2
)
n
w
0
=\frac{1}{T}\cdot\frac{1}{-jnw_0}\Big[e^{-jnw_0t}\Big]_{t=-\frac{\tau}{2}}^{t=+\frac{\tau}{2}}=\frac{2}{T}\frac{sin(\frac{nw_0\tau}{2})}{nw_0}
=T1⋅−jnw01[e−jnw0t]t=−2τt=+2τ=T2nw0sin(2nw0τ)
结论是：
F n = τ T S a ( n w 0 τ 2 ) F_n=\frac{\tau}{T}Sa(\frac{nw_0\tau}{2}) Fn=TτSa(2nw0τ)
则：
F T [ f ( t ) ] = 2 π τ T ∑ n = − ∞ + ∞ S a ( n w 0 τ 2 ) ⋅ δ ( w − n w 0 ) FT[f(t)]=\frac{2\pi\tau}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}Sa(\frac{nw_0\tau}{2})\cdot \delta(w-nw_0) FT[f(t)]=T2πτn=−∞∑+∞Sa(2nw0τ)⋅δ(w−nw0)
例2、 δ T ( t ) = ∑ m = − ∞ + ∞ δ ( t + m T ) , m 为整数 \delta_T(t)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\delta(t+mT),m为整数 δT(t)=∑m=−∞+∞δ(t+mT),m为整数
F n = 1 T ∫ T δ T ( t ) e − j n w 0 t d t = 1 T ∫ − T 2 T 2 δ ( t ) e − j n w 0 t d t F_n=\frac{1}{T}\int_T\delta_T(t)e^{-jnw_0t}dt=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\delta(t)e^{-jnw_0t}dt Fn=T1∫TδT(t)e−jnw0tdt=T1∫−2T2Tδ(t)e−jnw0tdt
根据采样定理 ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ f ( 0 ) δ ( t ) d t = f ( 0 ) ∫ − T 2 T 2 δ ( t ) d t = f ( 0 ) ⋅ 1 \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t)dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f(0)\delta(t)dt=f(0)\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\delta(t)dt=f(0)\cdot 1 ∫−∞+∞f(t)δ(t)dt=∫−∞+∞f(0)δ(t)dt=f(0)∫−2T2Tδ(t)dt=f(0)⋅1 ，则：
F n = 1 T e 0 = 1 T F_n=\frac{1}{T}e^0=\frac{1}{T} Fn=T1e0=T1
则傅里叶变换为：
F T [ δ T ( t ) ] = 2 π T ⋅ ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( w − n w 0 ) = w 0 ⋅ ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( w − n w 0 ) FT[\delta_T(t)]=\frac{2\pi}{T}\cdot\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(w-nw_0)=w_0\cdot\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(w-nw_0) FT[δT(t)]=T2π⋅n=−∞∑+∞δ(w−nw0)=w0⋅n=−∞∑+∞δ(w−nw0)
2 方法二：通过卷积进行 F T 变换 FT变换 FT变换
f
T
(
t
)
=
∑
m
=
−
∞
+
∞
f
0
(
t
−
m
T
)
=
f
0
(
t
)
∗
δ
T
(
t
)
=
f
0
(
t
)
∗
∑
m
=
−
∞
+
∞
δ
(
t
−
m
T
)
f_T(t)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}f_0(t-mT)=f_0(t)*\delta_T(t)=f_0(t)*\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\delta(t-mT)
fT(t)=m=−∞∑+∞f0(t−mT)=f0(t)∗δT(t)=f0(t)∗m=−∞∑+∞δ(t−mT)
f
T
(
t
)
↔
F
T
[
f
0
(
t
)
]
⋅
F
T
[
δ
T
(
t
)
]
=
F
T
[
f
0
(
t
)
]
⋅
w
0
∑
n
=
−
∞
+
∞
δ
(
w
−
n
w
0
)
=
2
π
T
⋅
F
T
[
f
0
(
t
)
]
⋅
∑
n
=
−
∞
+
∞
δ
(
w
−
n
w
0
)
f_T(t)\leftrightarrow FT[f_0(t)]\cdot FT[\delta_T(t)]=FT[f_0(t)]\cdot w_0\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(w-nw_0)=\frac{2\pi}{T}\cdot FT[f_0(t)]\cdot\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(w-nw_0)
fT(t)↔FT[f0(t)]⋅FT[δT(t)]=FT[f0(t)]⋅w0n=−∞∑+∞δ(w−nw0)=T2π⋅FT[f0(t)]⋅n=−∞∑+∞δ(w−nw0)
实际上：将对 f T ( t ) f_T(t) fT(t) 这个周期信号的傅里叶变换求解转变为了对某个周期内的单独的（非周期的）信号 f 0 ( t ) f_0(t) f0(t) 的 F T 变换 FT变换 FT变换
证明 f 0 ( t ) ∗ δ T ( t ) = f T ( t ) f_0(t)*\delta_T(t)=f_T(t) f0(t)∗δT(t)=fT(t)：
f 0 ( t ) ∗ δ ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f 0 ( τ ) ⋅ δ ( t − τ ) d τ f_0(t)*\delta(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_0(\tau)\cdot\delta(t-\tau)d\tau f0(t)∗δ(t)=∫−∞+∞f0(τ)⋅δ(t−τ)dτ
根据 ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) ⋅ δ ( t − t 0 ) d t = ∫ − ∞ + ∞ f ( t 0 ) ⋅ δ ( t − t 0 ) d t = f ( t 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cdot\delta(t-t_0)dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t_0)\cdot\delta(t-t_0)dt=f(t_0) ∫−∞+∞f(t)⋅δ(t−t0)dt=∫−∞+∞f(t0)⋅δ(t−t0)dt=f(t0)，将 t t t 替换成 τ \tau τ，即 ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) ⋅ δ ( τ − t 0 ) d τ = ∫ − ∞ + ∞ f ( t 0 ) ⋅ δ ( τ − t 0 ) d τ = f ( t 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\cdot\delta(\tau-t_0)d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t_0)\cdot\delta(\tau-t_0)d\tau=f(t_0) ∫−∞+∞f(τ)⋅δ(τ−t0)dτ=∫−∞+∞f(t0)⋅δ(τ−t0)dτ=f(t0)
f 0 ( t ) ∗ δ ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f 0 ( τ ) ⋅ δ ( t − τ ) d τ f_0(t)*\delta(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_0(\tau)\cdot\delta(t-\tau)d\tau f0(t)∗δ(t)=∫−∞+∞f0(τ)⋅δ(t−τ)dτ
又由于 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 为偶函数，则 δ ( t − τ ) = δ ( τ − t ) \delta(t-\tau)=\delta(\tau-t) δ(t−τ)=δ(τ−t)，则：
= ∫ − ∞ + ∞ f 0 ( τ ) ⋅ δ ( τ − t ) d τ = f ( t ) =\int_{-\infty}^{+\infty}f_0(\tau)\cdot\delta(\tau-t)d\tau=f(t) =∫−∞+∞f0(τ)⋅δ(τ−t)dτ=f(t)
将 δ T ( t ) \delta_T(t) δT(t) 替换掉原来的 δ ( t ) \delta(t) δ(t)，则可推出： f 0 ( t ) ∗ δ T ( t ) = f T ( t ) f_0(t)*\delta_T(t)=f_T(t) f0(t)∗δT(t)=fT(t)
同上面例1、对周期矩形脉冲求 F ( j w ) F(jw) F(jw)
其中 f 0 ( t ) = g τ ( t ) f_0(t)=g_\tau(t) f0(t)=gτ(t) ，且 F T [ g τ ( t ) ] = τ S a ( w τ 2 ) FT[g_\tau(t)]=\tau Sa(\frac{w\tau}{2}) FT[gτ(t)]=τSa(2wτ)
G T τ ( t ) = g τ ( t ) ∗ δ T ( t ) ↔ w 0 τ S a ( w τ 2 ) ⋅ ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( w − n w 0 ) = 2 π τ T ∑ n = − ∞ + ∞ S a ( w τ 2 ) ⋅ δ ( w − n w 0 ) G_T^\tau(t)=g_\tau(t)*\delta_T(t)\leftrightarrow w_0\tau Sa(\frac{w\tau}{2})\cdot \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(w-nw_0)=\frac{2\pi\tau}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}Sa(\frac{w\tau}{2})\cdot\delta(w-nw_0) GTτ(t)=gτ(t)∗δT(t)↔w0τSa(2wτ)⋅n=−∞∑+∞δ(w−nw0)=T2πτn=−∞∑+∞Sa(2wτ)⋅δ(w−nw0)
上面存在一个频域的抽样特性 f ( w ) δ ( w − w 0 ) = f ( w 0 ) δ ( w − w 0 ) f(w)\delta(w-w_0)=f(w_0)\delta(w-w_0) f(w)δ(w−w0)=f(w0)δ(w−w0)：
F ( j w ) = 2 π τ T ∑ n = − ∞ + ∞ S a ( n w 0 τ 2 ) ⋅ δ ( w − n w 0 ) F(jw)=\frac{2\pi\tau}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}Sa(\frac{nw_0\tau}{2})\cdot\delta(w-nw_0) F(jw)=T2πτn=−∞∑+∞Sa(2nw0τ)⋅δ(w−nw0)
