算法打卡day42|动态规划篇10| Leetcode 121. 买卖股票的最佳时机、122.买卖股票的最佳时机II

算法题

Leetcode 121. 买卖股票的最佳时机

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个人思路

这道题之前贪心算法做过，当然动规也能解决这道题

解法

贪心法

取最左最小值，取最右最大值，得到的差值就是最大利润.

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        // 找到一个最小的购入点
        int low = Integer.MAX_VALUE;
        // res不断更新，直到数组循环完毕
        int res = 0;
        for(int i = 0; i < prices.length; i++){
            low = Math.min(prices[i], low);
            res = Math.max(prices[i] - low, res);
        }
        return res;
    }
}

时间复杂度:O(n)；（遍历数组）

空间复杂度:O(1);（无其他额外空间）

动态规划

动规五部曲：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金

其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]，这是一个负数。

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

注意：“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态

2.确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]，那么可以由两个状态推出来

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1][0]
第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1]，也可以由两个状态推出来

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1][1]
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

3.dp数组如何初始化

由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

因为dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;

4.确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5.举例推导dp数组

以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) return 0;
        int length = prices.length;
        int[][] dp = new int[length][2];
        int result = 0;

        dp[0][0] = -prices[0];// dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益
        dp[0][1] = 0;// dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益

        for (int i = 1; i < length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
        }

        return dp[length - 1][1];
    }
}

时间复杂度:O(n)；（遍历数组）

空间复杂度:O( n);（n×2的二维数组）

Leetcode 122.买卖股票的最佳时机II

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个人思路

这道题之前贪心方法解决过，动态规划试一试.

解法

动态规划

在动规方法中，除了递推公式和上一题不同，其他没什么不同，所以就说一下递推公式。

dp数组的含义：

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]，那么可以由两个状态推出来

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1][0]
第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格即：dp[i - 1][1] - prices[i]

注意这里和上题唯一不同的地方，就是推导dp[i][0]的时候，第i天买入股票的情况。

因为本题一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。

再来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况，依然可以由两个状态推出来

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1][1]
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

注意这里和上题就是一样的逻辑，卖出股票收获利润可能是负值

所以这道题代码和前一题代码，就 第i天持有股票公式不同。

class Solution 
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][2];

        dp[0][0] = 0; // 初始状态
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);// 第 i 天没有股票
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);// 第 i 天持有股票
        }
        return dp[n - 1][0]; // 卖出股票收益高于持有股票收益，因此取[0]
    }
}