一、实验内容简介

该实验主要使用频繁模式和关联规则进行数据挖掘，在已经使用过Apriori算法挖掘频繁模式后，这次使用FP-tree算法来编写和设计程序，依然使用不同规模的数据集来检验效果，最后分析和探讨实验结果，看其是否达到了理想的效果。本实验依然使用Python语言编写。

二、算法说明

首先简单介绍频繁模式和关联规则：

• 频繁模式一般是指频繁地出现在数据集中的模式。

• 关联规则是形如X→Y的蕴涵表达式，其中X和Y是不相交的项集，即X∩Y=∅。关联规则的强度可以用它的支持度（support）和置信度（confidence）来度量。计算公式如下：

• 支持度：support(A=>B)=P(A∪B)，表示A和B同时出现的概率。

• 置信度：confidence(A=>B)=support(A∪B)/support(A)，表示A和B同时出现的概率占A出现概率的比值。

• 强关联规则是指达到了最小支持度和最小置信度的关联规则。

然后再介绍FP-Tree算法：

2000年，Han Jiawei等人提出了基于频繁模式树（Frequent Pattern Tree, FP—Tree）的发现频繁模式的算法FP-Growth。其思想是构造一棵FP-Tree，把数据集中的数据映射到树上，再根据这棵FP-Tree找出所有频繁项集。

FP-Growth算法是指，通过两次扫描事务数据集，把每个事务所包含的频繁项目按其支持度降序压缩存储到FP-Tree中。在以后发现频繁模式的过程中，不需要再扫描事务数据集，而仅在FP-Tree中进行查找即可。通过递归调用FP-Growth的方法可直接产生频繁模式，因此在整个发现过程中也不需产生候选模式。由于只对数据集扫描两次，因此FP-Growth算法克服了Apriori算法中存在的问题，在执行效率上也明显好于Apriori算法。

上图为FP-Tree示意图，展示了该数据结构的构成方式。

三、算法分析与设计

了解完算法的基本原理后，现在开始真正实现该算法。首先需要读取最小支持度，读取数据集。这里的数据集可大可小，我用Python中的字典来表示数据

这里的数据存储格式与之前写Apriori算法时一样，使用字典来存储。然后由用户来输入支持度和置信度（因为这次还要挖掘关联规则，所以增加了置信度输入）。

作为FP-Tree的基础，首先构建树节点。一个节点有四个基本属性，分别节点名称、出现次数、双亲节点和孩子节点。因为这里不是二叉树，树的孩子节点个数不确定，因此用字典来存储，大小可控。

class Node:
    def __init__(self, value, parent, count=0):
        self.value = value
        self.parent = parent
        self.count = count
        self.children = {}

    def addChild(self, child):
        self.children.update(child)
    def __init__(self, value, parent, count=0):

前置准备完成后，开始实现FP-Tree算法。FP-Tree算法可大致分为构建项头表、构建FP-Tree、利用条件模式基挖掘频繁模式和关联规则几步。把这几步集成到一个类中，这样避免了大量函数传参操作，思路更清晰。

首先构建项头表，先扫描一遍数据集挖掘频繁1项集，挖掘出来的数据按支持度降序排列，并按此顺序重新排列原数据集的数据，对于不符合要求的数据直接删除。

    def first_scan(self):
        """
        生成项头表，整理数据
        """
        Dict = dict()
        for i in self.data.values():
            for j in i:
                if j not in Dict.keys():
                    Dict.update({j: 1})
                else:
                    Dict[j] += 1
        self.first_list = list(Dict.items())
        self.first_list.sort(key=lambda l: l[1], reverse=True)
        for i in range(len(self.first_list) - 1, 0, -1):
            if self.first_list[i][1] < self.support * len(self.data):
                continue
            else:
                rubbish = [self.first_list[j][0] for j in range(i + 1, len(self.first_list))]
                self.first_list = self.first_list[:i + 1]
                break

        # 将原来的数据重新按支持度排序并剔除非频繁1项集
        sort_refer = [i[0] for i in self.first_list]
        for i in self.data.values():
            for j in i:
                if j in rubbish:
                    i.remove(j)
            i.sort(key=lambda l: sort_refer.index(l))

        # 添加频繁1项集
        self.pinfan.extend([list(i) for i in self.first_list])

        # 整理项头表
        self.value_list = [i[0] for i in self.first_list]
        temp = {}
        for i in self.first_list:
            temp.update({i[0]: []})
        self.first_list = temp

然后构建FP-Tree。这里的过程就比较复杂了，简要说明步骤。第二次遍历数据集，从上往下构建分支，每次若遇到之前没出现的节点，就新建一个新节点，同时更新FP-Tree和项头表，若遇到之前已经出现的节点，则该节点的次数加一。特殊的根节点不需要存储任何数据，只需要存储孩子节点。

    def first_scan(self):
        """
        生成项头表，整理数据
        """
        Dict = dict()
        for i in self.data.values():
            for j in i:
                if j not in Dict.keys():
                    Dict.update({j: 1})
                else:
                    Dict[j] += 1
        self.first_list = list(Dict.items())
        self.first_list.sort(key=lambda l: l[1], reverse=True)
        for i in range(len(self.first_list) - 1, 0, -1):
            if self.first_list[i][1] < self.support * len(self.data):
                continue
            else:
                rubbish = [self.first_list[j][0] for j in range(i + 1, len(self.first_list))]
                self.first_list = self.first_list[:i + 1]
                break

        # 将原来的数据重新按支持度排序并剔除非频繁1项集
        sort_refer = [i[0] for i in self.first_list]
        for i in self.data.values():
            for j in i:
                if j in rubbish:
                    i.remove(j)
            i.sort(key=lambda l: sort_refer.index(l))

        # 添加频繁1项集
        self.pinfan.extend([list(i) for i in self.first_list])

        # 整理项头表
        self.value_list = [i[0] for i in self.first_list]
        temp = {}
        for i in self.first_list:
            temp.update({i[0]: []})
        self.first_list = temp

然后基于FP-Tree同时挖掘频繁模式和关联规则。利用项头表，从支持度低的元素到支持度高的元素，找到该元素在FP-Tree的所有位置，然后自底向上读取其所有祖先节点（除了根节点），同时把出现的次数都改为该元素所对应节点的次数。挖掘出结果后，先剔除掉不满足支持度要求的项，再通过两两组合挖掘出频繁2项集，然后递归挖掘出频繁多项集。同时两两组合算出条件概率与置信度比较，挖掘出1对1的关联规则。

这里涉及到的操作最为复杂，代码量也最大，分了三个方法来实现。

# 详见附录
def find(self):
def cal(self, Dict: dict, delete=False, length=1):
def rules(self, Dict: dict):

四、测试结果

写完代码后，就又到了测试环节。分别测试正确性和性能。在测试性能的时候也会与Apriori算法做比较，以更好地感受到FP-Tree算法的高效性。

首先验证正确性。我使用了教材上的数据集来验证。

先给定0.5的支持度和0.75的置信度：

经过验证是正确的，再给定0.2的支持度和0.5的置信度：

可以看到输出结果大大增加，经过验证也是正确的。

接下来就要扩大数据集的容量了，这样才能分析算法的性能。这里再次使用随机变量来模拟大量的数据：

在这里，arr和data2都可以修改，arr可以修改其中的元素来改变权重，data2可以修改数量，这里统一使用0.5作为支持度，0.75作为置信度。

首先用100000的数据来测试：

可以看到，一共花了0.288秒。相比其他条件相同下的Apriori算法是1.7秒。

然后把数据量变为1000000来试试：

一共花了2.845秒，相比同期Apriori算法一共花了15.58秒。

然后把数据量变为10000000来试试：

一共花了28.054秒，相比同期Apriori算法一共花了171.1秒。

最后再把数据量变为一亿，下图是最终结果。

差不多跑了8分钟，同期Apriori算法半个小时也没跑出来。可以看出，两个算法所耗费的时间都随时间呈线性增长，但FP-Tree算法显然效率比Apriori算法高得多。

五、分析与探讨

测试完算法后，来分析它的性能，思考FP-Tree算法的优势和缺陷。与Apriori算法相比，FP-Tree算法改进了Apriori算法的I/O瓶颈，巧妙的利用了树结构。Apriori的核心思路是用两个长度为l的频繁项集去构建长度为l+1的频繁项集，而FP-growth则稍有不同。它是将一个长度为l的频繁项集作为前提，筛选出包含这个频繁项集的数据集。用这个数据集构建新的FP-tree，从这个FP-tree当中寻找新的频繁项。如果能找到，那么说明它可以和长度为l的频繁项集构成长度为l+1的频繁项集。然后，我们就重复这个过程。

FP-Tree算法无论从复杂度还是实现难度还是具体技术点来看都比Apriori算法更复杂，但复杂度提高此带来的好处则是更高的效率和更好的性能。二者均为频繁模式挖掘的经典算法，都有必要学习和掌握，期待未来还能不断开发出挖掘频繁模式更加高效的算法。

附录：源代码

# 使用FP-tree实现频繁模式和关联规则挖掘
import itertools
import random
from time import time


# 构建树的节点
class Node:
    def __init__(self, value, parent, count=0):
        self.value = value
        self.parent = parent
        self.count = count
        self.children = {}

    def addChild(self, child):
        self.children.update(child)


# 构建FP-tree
class FP_tree:
    def __init__(self, data, support, confidence):
        self.data = data
        self.first_list = []
        self.value_list = []
        self.support = support
        self.confidence = confidence
        self.tree = None
        self.pinfan = []
        self.rule = []

    def first_scan(self):
        """
        生成项头表，整理数据
        """
        Dict = dict()
        for i in self.data.values():
            for j in i:
                if j not in Dict.keys():
                    Dict.update({j: 1})
                else:
                    Dict[j] += 1
        self.first_list = list(Dict.items())
        self.first_list.sort(key=lambda l: l[1], reverse=True)
        for i in range(len(self.first_list) - 1, 0, -1):
            if self.first_list[i][1] < self.support * len(self.data):
                continue
            else:
                rubbish = [self.first_list[j][0] for j in range(i + 1, len(self.first_list))]
                self.first_list = self.first_list[:i + 1]
                break

        # 将原来的数据重新按支持度排序并剔除非频繁1项集
        sort_refer = [i[0] for i in self.first_list]
        for i in self.data.values():
            for j in i:
                if j in rubbish:
                    i.remove(j)
            i.sort(key=lambda l: sort_refer.index(l))

        # 添加频繁1项集
        self.pinfan.extend([list(i) for i in self.first_list])

        # 整理项头表
        self.value_list = [i[0] for i in self.first_list]
        temp = {}
        for i in self.first_list:
            temp.update({i[0]: []})
        self.first_list = temp

    def build_tree(self):
        """
        建立FP-tree
        :return:fp-tree
        """
        root = Node('root', None)
        parent = root
        for i in self.data.values():
            for j in i:
                # 更新树和项头表
                head = self.first_list
                if j not in parent.children.keys():
                    node = Node(j, parent, 1)
                    temp = {j: node}
                    parent.addChild(temp)
                    head[j].append(node)
                else:
                    parent.children[j].count += 1
                parent = parent.children[j]
            parent = root
        self.tree = root

    def find(self):
        """
        利用建立好的树挖掘频繁模式
        """
        for i in self.value_list[::-1]:
            i_dict = {}
            for j in self.first_list[i]:
                k = j
                count = j.count
                while k != None:
                    if k.value not in i_dict.keys():
                        i_dict[k.value] = count
                    else:
                        i_dict[k.value] += count
                    k = k.parent
            del i_dict['root']
            self.cal(i_dict, True)

    def cal(self, Dict: dict, delete=False, length=1):
        if delete:
            # 预处理，删去支持度低的项
            d = Dict.copy()
            for i, j in d.items():
                if j < self.support * len(self.data):
                    del Dict[i]
        if length == 1:
            self.rules(Dict)
        # 递归挖掘频繁模式
        if length <= len(Dict):
            l = list(Dict.keys())
            pinfan = [l[0], Dict[l[0]]]
            del l[0]
            result = itertools.combinations(l, length)
            for i in result:
                p = pinfan.copy()
                for j in i:
                    p.insert(-1, j)
                    if Dict[j] < p[-1]:
                        p[-1] = Dict[j]
                p[0:-1] = p[-2::-1]
                self.pinfan.append(p)
            self.cal(Dict, length=length + 1)

    def rules(self, Dict: dict):
        """
        只生成1对1的关联规则
        :param Dict:数据源
        """
        if len(Dict) > 1:
            l = list(Dict.keys())
            for i in l[1:]:
                if min(Dict[l[0]], Dict[i]) / Dict[l[0]] > self.confidence:
                    self.rule.append(f"{l[0]}=>{i}")

    def __str__(self):
        """
        输出频繁模式
        :return: 所有的频繁模式
        """
        print("1对1的关联规则：" + str(self.rule))
        self.pinfan.sort(key=lambda l: (len(l), l[-1]), reverse=True)
        return "所有的频繁模式：" + str(self.pinfan)


if __name__ == '__main__':
    data = {1: ['牛奶', '鸡蛋', '面包', '薯片'],
            2: ['鸡蛋', '爆米花', '薯片', '啤酒'],
            3: ['牛奶', '面包', '啤酒'],
            4: ['牛奶', '鸡蛋', '面包', '爆米花', '薯片', '啤酒'],
            5: ['鸡蛋', '面包', '薯片'],
            6: ['鸡蛋', '面包', '啤酒'],
            7: ['牛奶', '面包', '薯片'],
            8: ['牛奶', '鸡蛋', '面包', '黄油', '薯片'],
            9: ['牛奶', '鸡蛋', '黄油', '薯片'],
            10: ['鸡蛋', '薯片']}
    arr = ['牛奶', '面包', '鸡蛋', '馒头', '包子', '饼干']
    support = float(input('请输入最小支持度：'))
    confidence = float(input('请输入最小置信度：'))
    data2 = {i: [random.choice(arr) for j in range(10)] for i in range(100000)}
    begin = time()
    f = FP_tree(data2, support, confidence)
    f.first_scan()
    f.build_tree()
    f.find()
    print(f)
    print("总花费时间为%.3f秒" % (time() - begin))