爱上数据结构：二叉树

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一、二叉树的顺序结构及实现

1.二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。
在这里插入图片描述

2.堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

​在这里插入图片描述
1.下列关键字序列为堆的是：（A）
A 100,60,70,50,32,65
B 60,70,65,50,32,100
C 65,100,70,32,50,60
D 70,65,100,32,50,60
E 32,50,100,70,65,60
F 50,100,70,65,60,32

2.已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次
数是（C）。
A 1
B 2
C 3
D 4
3.一组记录排序码为(5 11 7 2 3 17),则利用堆排序方法建立的初始堆为©
A(11 5 7 2 3 17)
B(11 5 7 2 17 3)
C(17 11 7 2 3 5)
D(17 11 7 5 3 2)
E(17 7 11 3 5 2)
F(17 7 11 3 2 5)
4.最小堆[0,3,2,5,7,4,6,8],在删除堆顶元素0之后，其结果是（C）
A[3，2，5，7，4，6，8]
B[2，3，5，7，4，6，8]
C[2，3，4，5，7，8，6]
D[2，3，4，5，6，7，8]

3.堆的实现

1.堆向上调整算法

parent=(child-1)/2;
leftchild=(parent2)+1;
rightchild=(parent2)+2;
向上调整建堆是O(N*logN)

void Swap(HPDataType *px, HPDataType *py) {
 	HPDataType tmp = *px;
	*px = *py;
	*py = tmp;
}
void AdjustUp(HPDataType *a, int child) {
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0) {
		if (a[child] < a[parent]) {
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else {
			break;
		}
	}
}

//建堆时间复杂度O（N*logN）
for(int i=1;i<php->size;i++){
	AdjustUp(php->a,i);
}

2.向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整
成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。
parent=(child-1)/2;
leftchild=(parent2)+1;
rightchild=(parent2)+2;

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

在这里插入图片描述

void AdjustDown(HPDataType* a,int n, int parent){
	int child=parent*2+1;
	while(child<n){
		if(child + 1 < n &&a[child+1] < a[child]){
			child++;
		}
		if(a[child]<a[parent]){
			Swap(&a[child],&a[parent]);
			parent=child;
			child=parent*2+1;
		}
		else{
			break;
		}
	}
}

//建堆时间复杂度O（N）
for(int i=1;i<php->size;i++){
	AdjustDown(php->a,i);
}

通过时间复杂度来看，向下调整算法要优于向上调整。所以我们正常在建堆时一般使用向下调整。

3.堆的建立

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

在这里插入图片描述

4.建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的
就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

向上调整建堆
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
向下调整算法建堆的时间复杂度为O(N)。

5. 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。
在这里插入图片描述

void HPPush(HP* php, HPDataType x) {
	assert(php);
	if (php->size == php->capacity) {
		size_t newcapcity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = realloc(php->a, sizeof(HPDataType)* newcapcity);
		if (tmp == NULL) {
			perror("realloc fail");
			return;
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity = newcapcity;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

6.堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。
在这里插入图片描述

void HPPop(HP* php) {
	assert(php);
	assert(php->size>0);
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

7.堆的实现

//Heap.h
#pragma once
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap {
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;
void HPInit(HP* php);
void HPDestroy(HP* php);
void HPPush(HP* php, HPDataType x);
HPDataType HPTop(HP* php);
void HPPop(HP* php);
bool HPEmpty(HP* php);
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);
void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py);

//Heap.c
#include "Heap.h"
void HPInit(HP* php) {
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}
void HPDestroy(HP* php) {
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}
void Swap(HPDataType *px, HPDataType *py) {
 	HPDataType tmp = *px;
	*px = *py;
	*py = tmp;
}
void AdjustUp(HPDataType *a, int child) {//O(N*log N)
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0) {
		if (a[child] < a[parent]) {
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else {
			break;
		}
	}
}
void HPPush(HP* php, HPDataType x) {
	assert(php);
	if (php->size == php->capacity) {
		size_t newcapcity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = realloc(php->a, sizeof(HPDataType)* newcapcity);
		if (tmp == NULL) {
			perror("realloc fail");
			return;
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity = newcapcity;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
HPDataType HPTop(HP* php) {
	assert(php);
	return php->a[0];
}
void AdjustDown(HPDataType* a,int n, int parent) {
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n) {
		//假设法找出最小的孩子
		if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]) {
			++child;
		}
		if (a[child] > a[parent]) {
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else {
			break;
		}
	}
}
void HPPop(HP* php) {
	assert(php);
	assert(php->size>0);
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
bool HPEmpty(HP* php) {
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

8.堆的应用

1.堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序

1.建堆 升序建大堆，降序建小堆
2.利用向下排序建堆
在这里插入图片描述

2.top-k问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大

  1. 用数据集合中前K个元素来建堆 前k个最大的元素，则建小堆 前k个最小的元素，则建大堆
  2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素，将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
void TopK() {
	printf("请输入k：>");
	int k = 0;
	scanf("%d", &k);
	const char* file = "data.txt";
	FILE* fout = fopen(file, "r");
	if (fout == NULL) {
		perror("fopen error");
		return;
	}
	int val = 0;
	int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	if (minheap == NULL) {
		perror("malloc fail");
		return;
	}
	for (int i = 0; i < k; i++) {
		fscanf(fout, "%d", &minheap[i]);
	}
	for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) {
		AdjustDown(minheap, k, i);
	}
	int x = 0;
	while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF) {
		if (x > minheap[0]) {
			minheap[0] = x;
			AdjustDown(minheap, k, 0);
		}
	}
	for (int i = 0; i < k; i++) {
		printf("%d ", minheap[i]);
	}
	fclose(fout);
}

感谢观看！！

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