一.概述

最大公约数（GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）

在C++中，可以使用 std::__gcd(a, b)来计算最大公约数

 1.欧几里德算法/辗转相除法

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b, a%b):a;
}

2.lcm

int lcm(int a,int b){
    return a/gcd(a, b)*b;
}

3.gcd的性质

1. gcd(a, b) = gcd(a, a+b) = gcd(a, k·a+b)
2. gcd(ka, kb) = k·gcd(a, b)
3. 多个整数的最大公约数：gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)。
4. 若gcd(a, b) = d，则gcd(a/d, b/d) = 1，即a/d与b/d互素。这个定理很重要。
5. gcd(a+cb, b) = gcd(a, b)
6. 裴蜀定理：如果两个整数的最大公约数是d， 那么方程ax+by=d一定有解。

二.实战演练

1.等差数列

题目描述：

分析：

把n个数据排序，计算它们的间隔，对所有间隔做GCD，结果为公差。最少数量等于：（最大值-最小值）/公差+1。

代码实现：

//等差数列
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=1e5;

long long n,a[N],gcdd=0;

long long gcd(long long a,long long b){
    return b?gcd(b, a%b):a;
}


int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(long long i=0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    
    sort(a, a+n);
    //0和任意一个数x的最大公约数是x
    for(long long i=1;i<n;i++){
        gcdd=gcd(gcdd, a[i]-a[i-1]);
    }
    if(gcdd==0){
        cout<<n<<'\n';
    }
    else
        cout<<(a[n-1]-a[0])/gcdd+1<<'\n';
    return 0;
}

2.Hankson的趣味题

题目描述：

 分析：

其实就是暴力，但是因为需要枚举的区间太大了，所以需要剪枝优化。

从1开始枚举到b1，但是这样枚举的空间就太大了，所以需要优化。

如果这个数能够被b1整除，那么才需要去接着进行判断。

另外一个就是通过分解因子，x*y=b1。

代码实现：

//Hankson的趣味题
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

long long gcd(long long a,long long b){
    return b?gcd(b, a%b):a;
}

long long lcm(long long a,long long b){
    return a/gcd(a, b)*b;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int n;
    cin>>n;
    while(n--){
        long long a1,a0,b1,b0;
        cin>>a0>>a1>>b0>>b1;
        int ans=0;
        for(long long i=1;i<=sqrt((double)b1);i++){
            if(b1%i==0){
                if(gcd(i,a0)==a1&&lcm(i,b0)==b1){
                    ans++;
                }
                long long y=b1/i;
                if(y==i){
                    continue;
                }
                else{
                    if(gcd(y, a0)==a1&&lcm(y,b0)==b1){
                        ans++;
                    }
                }
            }
        }
        cout<<ans<<'\n';
    }
    return 0;
}

3.最大比例

题目描述：

 问题分析：

对于该题，将输入进来的数据先排序。

我们可能会想，能不能用xn/xn-1来获得这个比值呢？也就是说依次的去做除法，然后找到这些倍数的最大公约数。

这个题最烦人的点在于，输出是一个分数，那我们就不得不分别的去处理分子与分母了。

可以分别去找分子和分母的最大公约数。

这个比值的获取，可以通过xn/xn-1，也可以通过xn/x0.

代码实现：

//最大比例
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=105;

long long x[N],a[N],b[N];
int n;
//此函数是用来求 a^{n1} a^{n2} 中的a的
long long gcd_sub(long long a,long long b){
    if(a<b){
        swap(a, b);
    }
    if(b==1)
        return a;
    return gcd_sub(b, a/b);
}

long long gcd(long long a,long long b){
    return b?gcd(b, a%b):a;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    long long cnt=0;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>x[i];
    }
    //排序
    sort(x,x+n);
    for(int i=1;i<n;i++){//获取分子和分母
        long long d=gcd(x[i], x[0]);
        a[cnt]=x[i]/d;
        b[cnt]=x[0]/d;
        cnt++;
    }
    
    long long up=a[0],down=b[0];
    for(int i=1;i<cnt;i++){
        up=gcd_sub(a[i], up);
        down=gcd_sub(b[i], down);
    }
    cout<<up<<'/'<<down<<'\n';
    return 0;
}