前言

本篇主要内容包括：正则表达式、非确定有限状态自动机 NFA。

建议在学习本篇之前先行学习或回顾上一篇子字符串查找的内容。

参考目录

• B站 普林斯顿大学《Algorithms》视频课
  （请自行搜索。主要以该视频课顺序来进行笔记整理，课程讲述的教授本人是该书原版作者之一 Robert Sedgewick。）
• 微信读书《算法（第4版）》
  （本文主要内容来自《5.4 正则表达式》）
• 官方网站
  （有书本配套的内容以及代码）

学习笔记

注1：下面引用内容如无注明出处，均是书中摘录。
注2：所有 demo 演示均为视频 PPT demo 截图。
注3：如果 PPT 截图中没有翻译，会在下面进行汉化翻译，因为内容比较多，本文不再一一说明。

1：正则表达式

1.1：表示

对应书本章节：《5.4.1 使用正则表达式描述模式》

• 5.4.1.1 连接操作
• 5.4.1.2 或操作
• 5.4.1.3 闭包操作
• 5.4.1.4 括号

1.2：快捷表示

对应书本章节：《5.4.2 缩略写法》

• 5.4.2.1 字符集描述符
• 5.4.2.2 闭包的简写
• 5.4.2.3 转义序列

2：正则表达式与非确定有限状态自动机 REs and NFAs

2.1：二元性

RE（正则表达式）： 简洁描述一组字符串的方法。
DFA（确定有限状态自动机）： 一种机器，用于判断给定的字符串是否属于预定义的字符串集合。

克林宁定理（Kleene’s theorem）：

• 对于任何确定有限状态自动机（DFA），都存在一个能够描述相同字符串集合的正则表达式（RE）。
• 对于任何正则表达式（RE），都存在一个能够识别相同字符串集合的确定有限状态自动机（DFA）。

2.2：模式匹配实现

类似于 KMP 算法：

• 不需要文本输入流回溯。
• 确保二次时间复杂度（通常为线性时间）。

基础抽象概念： 非确定有限状态自动机（NFA）。

基本策略：[应用克林宁定理]

• 从正则表达式构建 NFA。
• 使用文本作为输入模拟 NFA。

2.3：非确定有限状态自动机 Nondeterministic finite-state automata

对应书本章节：《5.4.4 非确定有限状态自动机》。

也有可能进入错误状态并停滞：

2.4：非确定性

Q. 如何确定一个字符串是否被自动机所匹配？
DFA（确定有限状态自动机）： 判定较为简单，因为对于每个状态和输入字符，恰好有一个适用的转换。
NFA（非确定有限状态自动机）： 可能存在多个适用的转换；需要正确选择其中一个！

Q. 如何模拟 NFA？
A. 系统地考虑所有可能的转换序列来进行模拟。

3：NFA 模拟

3.1：demo 演示

该 demo 建议多观看几遍视频理解操作步骤。

3.2：Java 实现

edu.princeton.cs.algs4.NFA

edu.princeton.cs.algs4.NFA#NFA

/**
     * Initializes the NFA from the specified regular expression.
     *
     * @param  regexp the regular expression
     */
    public NFA(String regexp) {
        this.regexp = regexp;
        m = regexp.length();
        Stack<Integer> ops = new Stack<Integer>();
        graph = new Digraph(m+1);
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int lp = i;
            if (regexp.charAt(i) == '(' || regexp.charAt(i) == '|')
                ops.push(i);
            else if (regexp.charAt(i) == ')') {
                int or = ops.pop();

                // 2-way or operator
                if (regexp.charAt(or) == '|') {
                    lp = ops.pop();
                    graph.addEdge(lp, or+1);
                    graph.addEdge(or, i);
                }
                else if (regexp.charAt(or) == '(')
                    lp = or;
                else assert false;
            }

            // closure operator (uses 1-character lookahead)
            if (i < m-1 && regexp.charAt(i+1) == '*') {
                graph.addEdge(lp, i+1);
                graph.addEdge(i+1, lp);
            }
            if (regexp.charAt(i) == '(' || regexp.charAt(i) == '*' || regexp.charAt(i) == ')')
                graph.addEdge(i, i+1);
        }
        if (ops.size() != 0)
            throw new IllegalArgumentException("Invalid regular expression");
    }

edu.princeton.cs.algs4.NFA#recognizes

/**
     * Returns true if the text is matched by the regular expression.
     *
     * @param  txt the text
     * @return {@code true} if the text is matched by the regular expression,
     *         {@code false} otherwise
     */
    public boolean recognizes(String txt) {
        DirectedDFS dfs = new DirectedDFS(graph, 0);
        Bag<Integer> pc = new Bag<Integer>();
        for (int v = 0; v < graph.V(); v++)
            if (dfs.marked(v)) pc.add(v);

        // Compute possible NFA states for txt[i+1]
        for (int i = 0; i < txt.length(); i++) {
            if (txt.charAt(i) == '*' || txt.charAt(i) == '|' || txt.charAt(i) == '(' || txt.charAt(i) == ')')
                throw new IllegalArgumentException("text contains the metacharacter '" + txt.charAt(i) + "'");

            Bag<Integer> match = new Bag<Integer>();
            for (int v : pc) {
                if (v == m) continue;
                if ((regexp.charAt(v) == txt.charAt(i)) || regexp.charAt(v) == '.')
                    match.add(v+1);
            }
            if (match.isEmpty()) continue;

            dfs = new DirectedDFS(graph, match);
            pc = new Bag<Integer>();
            for (int v = 0; v < graph.V(); v++)
                if (dfs.marked(v)) pc.add(v);

            // optimization if no states reachable
            if (pc.size() == 0) return false;
        }

        // check for accept state
        for (int v : pc)
            if (v == m) return true;
        return false;
    }

3.3：分析

对应书本命题 Q：

4：NFA 构造

4.1：构造与正则表达式对应的 NFA

状态： 为正规表达式（RE）中的每个符号创建一个状态，同时添加一个接受状态。

连接操作： 从字母表中字符对应的当前状态添加匹配转换边至下一个状态。

括号： 从括号所在的状态添加一条 ε - 转换边至下一个状态。

闭包操作： 对于每一个运算符，添加三条 ε - 转换边。

或表达式： 对于每一个 |（逻辑或）操作符，添加两条 ε - 转换边。

4.2：实现

目标： 编写一个程序来构建 ε - 转换有向图。

挑战： 记忆左括号以实现闭包和逻辑或；记忆逻辑或符号 | 以实现逻辑或操作。

解决方案： 维护一个栈结构。

• 遇到 ( 符号时：将 ( 入栈。
• 遇到 | 符号时：将 | 入栈。
• 遇到 ) 符号时：弹出与之配对的 ( 及其间的所有 | 符号；然后根据闭包和逻辑或的规则，添加相应的 ε - 转换边。

4.3：demo 演示

4.4：Java 实现

4.5：分析

对应书本命题 R：

5：非正则表达式

反向引用：

• \1 表示法用于匹配先前已匹配到的子表达式。
• 这一特性在典型的正则表达式实现中得到支持。

某些非正则表达式的例子：

• 形如 ww 的字符串，其中 w 是任意字符串，例如 beriberi。
• 包含复合数量 1 的单字符字符串，例如 111111。
• 含有相同数量 0 和 1 的二进制字符串，例如 01110100。
• Watson-Crick 互补的回文串，例如 atttcggaaat。

注解： 使用反向引用进行模式匹配的问题属于难解问题（不可行或计算复杂度较高）。

6：背景

抽象机、语言及非确定性概念：

• 是计算理论的基础。
• 自20世纪30年代以来就被深入研究。
• 是现代编程语言的基础。

编译器：

• 编译器是一种程序，负责将源程序翻译成机器码。
• KMP 算法处理的字符串模式可以转换为确定有限自动机（DFA）。
• grep 工具使用的正则表达式可以转换为非确定有限自动机（NFA）。
• javac 编译器将 Java 语言源代码编译为 Java 字节码。

7：小结

程序员：

• 通过 DFA 模拟实现子串搜索功能。
• 通过 NFA 模拟实现正则表达式模式匹配。

理论学者：

• 正则表达式是描述一组字符串的紧凑表示方法。
• NFA 是非确定性抽象机，其功能等价于正则表达式。
• DFA、NFA 以及正则表达式都有其局限性。

你： 实际应用计算机科学的核心原理。

举例说明计算机科学中的关键范例：

• 构建中间抽象层。
• 挑选恰当的抽象模型！
• 解决重要的实际问题。

（完）