1 逻辑回归概述

逻辑回归（Logistic Regression）是一种用于分类问题的统计学习方法。它基于线性回归的原理，通过将线性函数的输出值映射到[0,1]区间上的概率值，从而进行分类。

逻辑回归的输入是一组特征变量，它通过计算每个特征与对应系数的乘积，加上截距项得到线性函数，然后将该函数的输出值经过sigmoid函数的映射，得到概率值。

逻辑回归常用于二分类问题，即将样本分为两类，如判断一封邮件是否为垃圾邮件。逻辑回归还可以扩展到多分类问题，如将样本分为三类或更多类别。

逻辑回归具有简单、高效、易于理解等优点，在实际应用中被广泛使用，如金融风控、医学诊断、推荐系统等领域。

2 逻辑回归公式推导与求解

2.1 公式推导

$$P(y=1|x)=\frac{1}{1+e^{-({\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...+{\beta }_p{x}_p)}}$$
逻辑回归的公式大家可能很熟悉，但并不知道推导过程，事实上这一推导过程也十分简单。

给定输入特征 $\mathbf{x}$，逻辑回归模型的输出 $y$ 可以表示为：

$$y=P(y=1|\mathbf{x})=\sigma ({\mathbf{w}}^T\mathbf{x})$$

其中，$\sigma (z)$ 表示 sigmoid 函数，定义为：$\sigma (z)=1/(1+e^{-z})$。这一函数在之后的深度学习中也会经常用到。

至于什么使用sigmoid函数，原因也很简单，很多教材都把这个重要的思考环节忽略了，博主在此进行补充。
我们希望找到一个函数的值域在[0，1]的函数，但是这种函数并不容易找到，线性回归使用的公式$y=\theta x$的值域是（-∞，+∞）。因此，我们引入了odds（几率）的概念。$$odds=\frac{P}{1-P}$$odds的取值为(0,+∞)，而对于log函数，其定义域刚好为(0,+∞)，值域为（-∞，+∞）。因此，我们便可以构造一个函数$$\log (\frac{P}{1-P})=\theta x$$对P进行求解，即得到了逻辑回归的基本形式$$P=\frac{1}{1+e^{-x}}$$也就是我们所常说的sigmoid函数。

2.2公式求解

为了方便推导，我们假设训练数据集包含 $m$ 个样本，每个样本有 $n$ 个特征，即 $\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，标签为 y ∈ { 0 , 1 } m y \in \{0, 1\}^m y∈{0,1}m。为了构建模型，我们需要使用训练数据集求解模型参数 $\mathbf{w}$。

我们使用最大似然估计来求解模型参数。最大似然估计的目标是找到一组模型参数 $\mathbf{w}$，使得训练数据集出现的概率最大。设训练数据集中的第 $i$ 个样本的输入特征为 ${\mathbf{x}}_i$，输出为 $y_i$，其概率表示为：

$$P(y_i|{\mathbf{x}}_i;\mathbf{w})=\sigma ({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i{)}^{y_i}(1-\sigma ({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i){)}^{1-y_i}$$

训练数据集的概率可以表示为：

$$P(y|\mathbf{X};\mathbf{w})=\prod _{i}P(y_i|{\mathbf{x}}_i;\mathbf{w})=\prod _i\sigma ({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i{)}^{y_i}(1-\sigma ({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i){)}^{1-y_i}$$

对数似然函数为：

$$L(\mathbf{w})=\log P(y|\mathbf{X};\mathbf{w})=\sum _i[y_i\log (\sigma ({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i))+(1-y_i)\log (1-\sigma ({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i))]$$

我们的目标是最大化对数似然函数 $L(\mathbf{w})$。使用梯度上升算法来求解最优参数 $\mathbf{w}$。对 $L(\mathbf{w})$ 求导，得到： $$\frac{\partial L(\mathbf{w})}{\partial \mathbf{w}}=\sum _i(\sigma ({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i)-y_i){\mathbf{x}}_i$$ 使用梯度上升算法，每次更新 $\mathbf{w}$ 的值为： $$\mathbf{w}\leftarrow \mathbf{w}+\alpha \sum _i(\sigma ({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i)-y_i){\mathbf{x}}_i$$ 其中，$\alpha$ 是学习率。

3 基于Python的实现

3.1可接收参数

在Python中，使用Scikit-learn库中的LogisticRegression类可以创建逻辑回归模型。

下面是LogisticRegression类的主要参数和方法：

参数：

• penalty: 惩罚项，可以是‘l1’、‘l2’、‘elasticnet’、‘none’中的一种，默认为‘l2’。
• C: 正则化系数，用于控制模型的复杂度，C值越小，模型越简单，默认为1.0。
• solver: 用于优化问题的算法，可以是‘newton-cg’、‘lbfgs’、‘liblinear’、‘sag’、‘saga’中的一种，默认为‘lbfgs’。
• max_iter: 最大迭代次数，用于控制优化算法的迭代次数，默认为100

3.2 完整代码示例

我们使用sklearn自带的威斯康辛州乳腺癌数据集，进行模型的训练和预测。

1. 首先导入sklearn等必要的包与数据：

import pandas as pd  
from sklearn.datasets import load_breast_cancer  
from sklearn.linear_model import LogisticRegression  
from sklearn.model_selection import train_test_split  
import matplotlib.pyplot as plt  
import matplotlib as mpl  
  
## 设置字符集，防止中文乱码  
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'simHei']  
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  
  
# 加载数据集  
data = load_breast_cancer()  
# 转换为DataFrame  
df = pd.DataFrame(data.data, columns=data.feature_names)  
df['target'] = pd.Series(data.target)

此处skearn自带的数据已经是清洗后的版本，如果使用的是原始威斯康辛州乳腺癌数据集或者其他个人数据集，需要对数据进行查看、清洗与特征初筛。比如特征集可能包含患者的身份ID等无用信息，将此类信息直接删除即可。

同时可以使用常用的函数查看数据集状态，比如

# 检测非数据类型与缺失值  
print(df.info())
# 检查异常值  
print(df.describe())

这里官方的数据运行结果如下，可以看到已经不需要做什么修改了。其输出如下：

如果Type中出现object，通常意味着这一类的某一行存在非数值类型，此时可以使用

df['A'] = pd.to_numeric(df['A'], errors='coerce').astype(float)

这段函数可以将df的A列转为float类型，并将不能转换的数值变为空值。之后与其他缺失值共同使用dropna删除即可。
2. 模型建立与拟合

# 分割数据集  
X = df.drop('target', axis=1)  
y = df['target']  
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.1)  
  
# 创建逻辑回归模型  
clf = LogisticRegression(max_iter=100)  
  
# 拟合模型  
clf.fit(X_train, y_train)

建立模型时，通常不用修改超参数，也可根据数据集的实际特点或拟合后的一些警告（比如函数最终没有收敛）进行超参数的调整。
3. 模型预测与绘图

# 预测  
y_pred = clf.predict(X_test)  
  
# 评估  
accuracy = clf.score(X_test, y_test)  
  
print("预测结果:", y_pred)  
print("准确率:", accuracy)  
  
plt.plot(range(len(X_test)), y_test, 'ro', markersize=4, zorder=3, label=u'真实值')  
plt.plot(range(len(X_test)), y_pred, 'go', markersize=10, zorder=2, label=u'预测值')  
plt.legend()  
plt.show()

从图片上可以看出，红色圈与绿色圈同时出现的点为预测正确的数据，二者单独出现的点位为预测错误的数据。此处对预测结果的判断，是基于概率大于0.5和小于0.5来分割的。如果我们想达到当大于0.8的概率为0才视为0时（降低漏诊概率），可以使用下面的方法。

4. 自定义阈值

print(clf.predict_proba(X_test)[:,0]>0.8)

clf.predict_proba(X_test)用于输出不同类别的概率，其输出型输入下：

如果想要获取分类为0的可能性大于0.8的数据，提取粗该列的数值加以判断即可。

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