Acwing-3418 杨辉三角形

关于杨辉三角形的一些规律（更详细地去看参考）：

下面这些图都来自其他人所做图片

因为杨辉三角形是对称的，并且与二项式有关：

将左半部分(左半部分的编号肯定比右半部分小，不考虑右半部分）一个斜行，一个斜行地去看，会发现同一斜行中，越往左下，数越大，同一行中，越往右数越大。所以从最里面的斜行往外找，比如要找20（第一次出现在第3斜行的开头，位置在第6行（都从第0算起）），则其他斜行中要出现20，那编号一定比第3斜行的编号大。

而对称轴，即每个斜行开头（右上角）的数字的规律是：比如第K斜行，则为 $C_{2k}^{k}$ 。

而每个斜行末尾的数字规律是：比如第k斜行，则为 $C_{n}^{k}$ ，为什么会有出现n呢？因为第n行的第1个（从第0开始算）数字必定是n，且该数在第n行为最后一次出现。并且第k斜行中，每个数都是所在行的第k个位置。

题目：

我的代码：

关于组合函数为何这样写，看这里：排列函数与组合函数-CSDN博客

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
long long n;
long long CC(int a, int b)
{			//组合数公式 a为C的下标，b为C的上标：C=a!/((a-b)!*b!)
	long long  result = 1;
	for (int i = a, j = 1; j <= b; i--, j++)
	{
		result = result * i / j;
		if (result > n)	return result;	//当该组合数还没有算完就发现已经大于n，则在往下算已经没有意义。直接跳出
	}
	return result;
}
bool check(int k)
{
	//利用二分查找，去找等于n的数
	long long L = k * 2;		//每个斜行的下届（开头）是2k,
	long long R = n;			//每个斜行的上界（末尾）是n，也就是第n行，因为第n行的第2个数必定会出现n
	if (L > R)	return false;	//因为n肯定会在第n行出现且最后一次出现，而第k斜行的开头数所在的行数为2k，
							//如果斜行开头数所在行数比第n行还大，则肯定无法在该第2k行找到等于n的数
	while (L < R)      //这里的条件得是<，等循环结束时，R=L，在后续的if语句判断相不相等
	{
		long long mid = L + R >> 1;		//将L+R的数右移1位，相当于(L+R)/2;
		if (CC(mid, k) >= n)	R = mid;   //如果在mid中点找到，则R会一直为该次的mid位置，只剩下L在移动
		else L = mid + 1;
	}
	if (CC(R, k) != n)	return false;		//等二分结束发现不等于，则返回0

	cout << R * (R + 1) / 2 + k + 1 << endl;	//第R行前面有R行，数字之和为等差数列(1+2+3+...)，在第R行中，第k位置数字是改行从0开始算，所以k+1
	return true;

}
int main()
{

	cin >> n;
	for (int k = 16; ; k--)
	{
		if (check(k))			//如果找到后则跳出for循环
			break;
	}
	return 0;
}

二分查找的另一种写法：

bool check(int k)
{
	//利用二分查找，去找等于n的数
	long long L = k * 2;		//每个斜行的下届（开头）是2k,
	long long R = n;			//每个斜行的上界（末尾）是n，也就是第n行，因为第n行的第2个数必定会出现n
	if (L > R)	return false;	//因为n肯定会在第n行出现且最后一次出现，而第k斜行的开头数所在的行数为2k，
	//如果斜行开头数所在行数比第n行还大，则肯定无法在该第2k行找到等于n的数
	while (L <= R)		//这里的条件得是<=，因为最后一次循环时，R=L。要去看该位置是否为要找的。
	{
		long long mid = L + R >> 1;		//将L+R的数右移1位，相当于(L+R)/2;
		if (CC(mid, k) == n)
		{
			cout << mid * (mid + 1) / 2 + k + 1 << endl;	//第mid行前面有R行，数字之和为等差数列(1+2+3+...)，在第mid行中，第k位置数字是改行从0开始算，所以k+1
			return true;
		}
		if (CC(mid, k) > n)	R = mid-1;			
		else L = mid + 1;
	}
	return false;		//等二分结束发现不等于，则返回0

}