P3805 【模板】manacher - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

“没时间悼念KMP了，接下来上场的是Manacher！”

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什么是Manacher?

历史背景：

1975 年，一个叫 Manacher 的人发明了这个算法，所以叫Manacher 算法（中文名：马拉车算法）

应用背景：

现在有个字符串A，你需要找到该字符串中最长的回文字串，输出其长度。

回文串是正着读反着读都是一样的，例如：101，aba，tnt。

Manacher算法思路：

Manacher第一步修改原字符串。

我们认定一个字符串是否为回文串，都会先找这个字符串的中心，然后向两边扩散进行字符对比。比如aba这个字符串，我们要判断它是否为回文串，就可以先找到中心位置b，然后再向两边扩散比较，b左边的字符是不是等于b右边的字符，如果都一致，那么该字符串就是回文串。

当然，聪明的你一定发现了一个问题，如果该字符串是abba这种偶数长度的字符串呢？这个时候我们就可以把偶数长度的字符串变为奇数长度的字符串，向原字符串插入一个原字符串不会出现的字符，比如，"$"。那么对于abba而言插入后的字符串就变成了$a$b$b$a$。然后我们就可以套用判断奇字符串是否是回文串的思想，来对这个进行判断了。

插入相同字符后的字符串如果是回文串，那么没有插入相同字符的字符串也是回文串，可自行验证。

所以Mannacher的第一步就是在原来的字符串的基础上，插入一个原字符串不会出现的字符。

Manacher第二步回文范围[L,R]，回文中心W。

约定p数组放的是回文半径，则p[i]存放的是以i为回文中心的回文半径。

如图，在字符串(黑色框)中有一回文子串(蓝色框)，范围为[L, R]，其中M为该回文串的中心，现在我们欲求以i为回文中心的回文半径r。就要先分两种大情况。

第一种是i在[L, R]区间里，我们就可以先找i相当于M的对称点K，因为i是在K之后的所以K的回文半径是已知的，那么当K的回文区域不包含L，即K-p[K]+1>L时，p[i] = p[k] =[2*M-i]。当K的回文区域包含L时，即K-p[K]+1<=L时，p[i] = R-i+1。

第二种是i在[L, R]区间外面的，我们就只能暴力向两边扩散比较，求得它的回文半径。

经过如图的数学推导，我们就可以给第一种情况化简为p[i]=min(p[2*M-i], R-i+1)，然后再向两边扩散比较字符。

通过以上这种方法，写一个for循环加一层while就能够快捷地得到以每个字符作为回文中心的回文半径了。

得到回文半径有什么用呢？题目不是让我们求字符串里面最长的回文子串有多长嘛？那么最大的回文半径-1，不就是最长的回文子串的长度嘛？也就解开了。

因为原字符串在插入了原字符串没有的字符后，原字符串的长度变成了原来的2倍，所以回文半径-1就是最长的回文子串。可自己写几个试试。

【算法详解】Manacher算法_哔哩哔哩_bilibili 

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如何实现Manacher代码？

插入原字符串没有的字符

for (ll i = 0; i < 2 * a.length(); i++)
	{
		if (i & 1)
//如果是奇数
			b[i] = a[i / 2];

		else
			b[i] = '$';
	}
	b[2 * a.length()] = '$';
//a为原字符串
//b为插入后的字符串

求以每个字符作为回文中心的回文半径

ll M = 0, R = 0;
//初始化M和R
	for (ll i = 0; i <= 2 * a.length(); i++)
	{
// for循环遍历字符串里面每个字符
		if (i > R)
			p[i] = 1;
//如果i是在[L, R]区间外面的 
//那么它的回文半径默认从1开始
		else
			p[i] = min(p[2 * M - i], R - i + 1);
//否则回文半径就是min(p[2 * M - i], R - i + 1)
		while (i + p[i]<= 2 * a.length() && i - p[i] >= 0 && b[i - p[i]] == b[i + p[i]])
//while循环就是向两边扩散比较的过程
			p[i]++;
//只有当左右两边的字符一致
//回文半径才+1
		if (i + p[i] - 1 > R)
		{
			M = i;
			R = i + p[i] - 1;
		}
//如果以新的字符为回文中心
//回文半径更大的话
//那么就以新的字符为回文中心
//更新R
	}

全部代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 2e7;
string a;
vector<ll> p(2 * N);
char b[2 * N];

int main()
{
	cin >> a;
	for (ll i = 0; i < 2 * a.length(); i++)
	{
		if (i & 1)
			b[i] = a[i / 2];

		else
			b[i] = '$';
	}
	b[2 * a.length()] = '$';
	// cout << "变形后的：" << b << endl;
	ll M = 0, R = 0;
	for (ll i = 0; i <= 2 * a.length(); i++)
	{
		if (i > R)
			p[i] = 1;
		else
			p[i] = min(p[2 * M - i], R - i + 1);
		while (i + p[i]<= 2 * a.length() && i - p[i] >= 0 && b[i - p[i]] == b[i + p[i]])
			p[i]++;
		if (i + p[i] - 1 > R)
		{
			M = i;
			R = i + p[i] - 1;
		}
	}
	// cout << M << " " << R << endl;

	cout << *max_element(p.begin(), p.end()) - 1;

	return 0;
}