Hello算法2：复杂度分析

本文是基于k神的Hello 算法的读书笔记，请支持实体书。
https://www.hello-algo.com/chapter_paperbook/

算法效率

算法效率评估

设计算法时，我们追求以下两个目标：

找出解法
找出最优解

最优解通常包含两个指标：

时间：算法运行的时间
空间：算法占用的内存

评估的方法分为两种：

实际测试和理论评估

实际测试

找一台计算机实际运行代码，比较两个算法的效率。

这样虽然很直观，但是有以下缺陷

难以排除测试环境的干扰：两台计算机配置不同，在上面运行某算法可能会得到不同的结果
完整的测试很耗费资源：某些算法对于少量数据和巨量数据表现差别很大，这就需要设计测试时尽量覆盖所有情况

理论估算

也就是复杂度分析，它描述随着输入数据大小的增加，算法执行的时间和空间的增长趋势。

它客服了实际测试的缺点，体现如下：

无需测试环境，结果适用于各平台
可以体现不同数据量下的效率，特别是针对大数据

迭代和递归

在执行算法时，重复执行某个任务很常见。

迭代

常见的迭代有for循环和while循环

for循环

比如计算1+2+n的值，for循环的时间复杂度取决于n的值，它是线性相关的

while循环

初始化条件和条件更新的步骤独立于循环过程，所以while循环更自由

循环的嵌套

循环中可以嵌套循环，此时复杂度就变成了n的平方

递归

递归是指通过调用函数自身来解决问题，主要包含两个阶段

递：不断深入的调用自身，通常是不断传入更小的参数，直到达到终止条件
归：触发终止条件后，程序开始逐层返回

def recur(n: int) -> int:
    """递归"""
    # 终止条件
    if n == 1:
        return 1
    # 递：递归调用
    res = recur(n - 1)
    # 归：返回结果
    return n + res

调用栈

每次调用自身，计算机都会开辟新的内存区域，存储局部变量、调用地址和其他变量，因此

递归通常比迭代更耗费内存空间
递归的时间效率通常更低

递归深度过多，可能会溢出

尾递归

在在返回前的最后一步才进行递归调用中调用自身，这种方式某些语言可以被编译器或解释器优化，使其在空间效率上与迭代相当。但比如python就不支持。

def tail_recur(n, res):
    """尾递归"""
    # 终止条件
    if n == 0:
        return res
    # 尾递归调用
    return tail_recur(n - 1, res + n)

递归树

以“斐波那契数列”为例，将会产生如下的递归树

给定一个斐波那契数列0,1,1,2,3,5,8,13,…，求该数列的第n个数字

def fib(n: int) -> int:
    """斐波那契数列：递归"""
    # 终止条件 f(1) = 0, f(2) = 1
    if n == 1 or n == 2:
        return n - 1
    # 递归调用 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
    res = fib(n - 1) + fib(n - 2)
    # 返回结果 f(n)
    return res

在这里插入图片描述

时间增长趋势

如下三个算法：

# 算法 A 的时间复杂度：常数阶
def algorithm_A(n: int):
    print(0)
# 算法 B 的时间复杂度：线性阶
def algorithm_B(n: int):
    for _ in range(n):
        print(0)
# 算法 C 的时间复杂度：常数阶
def algorithm_C(n: int):
    for _ in range(1000000):
        print(0)

时间增长趋势如下：

在这里插入图片描述

可以看出时间复杂度有如下特点：

可以有效评估算法效率
时间复杂度的推算更简便
存在一定局限性

计算方式

第一步：统计操作数量，有以下技巧

忽略常数项
省略所有系数
循环嵌套时使用乘法

def algorithm(n: int):
    a = 1      # +0（技巧 1）
    a = a + n  # +0（技巧 1）
    # +n（技巧 2）
    for i in range(5 * n + 1):
        print(0)
    # +n*n（技巧 3）
    for i in range(2 * n):
        for j in range(n + 1):
            print(0)