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• 1.问题描述
• 2.问题分析
• 3.算法设计
• 4.确定程序框架
• 5.完整的程序

1．问题描述

求任意两个正整数的最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）。

2．问题分析

如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数，对于两个整数来说，最小公倍数是指这两个数共有倍数中最小的一个。计算最小公倍数时，通常会借助最大公约数来辅助计算，即最小公倍数=两数的乘积/最大公约（因）数，解题时要避免和最大公约（因）数问题混淆。

对于最小公倍数的求解，除了利用最大公约数外还可根据定义进行算法设计。要求任意两个正整数的最小公倍数，就是求出一个最小的能同时被两个整数整除的自然数。

3．算法设计

根据定义可知，两个整数的最小公倍数不小于两数中的任意一个，若大数不是小数的倍数，则可由大数开始利用递增的方法找到第一个满足条件的数。利用定义求最小公倍数的关键是找到两个整数中较大的数。

对于输入的两个正整数m和n，每次输入的大小顺序可能不同，为了使程序具有一般性，首先对整数m和n进行大小排序，规定变量m中存储大数、变量n中存储小数。

若输入时m的值小于变量n的值，则需要交换两个变量中存储的内容。再次强调，交换两个变量中的内容并不是简单地相互赋值，而要借助中间变量，将其中一个变量的值暂存（防止在交换过程中将原来的内容丢失）。此过程在4.4节及第1章1.8节中已介绍过，这里不再赘述。

if m < n:                            # 比较两个数的大小，使得m中存储大数，n中存储小数
    temp = m
    m = n
    n = temp

若输入的两个数，大数m是小数n的倍数，那么大数m即为所求的最小公倍数；若大数m不能被小数n整除，则需要寻找一个能同时被两数整除的自然数，即从大数m开始依次向后递增直到找到第一个能同时被两数整除的数为止，故循环变### 量i的初值为m。需要注意的是，在找到第一个满足条件的i值后，循环没必要继续进行，故用break来结束循环。

在上面的分析过程中没有提到循环变量的终止条件，因i的最大值不能确定，像这种终止条件不确定的情况如何来表示呢？方法有两种，第一，可以把判定条件表示成循环变量满足的基本条件，如本例终止条件可表示成i>0；第二，终止条件省略不写，利用循环体中的语句结束循环，如在找到第一个满足条件的自然数时利用break语句结束循环。

i = m
while i > 0:                         # 从大数开始寻找满足条件的自然数
    if i % m == 0 and i % n == 0:
        # 输出满足条件的自然数并结束循环
        print("%d 和 %d 的最小公倍数为：%d" %(m, n, i))
        break
    i += 1

通常情况下，如果我们知道循环的次数，可以使用for循环来实现；如果不清楚循环的次数，可以使用while循环来实现，while循环的条件就是循环的终止条件。

4．确定程序框架

程序流程图如图所示。

5．完整的程序

根据上面的分析，编写程序如下：

# 最小公倍数

if __name__ == "__main__":
    print("请输入两个整数")
    m = int(input("m = "))
    n = int(input("n = "))
    print(f'输入的m={m},n={n}')
    if m < n:                            # 比较两个数的大小，使得m中存储大数，n中存储小数
        temp = m
        m = n
        n = temp
    i = m
    while i > 0:                         # 从大数开始寻找满足条件的自然数
        if i % m == 0 and i % n == 0:
            # 输出满足条件的自然数并结束循环
            print("%d 和 %d 的最小公倍数为：%d" %(m, n, i))
            break
        i += 1

请输入两个整数
输入的m=45,n=63
63 和 45 的最小公倍数为：315

最小公倍数不可以像最大公约数那样直接利用辗转相除法求出，但可以借助辗转相除法求得的最大公约数来求最小公倍数。辗转相除法求最大公约数的代码在4.4节中已经给出，在已知最大公约数的情况下，借助公式最小公倍数=两数的乘积/最大公约（因）数，即可求出两整数的最小公倍数。

由4.4节中求解最大公约数的代码可知，在辗转相除的过程中，变量m、n的值是一直在变化的，程序结束时与最初输入的值已不同，但在求最小公倍数时要用到两变量初值的乘积，因此在进入循环进行辗转相除之前应先将两变量的乘积保存，假设存储到变量k中，根据公式用变量k的值除以求得的最大公约数n得到的值即为所求的最小公倍数。对应代码如下：

# 最小公倍数——利用两数的最大公约数求出最小公倍数

if __name__ == "__main__":
    print("请输入两个整数")
    m = int(input("m = "))
    n = int(input("n = "))
    print(f'输入的m={m},n={n}')
    k = m * n                               # k存储两数的乘积
    print("%d 和 %d 的最小公倍数为： " %(m, n), end="")
    if m < n:                            # 比较两个数的大小，使得m存储大数，n存储小数
        temp = m
        m = n
        n = temp
    b = m % n                               # b存储m除以n的余数
    while b != 0:
        m = n                               # 原来的小数作为下次运算时的大数
        n = b                               # 将上一次的余数作为下次相除时的小数
        b = m % n
    resultNum = k // n      # 两数乘积除以最大公约数即为它们的最小公倍数
    print("%d" %resultNum)

请输入两个整数
输入的m=45,n=63
45 和 63 的最小公倍数为： 315