控制学习_正弦波无刷直流力矩电机建模、控制带宽讨论与选择

无刷电机通过电子换向器实现定子的磁场旋转，去电刷后使用寿命大幅提升，是现在更流行的选择。三相无刷电机则是无刷电机中比较流行的一款。三相无刷电机的驱动方式有多种，最简单的被称为梯形波驱动、方波驱动或正弦波驱动。而正弦波驱动技术可以最大程度地减小扭矩波动以及噪音和振动，因此得到广泛的应用。本文则是重点关注正弦波无刷直流力矩电机。

1 控制建模

正弦波无刷直流力矩电机，一般采用磁场定向控制的方法，来完成电流环的控制，如下图所示
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(上图来源于论文《光电跟踪系统的精密跟踪定位控制技术研究》)

正弦波无刷直流力矩电机的控制系统是一个强耦合的系统，系统是通过Clark变换和Park变换来将对电机三相电压的控制，解耦成了 $q$ 轴和 $d$ 轴电流的控制。在磁场定向控制中要令 $i_d = 0$ 。而 $i_q$ 与电机的输出力矩 $T_e$ 之间是线性的关系。所谓的电流环，就是对 $i_q$ 和 $i_d$ 做闭环控制。而本文只关注电流环闭环后的系统。如果想学习磁场定向控制，我认为看此文足矣→深入浅出FOC算法

在论文《光电跟踪系统的精密跟踪定位控制技术研究》的提到了 $i_q$ 和输出力矩 $T_e$ 之间的关系为:
$\begin{align} & {{T}_{e}}=\frac{3}{2}\cdot p\cdot {{i}_{q}}\cdot \left[ {{\psi }_{f}}+\left( {{L}_{d}}-{{L}_{q}} \right)\cdot {{i}_{d}} \right] \\ \end{align}$
当 $i_d=0$ 时，式(1)简化为
$\begin{align} & {{T}_{e}}=\frac{3}{2}p{{\psi }_{f}}\cdot {{i}_{q}}={{{{K}'}}_{t}}\cdot {{i}_{q}} \\ & {{{{K}'}}_{t}}=\frac{3}{2}p{{\psi }_{f}} \\ \end{align}$

在控制学习_有刷直流力矩电机的建模、仿真、控制带宽的讨论、驱动方式与选择-CSDN博客文章中，我们谈到了，对于有刷直流力矩电机的等效物理框图和等效控制框图如下。
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正弦波无刷直流力矩电机与有刷直流力矩电机的等效控制框图大部分是相似的，正弦波无刷直流力矩电机使用电流环闭环之后的力矩平衡方程如式(4)所示。
$\begin{align} J\frac{d\omega }{dt}+B\omega +{{T}_{L}}={{T}_{e}}={{{K}'}_{t}}\cdot {{i}_{q}} \end{align}$
其中 ${{J}_{e}}$ 为负载的转动惯量， $B$ 为阻尼系数，一般较小。 ${{T}_{L}}$ 为不包含摩擦力矩的总负载转矩。
对式(4)进行拉普拉斯变换可得:
$\begin{align} & \left( {{J}_{e}}s+B \right)\omega \left( s \right)+{{T}_{L}}\left( s \right)={{{{K}'}}_{t}}\cdot {{i}_{q}}\left( s \right) \\ & \omega \left( s \right)=\frac{{{{{K}'}}_{t}}}{\left( {{J}_{e}}s+B \right)}{{i}_{q}}\left( s \right)-\frac{1}{\left( {{J}_{e}}s+B \right)}{{T}_{L}}\left( s \right) \\ \end{align}$
根据线性系统的叠加性，将负载转矩 $T_L$ 视为扰动，电流 $i_q$ 和电机速度 $\omega$ 之间传函为:
$\begin{align} \frac{\omega \left( s \right)}{{{i}_{q}}\left( s \right)}=\frac{{{{{K}'}}_{t}}}{\left( {{J}_{e}}s+B \right)}\approx \frac{{{{{K}'}}_{t}}}{{{J}_{e}}s} \end{align}$

根据上述公式的结论，可以绘制正弦波无刷直流力矩电机完成电流环闭环之后的等效控制框图如下:
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正弦波无刷直流力矩电机的电流环的带宽一般比较高，所以简化的等效控制框筒中，用1000Hz的低通滤波器来代替电流环闭环。参考：对FOC电流环带宽的理解_foc带宽-CSDN博客

“电机的电流环带宽由电机的电气常数（电阻、电感）、电流采样频率、PWM频率、算法执行频率等决定。在硬件上，对于同一个电机（电气参数是一定的），采用固定的pwm频率（比如10Khz），那么电机的电流环带宽在经验上能达到1:10，即1Khz。在软件上，通常算法执行频率和电流采样频率，与PWM频率相等或者更低。所以软件能修改电流环带宽的地方主要是PI控制器，通过调整PI控制器的参数，来改变电流环带宽，但是要知道，电机的电流环带宽的上限，由硬件决定，软件上的作用是追逐这个上限值”

正弦波无刷直流力矩电机完成电流环闭环之后的速度开环对象可表示为：
$\begin{align} {{G}_{v}}\left( s \right)=\frac{\omega \left( s \right)}{{{i}_{q\_ref}}\left( s \right)}\approx \frac{{{{{K}'}}_{t}}}{{{J}_{e}}s\cdot \left( \frac{1}{1000\cdot 2\cdot \pi }s+1 \right)}\approx \frac{{{{{K}'}}_{t}}}{{{J}_{e}}s} \end{align}$

根据式(8)可知，完成电流环闭环之后的正弦波无刷直流电机系统，其速度开环传递函数可近似的视为一个积分环节。

2 控制带宽分析
假设给速度环设计一个控制器 ${{C}_{v}}\left( s \right)={{k}_{v}}$ ，添加控制器之后的速度环开环传递函数为 ${{C}_{v}}\left( s \right){{G}_{v}}\left( s \right)={{k}_{v}}\cdot \frac{{{{{K}'}}_{t}}}{{{J}_{e}}s}$
如果提高控制器参数 $k_v$ ↑，那么速度环闭环后的开环传递函数的穿越频率也会随之增加↑，进一步则会令速度环的闭环带宽就会提高↑。

根据此规律，若速度环控制器的增益无限提高，电机速度环带宽难道也可以无限提高？显然！这不可能。因为电机输入的电流是有约束的，比如你速度环控制器输入给电流环的控制器的电流是10A，但是电机最大允许的 $i_q$ 电流是5A，电流环控制器输入就要做需要做一个饱和约束，等效为增益下降。这个约束在控制系统中是一个非线性的环节，因此系统的闭环带宽，是无法得到数值上的结论，只有定性的分析。速度环闭环参考输入如果是小幅值，控制增益 $k_v$ 可以设计大些，保证最终 $i_q$ 电流也不超出电机的约束，这样就会令带宽也可以做高。但如果速度环输入如果是大幅值，那么增益会受到约束等效为增益下降，即带宽则做不高。

那这个电流的约束是应该是多少呢？通过与宇捷电机厂商沟通，如果采用FOC控制的话， iq电流的输入可以约束为连续堵转电流的1.224倍。最终系统的等效速度闭环框图如下：
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在控制程序中，一般会采用约束速度环参考输入的方式，这种做法是为了保护电机，不让电机电流超过约束值烧坏电机。

3 电机应该如何选择

那对于正弦无刷直流力矩电机，我们应该如何去选择呢？答案仍然是优先满足输出力矩要求，其次，在满足力矩要求的基础之上，选择连续堵转电流更大的电机（约束范围大，增益就能更大）。
关于输出力矩需求的计算，可参考上一篇文章最后一小节控制学习_有刷直流力矩电机的建模、仿真、控制带宽的讨论、驱动方式与选择-CSDN博客。本文就不在赘述了。

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