题目

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斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

现在，珍珠和雪豹在玩一个好玩的游戏，首先珍珠给出第一个数字a，雪豹给出第二个数字b，他们约定在第三个数字往后的值都是前两个数字的和，他们一共会写下x个数，现在他们想问你，这x个数的和是多少？
【输入格式】
第一行输入一个T代表有$T(1\le T\le 10^5)$个样例
接下来T行输入$1\le a,b\le 10^9,3\le x\le 10^5$代表一个询问
【输出格式】

对于每个询问输出一行，答案可能很大，请对其$10^9+7$
输入1：

1
3 7 10

输出1：

781

思路

动态规划计算斐波那契数列：

1. 初始化斐波那契数列的前两项为 $a$ 和 $b$。
2. 使用两个数组 a 和 b 分别存储斐波那契数列的前 $x$ 项，其中 a[i] 表示第 $i$ 项斐波那契数列的值，b[i] 表示第 $i-1$ 项前缀和。
   通过递推关系 $a[i]=a[i-1]+a[i-2]$ 和 $b[i]=a[i-1]+b[i-1]$ 计算斐波那契数列的前 $x$ 项。
3. 求和并取模操作：根据题目要求，计算斐波那契数列前 $x$ 项的和，即 $a[1]+a[2]+\dots +a[x]$。对于数字$a$，前面$n$项的和累计个数为$a[n]$，对于数字$b$，前面$n$项的和累计个数为$b[n]$。由于题目要求对结果进行 $10^9+7$ 的取模操作，因此在计算过程中需要对结果进行取模，以避免溢出。
   

代码

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;
const long long mod=(long long)1e9+7;

LL a[1000005],b[1000005];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    a[1]=1;a[2]=1;
    b[1]=0;b[2]=1;
    for(int i=3;i<1000005;++i)
    {
        a[i]=(a[i-1]+a[i-2])%mod;
        b[i]=(a[i-1]+b[i-1])%mod;
    }
    while(n--)
    {
        LL sum=0;
        LL aa,bb,geshu;
        scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&geshu);
        printf("%lld\n",((aa*a[geshu])+(bb*b[geshu]))%mod);
    }
    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度

$O(n)$

空间复杂度

$O(n)$

总结

预处理+前缀和