动态规划章节理论基础:
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343. 整数拆分
题目链接:https://leetcode.cn/problems/integer-break/
思路:
动规五部曲:
(1)确定dp数组以及下标含义
dp[i]:分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i]。
(2)确定递归公式
其实可以从1遍历j,然后有两种渠道得到dp[i].
一个是j * (i - j) 直接相乘。
一个是j * dp[i - j],相当于是拆分(i - j)。
j是从1开始遍历,拆分j的情况,在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j,比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
也可以这么理解,j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘,而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
所以递推公式:dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
那么在取最大值的时候,为什么还要比较dp[i]呢?
因为在递推公式推导的过程中,每次计算dp[i],取最大的而已。
(3)dp数组初始化
严格从dp[i]的定义来说,dp[0] dp[1] 就不应该初始化,也就是没有意义的数值。
拆分0和拆分1的最大乘积是多少?这是无解的。
这里我只初始化dp[2] = 1,从dp[i]的定义来说,拆分数字2,得到的最大乘积是1,这个没有任何异议!
(4)确定遍历顺序
确定遍历顺序,先来看看递归公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态,所以遍历i一定是从前向后遍历,先有dp[i - j]再有dp[i]。
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
}
}
注意 枚举j的时候,是从1开始的。从0开始的话,那么让拆分一个数拆个0,求最大乘积就没有意义了。
j的结束条件是 j < i - 1 ,其实 j < i 也是可以的,不过可以节省一步,例如让j = i - 1,的话,其实在 j = 1的时候,这一步就已经拆出来了,重复计算,所以 j < i - 1
至于 i是从3开始,这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
更优化一步,可以这样:
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
}
}
因为拆分一个数n 使之乘积最大,那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。
例如 6 拆成 3 * 3, 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。
那么 j 遍历,只需要遍历到 n/2 就可以,后面就没有必要遍历了,一定不是最大值。
(5)举例推导dp数组
举例当n为10 的时候,dp数组里的数值,如下:
代码:
class Solution {
public int integerBreak(int n) {
int[]dp = new int[n+1];
//dp[1] = 1;
dp[2] = 1;
for(int i=3;i<=n;i++){
for(int j=1; j <= i/2;j++){
dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
}
}
return dp[n];
}
}
96.不同的二叉搜索树
题目链接:https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/
思路:
dp[3],就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。
所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
此时我们已经找到递推关系了,那么可以用动规五部曲再系统分析一遍。
动规五部曲:
(1)确定dp数组以及下标含义
dp[i] : 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
(2)确定递归公式
在上面的分析中,其实已经看出其递推关系, dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素,从1遍历到i为止。
所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量
(3)dp数组初始化
初始化,只需要初始化dp[0]就可以了,推导的基础,都是dp[0]。
从定义上来讲,空节点也是一棵二叉树,也是一棵二叉搜索树,这是可以说得通的。
从递归公式上来讲,dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0,也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1, 否则乘法的结果就都变成0了。
所以初始化dp[0] = 1
(4)确定遍历顺序
首先一定是遍历节点数,从递归公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出,节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。
那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态,用j来遍历。
(5)举例推导dp数组
举例当n为5的时候,dp table(dp数组)应该是这样的
代码:
class Solution {
public int numTrees(int n) {
int[]dp = new int[n+1];
dp[0] = 1;
for(int i=1 ;i<=n;i++){
for(int j=1; j<=i ;j++){
dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
}
}
return dp[n];
}
}