确定光学厚度的限值
光学元件的功能和性能在很大程度上受到可用光学材料的限制。制造和光学元件设计的最新发展现在拓宽了可以实现的目标。特别是，平面光学器件或超表面可以设计为具有大块光学元件的功能，但其厚度缩小到仅几百纳米。米勒现在提出了一项理论研究，以确定特定光学功能的最小厚度（参见蒙蒂康的透视）。这种方法是通用的，应该为其他波系统（包括无线电和声学系统）的最小尺寸提供界限。—国际标准化组织（ISO）
abstract
这项研究揭示了光学系统为什么以及何时需要厚度以及宽度或面积。波衍射解释了在显微镜和相机中实现一定分辨率或像素数对透镜或孔径的面积或直径的基本需求。这项工作表明，如果我们在设计之前就知道光学器件的作用，我们也可以推断出所需的最小厚度。这个极限来自衍射，结合一个叫做重叠非局域性 C 的概念，该概念可以从设备要做什么的数学描述中严格推断出来。 C 表示不同输出区域的输入区域重叠的程度。这一限制广泛适用于光学，从相机到超表面，以及一般的波系统。
现代微纳加工方法允许创建远远超出历史透镜、反射镜和棱镜的复杂光学元件，从而提供我们想要的光学元件，而不仅仅是以前的光学元件所提供的光学元件。然而，这种复杂的设计可能需要长时间的计算，并且可能难以制造。这种复杂性也使得很难预测可能发生的事情。所以，我们想要简单的限制来指导我们。例如，我们可能需要多少最小尺寸？通过衍射，我们了解光学器件的最小宽度或面积必须如何与可分辨的光斑或像素成比例增长。然而，对于光学元件必须有多厚，甚至没有相应的基本理解，甚至没有光学元件从根本上需要厚度。
在这项工作中，我展示了为什么光学和其他波系统可能需要厚度并得出定量极限。光学器件可能需要是非局部的，某个点的输出可能需要取决于许多位置的输入。这种非局域性意味着我们需要在结构或系统内横向通信。如果我们只需要一个这样的通信通道，那么一层薄薄的就足够了。但是，如果一个输出点的输入位置范围需要与另一个输出点的输入位置范围重叠，则具有重叠非局部性 （ONL）。一个关键的认识是，这种ONL会导致光学器件的厚度。
在这里，我介绍了 ONL，并将其定义为此类横向通信信道所需的数字 C。一个基本结果是，ONL仅来自设备要做什么的数学规范。在开始设计之前，我们可以非常严格地计算 C。然后，通过衍射的一些启发式方法，我们可以从 C 推断出光学器件的最小厚度或横截面积。这种方法为许多光学元件提供了限制，包括成像仪和超表面结构，适用于许多可能的应用。更一般地说，它限制了任何类型的复杂波系统的尺寸，包括射频和声学系统。
最近在超表面的两个问题激发了这项工作。首先，我们能否缩小成像仪中镜头与输出平面之间的距离，即“挤压空间”（1），可能使用空格板（2-5）？其次，我们可以使用一些具有一定厚度的超表面结构（6-8）来执行哪些类型的数学运算（例如，在图像上）？这种方法为这些问题和其他问题提供了有意义的答案。它甚至只为在一个频率下工作提供了限制，因此它与设备中材料量的空格板带宽限制 （4） （9， 10） 和相关的半经验限制 （11） 相辅相成。它还补充了最近对材料响应的最大增强 （12） 和局部功能的最小厚度限制，例如完美吸收 （12） 或反射 （13）。光学和电磁学的极限越来越受到关注 （14）。我们方法中的概念和结果可能允许该领域的不同方向，并可能在其他具有复杂光学的领域找到应用，例如神经（19-21）和其他（22-24）处理和互连（25）中的模式转换器（15-17）和光网络（18）。
光学系统（图1A）将光从输入表面路由到输出表面。添加一个在数学上穿过输入和输出表面的分割曲面可定义横向孔径。该孔径的最小面积或厚度可以通过计算必须通过它的独立通道的数量 C 来推断。对于相机或成像仪，我们可以直观地评估 C。奇异值分解 （SVD） 通常为光学和波系统提供了严格的数学方法。
图 1.成像系统以及相关表面和通道。
（A） 成像系统的输入面和输出面上相应的像素阵列。我们假设表面在 z 中相隔一定距离 d。穿过输入和输出表面的分割面 S 定义了横向孔径。（B 和 C） 一维成像仪，既可以看作是 y 方向上较薄且厚度为 d （B） 的垂直切片，也可以看作是 y 方向上长度为 x （C） 的薄板，如光子集成电路中。（D） 将具有大量 N 个像素和自由度的成像系统分成相等的两个部分时所需的内部通道。
用于成像系统的 ONL
成像器可能有一个镜头表面作为其输入，一个像素传感器阵列作为其输出。我们认为它名义上是无损的，除了附带损耗，如弱背景吸收、轻微的表面粗糙度散射或反射损耗，因为它基本上将所有相关的输入功率路由到输出。我们还假设了互易光学器件——如果波可以沿一个方向流动，那么它们的相位共轭可以以相同的透射系数以相反的方向流动。
成像器获取一组 N 个重叠的正交输入，并将它们一个接一个地映射到其 N 个单独的输出像素（有关扩展讨论和证明，请参阅补充文本 S1）。我们假设，与成像仪一样，每个输出像素的输入功率基本上均匀地分布在输入表面上。
现在，我们在数学上将输入和输出曲面一分为二，曲面 S 位于 y-z 平面中。现在，成像仪比波长大得多。因此，我们假设我们可以为输入曲面的每一半构造新的近似基集，并按每个部分的面积比例分配许多基函数，因此，每半部分有 N/2 个输入基函数。我们假设，在组合中，这对新的除法基集大约仍然能够描述所有 N 个正交输入函数。
现在考虑输入曲面的右半部分和输出曲面的左半部分之间的映射（图 1D）。尽管 N/2 个正交基函数与输入表面的右半部分相关联，但我们预计其中一半将与输出平面右半部分的图像形成相关联。所以，只有 CRL系列 = N/4 通道与将功率从输入平面的右半部分传输到输出平面左半部分的像素相关联。同样，数字 C英国劳氏 = 从左输入面到右输出面的波需要 N/4 个从左到右的声道。
在推断必须从右向左通过横向孔径的通道总数 C 时，我们可能会认为我们可以忽略任何从左到右的通道，因为它们是朝另一个方向移动的。然而，通过互惠，与那些 C英国劳氏 = N/4 个从左到右的通道，从右侧的输出像素到左侧的输入表面，这些通道的倒数或向后版本也必须相等。因此，总而言之，我们必须在物理上允许
从右到左（或从左到右）穿过分隔面的通道。在下文中，方程 1 非常普遍地适用。（从理论上讲，非互易光学器件可以消除后向通道，将C降低多达2倍;参见补充文本S1）。所以，对于我们的成像仪
请注意，这里的 C 来自成像器必须如何工作和像素数，而不是来自成像器的任何特定设计或尺寸。
至此，我们可以正式定义 ONL 和 C。与通过输入和输出表面的分隔面 S 相关的 ONL C 是正交通道的数 C，这些通道必须从 S 一侧的输入穿过 S 另一侧的输出，以实现所需的光学函数，在流动的两个方向（从左到右和从右到左）上求和。
我们强调，非局域性本身并不需要多个通道。单模光纤可以有多个抽头，间隔尽可能远。进入这些抽头的适当光可以相干组合以出现在光纤端，从而形成一个只有一个通道的非常非局域的系统。相反，在某些系统中，非局域性的重叠性质（不同的输出点需要在某些相同的输入点上使用不同的光组合）需要多个通道。
横向孔径所需的面积或厚度
我们假设感兴趣的光学系统是非局域的，它们需要在连接输入和输出点的许多波长的横向距离上传播这些C通道（因此我们排除了任何接近局部的系统，例如仅比较输入<相距1个波长）的非常局部的微分）。因此，我们假设这些通道的电磁波传播，而不是倏逝场或近场电磁项 （16）。我们假设简单的局部电介质——某一点的极化仅取决于该点的场——因此我们忽略了等离激元或其他化合物激发的任何非局域性。因此，我们可以使用波衍射启发式方法来预测尺寸限制。为简单起见，我们实际上只考虑了一种电磁极化，但相同的结果适用于每种极化。
我们首先假设输入和输出表面之间的空间包含折射率 n 的均匀电介质r用自由空间波长λ的光o.衍射启发式（补充文本 S2）告诉我们，在窄狭缝孔径中，如图 1B 所示，通过孔径的最大通道数对应于每 λ 一个o/2吨rz 方向上的距离。如果此空间是最大折射率为 n 的非均匀电介质麦克斯，我们推测至少 λo/2吨麦克斯每个通道。请注意，这样的猜想并不能证明没有结构可以做得更好。然而，例如，它与板坯波导支持的模式数量的典型行为一致。
实际上，我们可能仅限于使用结构内部整个 180° 角度范围的一小部分——相当于可用 k 空间（即分量）的一小部分 α （≤1）kz，如图 1D） 所示，按比例减少可用通道。例如，如果内角限制在 0 到 θ 的范围内（图 1D），则 α = 1 − cosθ。因此，我们推测在这个一维 （1D） 情况下我们需要一个厚度
我们可以将这个启发式论证扩展到 2D 横向孔径的面积 A，如图 1A 所示，提出
我们认为α2作为 2D 的分数kx,kz我们实际上能够在设计中使用的 k-space。方程 4 等价于至少 （λo/2αn麦克斯)2对于通过横向孔径的每个通道。
成像仪和相关光学系统的最小厚度
现在，我们将式 3 和 4 应用于成像仪。对于具有Nx像素在 x 方向的水平线上，如图 1 所示，B 和 C，从方程 2 开始，我们有 C = Nx/2，因此由式 3
对于二维成像仪，如图1A所示，具有N个像素（因此C=N/2，距式2）和一些特征宽度或直径L，横向孔径面积为A~Ld，则为距4
为了有效地利用方程 4 或 6 中的横向孔径面积，我们可能需要将原来在 x 中的自由度交错到横向孔径的 y 维中。这种维度交错（DI）（补充文本S3）在光学中是可能的，我们可以设计超耦合器来实现它（补充文本S4），包括设计这些限制。然而，许多光学方法，包括自由空间传播、传统成像系统、简单的介电堆栈结构和 2D 光子晶体，似乎都不支持 DI。在这种情况下，这些二维系统的厚度可能最终成为一维极限（方程 3 和 5）。
我们在补充文本 S5 中将 d 上的这些限制与成像器和空间板的特定设计进行了比较，表明这些限制在现有的优化设计中都得到了遵守和接近。如果设计为典型的 （26） （<45°） 最大光线角，则 1200 万像素智能手机摄像头 （26） 将需要 >~1.7 毫米的厚度，即使镜头本身没有厚度（即，在实际 ~5 毫米智能手机摄像头厚度的 3 倍以内）。（5）中的多层空间板设计设计厚度为44.6波长，非常接近预测的30波长极限。
成像仪是一个空间变化系统，它在输入或输出的不同位置看起来不同。其他几个这样的系统，如傅里叶变压器（27）、模式分选器（17）和连接网络（18），也可以进行类似的分析（补充文本S6）。
用于通用线性光学器件的 ONL
成像仪或模式分选仪具有像素化输出，可简化计数。然而，许多光学器件没有这种像素化，在输入和输出表面上具有连续功能。内核（将输出点的场与输入点的场关联起来的线性运算符）可能比成像器的全局核更局部;空间微分器也可能不是单一的，它将输出区域与少量相邻的输入区域相关联（图 2）。内核可能从左到右不对称，并且可能不明显地将分隔面放在哪里。幸运的是，SVD（16）方法既与迄今为止的论点兼容，也与这些其他情况兼容。
图 2.输入像素和输出像素之间的连接。
（A） ONL 为 C = 4 的一般示例。（梯形显示哪个像素连接到哪个重叠的输入区域。（B） 输入采样点和输出采样点 7 之间的耦合强度，用于五阶导数的中心有限差分近似。其他输出点的耦合强度会适当地横向移动，如（A）所示。
坐标 x 和 y 在输入面上，u 和 v 在输出面上（图 1），如 （8） 的形式主义所示，通常
在输入和输出位置选择分割面 xo和 uo，分别我们有一个除法算子 DRL系列限制在输入的右侧和输出的相应左侧
要找到 C，我们首先要找到
.[从技术上讲，我们正在建立必要的模式转换器基集 （16） 来实现这个从右到左的运算符。然后，我们确定有多少奇异值（即耦合强度）的量级高于某个小阈值，并将其用作所需的从右到左通道的数量，CRL系列.如有必要，从相应的从左到右运算符
如果对于某些内核来说，分隔面的位置不明显，我们可以重复计算所有合理的分界面位置选择，并为 C 选择最大的结果。但是，我们应该保持输出中心点 uo低于其相应的输入范围（补充文本 S7）。
为通用线性光学器件构建矩阵
因为在真实物理系统中，任何这样的设备算子D都为有限的输入提供有限的输出，所以它必然是一个希尔伯特-施密特算子，因此也是紧凑的（16,28）。 这意味着它可以用足够大的矩阵 D 表示到任何精度。
D 的矩阵元素是输入和输出空间中函数的特定选择采样点之间的耦合。矩阵
和
然后只是 D 的截断版本;例如，对于一维问题，
和
只是 D 的右上象限和左下象限。标准矩阵代数给出的 SVD 为
如有必要，以及
，这使我们能够从方程 1 中推导出 C。对于像素化光学器件，我们可以在每个像素的中间选择采样点;从本质上讲，我们推导出光学器件的极限尺寸，以便它至少在这些点上给出正确的场。
对于连续函数和/或没有像素化的函数，我们可以只选择间距足够近的点——直观上足以表示函数中最小的凸起。因此，“足够接近”的标准是，所得矩阵的奇异值的数量，超过某个选定的相对大小的小阈值，已经收敛。将采样点的密度提高到此值以上，对得到的 C 基本上没有影响。通常，光学SVD描述（16）的经验非常一致地表明了这种行为，收敛性由算子的紧致性和相关的和规则（16,28）保证。
在空间不变光学 （8） 中，行为仅取决于输入点和输出点的相对分离，然后我们使用固定核进行卷积。然后，D 将 （8） 简化为
由于绝对位置不再重要，我们只需选择一个特定位置进行计算（例如，输出，例如 u = 0、v = 0），然后根据需要计算矩阵。
许多这样的超表面讨论使用函数和（空间不变）核（1,5,6）的k空间（或傅里叶）表示; 未显式使用像素。k 值必须小于 k = 2πnr/λo对于折射率为n的背景材料中的传播波r或较小的最大值kx麦克斯= 2πNA/λo如果输入和输出光学器件具有有限的数值孔径 NA。在这种情况下，我们可以使用抽样理论方法来获得有效的空间抽样点（补充文本 S8）。当一个维度中有 N 个采样点时，这些采样点的间隔为
该矩阵包含从右侧的输入点 8、9 和 10（对应于矩阵列）到左侧输出点 5、6 和 7（对应于矩阵行）的连接。分界面上的所有其他连接均为零。（参见补充文本 S9 和图 S7，了解完整的矩阵 D 和矩阵
和
.)
SVD 的标准数值线性代数计算
（使用 numpy Python 库）给出了三个奇异值 7.568、1.684 和 0.080，所以 CRL系列= 3。如果我们用这个反对称核类似地分析从左到右的分隔面的连接，从输入点 5、6 和 7 到输出点 8、9 和 10，得到的矩阵最终为
（图 S7）并具有相同的三个奇异值集，得到 C英国劳氏= 3。因此，对于这个五阶有限差分导数，我们需要 C = CRL系列 + C英国劳氏= 6（如式 1 所示）。
在此 SVD 中，我们看到了一个我们稍后利用的重要行为：并非所有所需的通道都同样强大，有些通道可能可以忽略不计或几乎可以忽略不计。事实上，每个方向上的第三个通道几乎是第一个通道的 100 倍（0.080 与 7.568 相比），这表明，如果我们只需要一个适度好的导数近似值，我们可能只需要每个方向上的两个通道（所以 C = 4）。
我们可以将相同的方法应用于其他像素化系统;有限脉冲响应滤波器和离散小波（如 Daubechies 小波）提供了其他示例（补充文本 S10）。对于像素化系统，在一些简单的情况下，在光学中直观地理解ONL是相当简单的（补充文本S11）。
连续系统
作为连续函数和内核的示例，我们使用
这是“x 倍高斯”的真实 1D 版本
来自（7）的内核，给出平滑的差异。我们允许一个放大因子β通过该因子可以增加内核的距离尺度，β = 1 直接对应于 （7）。如（7）所示，我们取
NA = 0.15，根据方程 11，采样点的间隔为 ~3.33 个波长。图 3 显示了三个不同尺度的结果核以及相应的相对奇异值集，包括同一图中从右到左和从左到右的奇异值。
图 3.三个尺度上的“x 乘以高斯”核。
（A） 核 ×1 - 原始比例 - （β = 1）（圆和实线），×2 大 （β = 2）（十字和虚线），×4 大 （β = 4）（菱形和虚线）。这些点对应于数值孔径 NA = 0.15 的有效采样点。（B） 使用符号和颜色（如（A）所示的三个核尺度（以线为指导）的奇异值（包括从左到右和从右到左矩阵）的相应相对大小。
奇异值的总数等于采样点的数目。然而，在前几个奇异值之后，其余奇异值的大小会迅速下降（我们在这项工作中只绘制了前八个）。此外，对于所有三个内核尺度，强耦合奇异值的集合基本上是相同的。一旦我们在核函数发生重大变化的范围内有大量采样点，奇异值的相对大小就会收敛。这说明ONL C是函数形式的属性，而不是其规模，至少超出了某个实际的最小规模。在所示的所有三种情况下，只有前六个奇异值的相对大小为 >0.01。因此，实际上，我们可以为这个函数选择 C = 6。
空间不变核的厚度
这些示例显示了许多有趣的、离散的和连续的空间不变核和操作，这些内核和操作可以在 ~4 到 ~8 的 C 值下执行。这样的数字可能仍然足够大，以至于方程 3 和 4 至少可以用作第一个指南。（对于薄结构和/或小 C，可以使用 SVD 的更复杂的方法，而无需依赖方程 3 和 4 背后的启发式方法;参见补充文本 S12。即使没有DI，这种内核实际上也可以在光学和近红外波长的结构中实现，这些结构只有几微米厚。与（7）中的“x乘以高斯”核设计的比较表明，在6波长厚度下，它也超过了2波长的最小要求厚度（补充文本S13）。
讨论
这些在各种波情况下的例子，包括像素化、连续、空间变化和空间不变系统，表明我们有一种通用的方法来预测基本的最小所需厚度。对整个过程进行了总结，并在补充文本S14和S15中分别提供了一些额外的讨论。如上图所示，具有优化设计的系统已经在一些小因子（例如，3 倍或更小）内接近这些限制。
平面光学系统为减少系统厚度提供了许多有趣的可能性，例如，通过使用超表面来消除透镜或其他元件的大部分厚度。这项工作表明，特别是对于具有大ONL的应用，尽管我们仍然需要整体厚度，但这种厚度的大部分只需要横向传输光通道;它可能只需要是空的、均匀的或相对简单的波导空间，这将简化整体系统设计。
