3.基础算法之搜索与图论

1.深度优先搜索

深度优先搜索（DFS，Depth First Search）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。它将当前状态按照一定的规则顺序，先拓展一步得到一个新状态，再对这个新状态递归拓展下去。如果无法拓展，则退回一步到上一个状态，再按照原先设定的规则顺序重新寻找一个状态拓展。如此搜索，直至找到目标状态，或者遍历完所有状态。常用于寻找起始点到目标点的路径。

深度优先搜索的主要作用包括：

图的遍历：深度优先搜索可以用来遍历一个图的所有顶点，从而了解图的结构和特性。
路径搜索：在图中搜索从起始顶点到目标顶点的路径时，深度优先搜索是一种常用的方法。它沿着一条路径尽可能深地搜索，直到达到目标顶点或无法继续搜索为止。
生成树和生成森林：深度优先搜索可以用来生成图的深度优先生成树或生成森林。这些结构在解决图论问题时非常有用，例如求解最小生成树、最短路径等问题。
拓扑排序：对于有向无环图（DAG），深度优先搜索可以用来进行拓扑排序。拓扑排序是将图中的顶点排成一个线性序列，使得对于每一条有向边(u, v)，u在v的前面。这在解决一些依赖关系问题时非常有用。
检测环：深度优先搜索还可以用来检测一个图中是否存在环。在遍历过程中，如果发现一个已经访问过的顶点，且该顶点不是当前顶点的父顶点，则说明图中存在环。
图的连通性：深度优先搜索可以用来判断图的连通性，即判断从一个顶点是否可以到达图中的任意其他顶点。

排列问题

给定一个整数n，将数字 1~ n 排成排，将会有很多种排列方法，现在，请你按照字典序将所有的排列方法输出

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 10;
int path[N];  // 路径
bool visit[N]; // 访问数组

void DFS(int u,int n){
    if(u>n){  // 搜索到第n+1个数字,前n个数字已经排好
        for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",path[i]);
        printf("\n");
        return;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!visit[i]){ // i没有被访问
            path[u] = i;  // 记录路径
            visit[i] = true; // 访问位
            DFS(u+1,n);  // 深度优先搜索
            visit[i] = false; // 恢复现场
        }
    }
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    DFS(1,n);
    return 0;
}

n-皇后问题

n-皇后问题是指将 n 个皇后放在的国际象棋棋盘上，使得后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

算法思想：采用深度优先遍历解空间树，依次考虑每个皇后，从第1个位置开始试探，如果当前i个皇后均满足，则继续试探i+1，如果当前第i个皇后试探完8个位置均不满足，则回溯到第i个位置继续试探。直到找到8个皇后的位置，输出。

代码实现：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 9;
int visit[N],col[N];

bool check(int x, int y){
    for(int i=0;i<x;i++){
        if(abs(col[i]-y)==abs(i-x)) return false;  // 同一斜线
    }
    return true;
}

void DFS(int u,int n){
    if(u==n){ // 前n层遍历完,输出
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<n;j++)
                if(j!=col[i]) printf(".");
                else printf("Q");
            printf("\n");
        }
        printf("\n");
        return;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(!visit[i] && check(u,i)){
            col[u] = i;   // 对应列放置元素
            visit[i] = 1; // 置访问位
            DFS(u+1,n);   // 深度优先遍历
            visit[i] = 0; // 恢复现场
        }
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    fill(col,col+N,-1); // col数组初始化为-1
    DFS(0,n);
    return 0;
}

树的重心

给定一颗树，树中包含 n 个结点 (编号 1~ n)和n-1条无向边，请你找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。
重心定义:重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。

算法思想：如下图所示，删除节点后，树变成了3个连通部分，分别是节点的子树和父节点。因此我们可以利用DFS统计左右子树的节点数，上层连通部分的节点数为s3=n-s1-s2-1。重心为s1,s2,s3中较大的那个，遍历所有节点，最终取节点重心的最小值。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>

using namespace std;
struct TNode
{
    int id;
    TNode* next;
};  // 邻接表节点

const int N = 1e5+10;
TNode* H[N];
int ans = N;
int visit[N];
int n;

void insert(int a,int b){ // 节点插入邻接表
    TNode* node = new TNode;
    node->id = b; // 头插法插入边结点
    if(!H[a]) {H[a]=node;node->next = NULL;}
    else {
        TNode* p = H[a];
        while(p->next) p=p->next;
        node->next=NULL;p->next=node;}
}

int DFS(int u){
    visit[u] = 1; // 访问节点
    int s, sum = 1,res = 0; // s为子节点节点数,res为最终重心,sum为以当前节点为根的子树节点数
    TNode* p = H[u];
    while(p){
        if(!visit[p->id]){
            s = DFS(p->id); // 深度优先遍历
            res = max(res, s); // 更新重心
            sum += s; // 加上子树节点数
        }
        p = p->next; // 访问当前节点下一个连接的节点
    }
    res = max(res,n-sum); // 更新重心
    ans = min(ans, res);  // 更新整个子树的重心
    return sum;
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    int a,b;
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        insert(a,b);
        insert(b,a);
    }
    DFS(1);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

2.广度优先遍历

广度优先遍历（Breadth-First Traversal）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。与深度优先遍历（Depth-First Traversal）不同，广度优先遍历会先访问离根节点近的节点，再访问离根节点远的节点。这种算法逐层访问树的节点，从根节点开始，先访问所有子节点，然后访问这些子节点的子节点，以此类推。

广度优先遍历通常使用队列（Queue）数据结构来实现。算法的基本步骤如下：

创建一个空队列，并将根节点入队。
当队列不为空时，重复以下步骤：
a. 从队列中出队一个节点，并访问该节点。
b. 将该节点的所有未访问过的子节点入队。
当队列为空时，算法结束。

广度优先遍历常可以用于解决最短路问题。

走迷宫

给定一个 n x m 的二维整数数组，用来表示一个迷宫，数组中只包含 0或 1，其中 0表示可以走的路，1 表示不可通过的墙壁。最初，有一个人位于左上角(1,1)处，已知该人每次可以向上、下、左、右任意一个方向移动一个位置。请问，该人从左上角移动至右下角(n，m)处，至少需要移动多少次。数据保证(1,1) 处和(n,m)处的数字为 0，且一定至少存在一条通路。

算法思想:采用广度优先遍历，一层一层遍历解空间树，尝试枚举所有情况，若遇到能够继续前进的路径，则加入队列，直到找到出口距离根节点最近的路径，即为最优解。

#include <iostream>
using namespace std;

struct pos
{
    int x;
    int y;
    int steps; // BFS的深度
};

const int N = 1110;
pos queue[N*N];
int f=-1,r=-1;
int G[N][N];
int visit[N][N]; // 入队时访问,所有元素只入队一次

int BFS(int n,int m){
    pos u,v;
    u.x = 0, u.y=0,u.steps=0;
    queue[++r] = u; // 点1,1入队
    visit[0][0]=1;
    while (f<r)  // 队列不空
    {
       v = queue[++f]; // 取队首元素
       if(v.x==n-1 && v.y==m-1) return v.steps; // 到达终点
       else{
            if(v.y>0 && !G[v.x][v.y-1] && !visit[v.x][v.y-1]){ // 上
            u.x = v.x;u.y=v.y-1;u.steps = v.steps+1;
            queue[++r] = u;visit[u.x][u.y] = 1;
            }
            if(v.y<m-1 && !G[v.x][v.y+1] && !visit[v.x][v.y+1]){ // 下
                u.x = v.x;u.y=v.y+1;u.steps = v.steps+1;
                queue[++r] = u;visit[u.x][u.y] = 1;
            }
            if(v.x>0 && !G[v.x-1][v.y] && !visit[v.x-1][v.y]){ // 左
                u.x = v.x-1;u.y=v.y;u.steps = v.steps+1;
                queue[++r] = u;visit[u.x][u.y] = 1;
            }
            if(v.x<n-1 && !G[v.x+1][v.y] && !visit[v.x+1][v.y]){ // 右
                u.x = v.x+1;u.y=v.y;u.steps = v.steps+1;
                queue[++r] = u;visit[u.x][u.y] = 1;
            }
       }
    }
    
    
}

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            scanf("%d",&G[i][j]);
    printf("%d",BFS(n,m));
    return 0; 
}

八数码问题

在一个3x3的网格中，1~8这8 个数字和一个 x恰好不重不漏地分布在这 3 x 3 的网格中
例如:
1 2 3
X 4 6
7 5 8
在游戏过程中，可以把x 与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换 (如果存在)我们的目的是通过交换，使得网格变为如下排列(称为正确排列)
1 2 3
4 5 6
7 8 X

思想：采用广度优先遍历整个解空间树,即暴力的枚举所有的情况,直到找到距离根节点最近的解，即为所求

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>
using namespace std;

struct Pos
{
    string str; // 八数码的当前状态
    int x;
    int y;
    int steps;  // 树的深度
};

int BFS(int i, int j,string s){
    Pos u,v;
    unordered_set<string> strset;  // 集合,用于存储中间结果,以避免回溯兜圈子
    u.x =  i; u.y = j; u.steps = 0,u.str = s;
    queue<Pos> Q; // 当前节点入队
    Q.push(u);
    strset.insert(s); // 当前状态加入集合
    string t = "12345678x"; // 目标状态
    string tmps;  // x,y为x的位置
    while (!Q.empty())
    {
        v = Q.front(),Q.pop(); // 节点出队
        if(v.str == t) return v.steps; // 到达目标状态
        else{
            if(v.y>0){ // 可以向上滑动
                u.x = v.x, u.y = v.y-1,u.steps = v.steps +1; // 向上滑动
                tmps = v.str;
                swap(tmps[v.x*3+v.y],tmps[u.x*3+u.y]);
                if(strset.find(tmps)==strset.end()){ // 滑动后状态不在集合,加入集合和队列
                    u.str = tmps;
                    strset.insert(tmps);
                    Q.push(u);
            }
            }
            if(v.y<2){ // 可以向下滑动
                u.x = v.x, u.y = v.y+1,u.steps = v.steps +1;
                tmps = v.str;
                swap(tmps[v.x*3+v.y],tmps[u.x*3+u.y]);
                if(strset.find(tmps)==strset.end()){
                    u.str = tmps;
                    strset.insert(tmps);
                    Q.push(u);
            }
            }
            if(v.x>0){ // 可以向左滑动
                u.x = v.x-1, u.y = v.y,u.steps = v.steps +1;
                tmps = v.str;
                swap(tmps[v.x*3+v.y],tmps[u.x*3+u.y]);
                if(strset.find(tmps)==strset.end()){
                    u.str = tmps;
                    strset.insert(tmps);
                    Q.push(u);
            }
            }
            if(v.x<2){ // 可以向右滑动
                u.x = v.x+1, u.y = v.y,u.steps = v.steps +1;
                tmps = v.str;
                swap(tmps[v.x*3+v.y],tmps[u.x*3+u.y]);
                if(strset.find(tmps)==strset.end()){
                    u.str = tmps;
                    strset.insert(tmps);
                    Q.push(u);
            }
            }
        }
    }
    return -1; // 识别
}


int main(){
    char str[2];
    string s;
    int x,y,k=0;
    for(int i=0;i<9;i++){
        cin >> str; // cin读入空格则返回
        if(str[0] == 'x'){x = i/3;y=i%3;} // x的位置
        s+= str;
    }
    printf("%d",BFS(x,y,s));
    return 0;
}

图中点的层次

给定一个 n 个点 m条边的有向图，图中可能存在重边和自环所有边的长度都是 1，点的编号为 1~ n。请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果从 1 号点无法走到 n 号点，输出 -1.

算法思想：从1号节点出发，采用广度优先遍历，一层一层遍历节点，直到遍历到n号节点。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;
struct TNode
{
    int id;
    TNode* next;
};  // 邻接表节点

const int N = 1e5+10;
TNode* H[N];
int visit[N];  // 节点访问情况
queue<int> Q; // 队列

void insert(int a,int b){ // 插入边节点,采用头插法
    TNode* node = new TNode;
    node->id = b;
    node->next = H[a];
    H[a] = node;
}

int BFS(int u,int n){
    visit[u] = 1; // 置访问位
    Q.push(u);  // u节点入队
    TNode* p;int i;
    int steps = 0; // 遍历到的层次
    while(!Q.empty()){ // 队列不空
        int size = Q.size(); // 当前层节点数
        for(int j=0;j<size;j++){
            i = Q.front(),Q.pop(); // 节点出队
            if(i == n) return steps; // 找到n节点
            p = H[i];
            while (p)  // 访问当前节点邻节点
            {
                if(!visit[p->id]){ // 节点未访问，则入队
                    visit[p->id] = 1;
                    Q.push(p->id);
                    }
                p = p->next;
            }
        }
        steps++; // 当前层节点遍历完,层数+1
    }
    return -1;
}

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a,b;
    for(int i=0;i<m;i++){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        insert(a,b);
    }
    printf("%d",BFS(1,n));
    return 0;
}

3.有向图拓扑排序

算法思想：采用广度优先遍历，访问一个节点删除该节点的所有边，如果该节点的邻节点入度为0，,将节点入队。

#include <iostream>
using namespace std;

struct Edge
{
    int id;
    Edge* next;
}; // 边节点

const int N = 1e5+10;
Edge* G[N];
int degree[N]; // 入度
int Q[N]; // 队列
int f = -1,r=-1; // 队头和队尾

void insert(int a,int b){ // 插入边节点
    Edge* edge = new Edge;
    edge->id = b;
    edge->next = G[a];
    G[a] = edge;
    degree[b]++;
}

bool topsort(int n){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!degree[i]) // 找到入度为0的点入队
            Q[++r] = i;
    }
    int j;Edge* p;
    while (f<r)
    {
        j = Q[++f]; 
        p = G[j]; // 访问当前节点的邻节点
        while(p){ 
            degree[p->id]--; // 删除边
            if(!degree[p->id]) Q[++r] = p->id; // 入度为0则入队
            p = p->next;
        }
    }
    return r == n-1;
}

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a,b;
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        insert(a,b);
    }
    if(topsort(n))
        for(int i=0;i<=r;i++) printf("%d ",Q[i]);
    else printf("-1");
    return 0;
    
}

4.最短路问题

图参考：最短路问题（超详细~~）-CSDN博客

Dijkstra算法

Dijkstra算法适用于具有非负权重的图，这意味着图中的所有边必须具有正数或零的权重。如果图具有负权重，则应使用不同的算法，例如Bellman-Ford算法。

该算法的主要步骤如下：

初始化：选定起始点，将其加入到已求出最短路径的顶点集合S中，其他顶点则加入到还未求出最短路径的顶点集合U中。同时，设置起始点到其他顶点的距离初始值。
选择下一个顶点：从集合U中选出距离起始点最短的顶点k，并将其加入到集合S中，同时从集合U中移除顶点k。
更新距离：更新集合U中各个顶点到起始点的距离，并更新它们的路径。这是通过比较从起始点通过新加入的顶点k到达其他顶点的距离与当前已知的距离来实现的。
重复步骤2和3，直到遍历完所有顶点，即集合U为空为止。

需要注意的是，Dijkstra算法并不能处理具有负权边的图。如果图中存在负权边，可能会导致算法无法正确计算最短路径。在这种情况下，需要使用其他算法，如Bellman-Ford算法或Floyd-Warshall算法。

给定一个n个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值.请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 -1。

#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 510; // 最多节点数
int G[N][N];   // 图
int dist[N];   // 每个节点到原点最短距离
bool V[N];     // 记录已求出最短路径的边

int dijkstra(int n){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist); // 初始化距离为无穷
    dist[1]=0;  // 从第1个节点开始,距离为0
    int t;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
         t = -1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!V[j] && (t==-1 || dist[t]>dist[j])) // 选择剩余节点中最短距离节点
                t = j;
        V[t] = true;            // 第t个节点已经求出最短边,标识
        for(int j=1;j<=n;j++)   // 更新剩余节点的最短距离
            dist[j] = min(dist[j],dist[t]+G[t][j]);
    }
    if(dist[n]!=0x3f3f3f3f) // 第n个节点不可达
        return dist[n];
    else return -1;
}

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a,b,c;
    memset(G,0x3f,sizeof G);
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        G[a][b]=min(G[a][b],c);    // 重边合并为较短的边
    }
    printf("%d",dijkstra(n));
    return 0;
    
}

朴素的Dijkstra算法的时间复杂度是O(V^2)，其中V是图中节点的数量。这是因为算法需要遍历所有节点，并对每个节点的所有邻居进行更新操作。在稠密图（即边数接近节点数平方的图）中，由于每个节点都有很多邻居，因此朴素Dijkstra算法的性能可能是可接受的。

然而，在稀疏图（即边数远少于节点数平方的图）中，朴素Dijkstra算法可能不是最优选择。在这种情况下，使用优先队列（如二叉堆）进行优化的Dijkstra算法通常更为高效，其时间复杂度可以降低到O((V+E)log V)，其中E是图中边的数量。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 2e5+10;

struct Edge
{
    int id;         // 节点
    int d;          // 距离
    Edge* next; 
};

Edge* H[N];  // 邻接表
int dist[N];  // 最短距离
int V[N];     // 节点标识
typedef pair<int,int> PII;

void insert(int x,int y, int z){ // 头插法插入边
    Edge* edge = new Edge;
    edge->d = z;
    edge->id = y;
    edge->next = H[x];
    H[x] = edge;
}

int dijkstra(int n){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);   // 距离初始化为无穷
    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap; // 小根堆
    heap.push({0,1});  // 第一个节点入堆
    PII item;
    int id,d;
    Edge* p;
    while (heap.size())
    {
        item = heap.top();  // 最短距离节点出队
        heap.pop();
        d = item.first, id = item.second;
        if(V[id]) continue; // 当前节点已经求出最短距离
        p = H[id];
        while (p)          // 更新与该节点有边相连的所有节点的距离
        {
            if(dist[p->id]>d+p->d){
                dist[p->id] = d+p->d;
                heap.push({dist[p->id],p->id});
                V[p->id] = 1;
            }
            p = p->next;
        }
        
    }
    if(dist[n]!=0x3f3f3f3f)
        return dist[n];
    else return -1;  
}

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y,z;
    while(m--){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        insert(x,y,z);
    }
    printf("%d",dijkstra(n));
    return 0;
}

bellman ford算法

Bellman-Ford算法的核心思想是通过迭代来逐渐逼近最短路径。算法会对图中的所有边进行V-1次松弛操作（V是图中顶点的数量），每次松弛操作都会尝试更新源点到各个顶点的最短路径长度。通过多次迭代，算法最终能够计算出源点到所有其他顶点的最短路径。

然而，Bellman-Ford算法的时间复杂度相对较高，为O(VE)，其中V是顶点数，E是边数。这使得它在处理大规模图时可能效率较低。但是，Bellman-Ford算法有一个独特的优势，即它能够检测并处理负权环（即权重总和为负的环）。如果图中存在负权环，则源点到某些顶点的最短路径可能不存在（路径长度可以无限减小），此时Bellman-Ford算法能够检测出这种情况并给出相应的提示。

在实际应用中，如果需要处理带有负权重的边或者需要检测负权环的存在，Bellman-Ford算法是一个不错的选择。但是，如果图中没有负权重边且对性能有较高要求，那么Dijkstra算法或其他更高效的算法可能更为合适。

需要注意的是，在实现Bellman-Ford算法时，可以使用邻接表或邻接矩阵来存储图的结构。邻接表通常更为节省空间，并且在稀疏图中表现更好；而邻接矩阵在稠密图中可能更为方便。具体选择哪种存储方式取决于图的特性和实际需求。

给定一个 n 个点 m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数,请你求出从 1 号点到 n 号点的最多经过条边的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，输出impossible 。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 510;
const int M = 1e4+10;

struct Edge
{
    int a,b,x;
}H[M];

int dist[N];
int backup[N];

void bellman_ford(int n,int m,int k){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    Edge p;
    for(int i=1;i<=k;i++){  // 最多经过k条边,即更新k次
        memcpy(backup,dist,sizeof dist); // 防止串联,每次按照上次邻近节点的权值,而不是本次已经更新过的
        for(int j=0;j<m;j++){  // 更新每条边的距离
            p = H[j];
            dist[p.b] = min(dist[p.b],backup[p.a]+p.x);
        }
    }
    if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2) printf("impossible");
    else printf("%d",dist[n]);
}

int main(){
    int n,m,k;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    int a,b,x;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&x);
        H[i] = {a,b,x};

    }
    bellman_ford(n,m,k);
    return 0;
    
}

SPFA算法

SPFA算法的核心思想是使用队列来存储待优化的节点。初始时，将源节点加入队列，并初始化源节点到所有其他节点的距离为无穷大。然后，从队列中取出一个节点，对其所有出边进行松弛操作，即尝试更新源节点到该出边终点的最短距离。如果更新成功，且该终点不在队列中，则将其加入队列。重复这个过程，直到队列为空。

与Bellman-Ford算法相比，SPFA算法避免了不必要的重复计算。Bellman-Ford算法会对所有边进行V-1次松弛操作，而SPFA算法只会对需要进行松弛操作的边进行处理。因此，在大多数情况下，SPFA算法的效率要高于Bellman-Ford算法。

SPFA算法的平均时间复杂度是O(M)，其中M是图的边数。然而，最坏情况下，当图中存在负权环或者故意构造的数据使得算法性能下降时，SPFA的时间复杂度可能会退化到O(NM)，其中N是顶点数。

给定一个 n 个点 m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数,请你求出1号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到n 号点，则输出 impossible 。数据保证不存在负权回路

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;

struct Edge
{
    int id;         // 节点
    int d;          // 距离
    Edge* next; 
};

Edge* H[N];   // 邻接表
int dist[N];  // 最短距离数组
int V[N];     // 队列中的节点

void insert(int x,int y,int z){
    Edge* edge = new Edge;
    edge->id = y;
    edge->d = z;
    edge->next = H[x];
    H[x] = edge;
}

void spfa(int n){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    queue<int> q;  // 1号节点入队
    q.push(1);
    V[1] = 1;      // 1号节点在队列中
    int i;Edge* p;
    while (q.size())
    {
        i = q.front(); // 节点出队
        q.pop();
        V[i] = 0;   // 节点已经不在队列中
        p = H[i];   // 更新与当前节点相邻节点的距离
        while (p)
        {
            if(dist[p->id]>dist[i]+p->d){  // 距离需要更新
                dist[p->id]=dist[i]+p->d;  // 更新距离
                if(!V[p->id]){  // 节点不在队列,节点入队
                    q.push(p->id);
                    V[p->id] = 1;
                }
            }
            p = p->next;
        }
        
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) printf("impossible");
    else printf("%d",dist[n]);
    
}

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y,z;
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        insert(x,y,z);
    }
    spfa(n);
    return 0;

}

floyd算法

Floyd算法，也被称为Floyd-Warshall算法，是一种用于寻找给定加权图中所有顶点对之间的最短路径的算法。它利用动态规划的思想，通过逐步构建更长的路径来找到最短路径。Floyd算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是图中的顶点数。这意味着对于较大的图，算法可能需要较长的运行时间。但是，Floyd算法的优点在于其简单性和通用性，它可以处理带有负权重边的图，并且不需要知道图的所有信息就可以开始计算。

Floyd算法的基本思想是通过不断更新距离矩阵来计算最短路径。初始时，距离矩阵D存储的是图中所有直接连接的顶点对之间的距离。然后，算法遍历每个顶点k，并使用k作为中间点来尝试更新其他顶点对之间的距离。具体来说，对于每对顶点i和j，算法检查是否存在一条经过顶点k的路径比当前已知的最短路径更短。如果存在这样的路径，算法就更新距离矩阵D中i和j之间的距离。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 210;
const int inf = 1e9;
int G[N][N];

void floyd(int n){
    for(int i=1;i<=n;i++)  // 每次使用i节点更新最短距离
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                G[j][k] = min(G[j][k],G[j][i]+G[i][k]);
}

int main(){
    int n,m,k;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i==j) G[i][j] = 0;  // 对角线节点初始化为0
            else G[i][j] = inf;   // 节点初始化为无穷
    int x,y,z;
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        G[x][y] = min(G[x][y],z);  // 重边取较小的边
    }
    floyd(n);
    while (k--)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        z = G[x][y];
        if(z>inf/2) puts("impossible");
        else printf("%d\n",z);
    }
    return 0;
    
}

5.最小生成树

（1）prim算法

算法思想：从一个节点出发，每次选择一条到已选择点集最短的边加入集合（且不构成环），直到已选择完n-1条边

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 510;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int G[N][N];  // 邻接矩阵
int V[N];     // 访问数组
int dist[N];  // 最短距离

int prim(int n){
    memset(dist,inf,sizeof dist);  // 最短距离初始化为无穷
    int res=0;  // 最小生成树距离之和
    int t;
    for(int i = 0;i<n;i++){
        t = -1;
        for(int j=1;j<=n;j++)  // 从剩余节点中选择到当前集合最短的节点
            if (!V[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;
        if(i && dist[t]==inf) return inf; // 到集合的点不可达，图不联通
        if(i) res += dist[t];  // i=0时为边界值
        V[t] = 1;
        for(int k=1;k<=n;k++)  // 更新距离
            dist[k] = min(dist[k],G[k][t]);
    }
    return res;
}

int main(){
    memset(G,inf,sizeof G); // 图初始化
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a,b,c;
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); // 无向图,去除重边
        G[a][b] = G[b][a] = min(G[a][b],c);
    }
    int t = prim(n);
    if(t==inf) puts("impossible");
    else printf("%d",t);
    return 0;
}

(2)kruskal算法

算法思想：将所有边进行排序，每次选择最短的边加入集合（不构成环），直到加入n-1条边。算法可采用并查集优化。

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;
const int M = 2e5+10;
int p[N]; // 并查集父节点

struct Edge
{
    int a,b,w;
    bool operator< (const Edge &W) const{ // 排序时按照w进行排序
        return w < W.w;
    }
}E[M];

int find(int x){
    if(x != p[x]) p[x] = find(p[x]); // 路径压缩
    return p[x];
}

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i; // 每个节点属于一个集合
    int a,b,w;
    for(int i=0;i<m;i++){
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
        E[i] = {a,b,w};
    }
    sort(E,E+m); // 边按照权重排序
    int pa,pb;
    int res=0,cnt =0; // res为最小生成树距离之和,cnt为边数
    for(int i=0;i<m;i++){
        pa = find(E[i].a);
        pb = find(E[i].b);
        if(pa!=pb){  // 最短边加入集合;pa!=pb表明至少有一个节点没有加入集合,避免环
            p[pa] = pb;
            res += E[i].w;
            cnt++;
        }
    }
    if(cnt<n-1) puts("impossible");
    else printf("%d",res);
    return 0;
    
}

6.染色法判断二分图

一个图是二分图，当且仅当该图中不含奇数环。而奇数环可以通过染色法判定，在染色法中，每个节点可以染成黑色或者白色，但是相邻节点颜色不能相同。如果存在奇数环，则染色后一定会出现矛盾。

给定一个 n个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，请你判断这个图是否是二分图.

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
struct ENode  // 边结点
{
    int id;
    ENode* next;
};

ENode* H[N];
int color[N];

void insert(int a,int b){ // 头插法插入边
    ENode* node = new ENode;
    node->id = b;
    node->next = H[a];
    H[a] = node;
}

int DFS(int u,int c){
    color[u] = c;  // 染色
    ENode* p;
    p = H[u];
    while (p)
    {
        if(!color[p->id]){ // 相邻节点未染色,染成不同的颜色
            if(!DFS(p->id,3-c)) return 0; // 深度优先遍历染色
        }
        else if(color[p->id]==c) return 0; // 出现矛盾
        p = p->next;
    }
    return 1;
}


int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a,b;
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        insert(a,b);
        insert(b,a);
    }
    bool flag = true;
    for(int i=1;i<=n;i++) // 有可能有多个连通分量,只要有1个连通分量存在奇数环,则不是二分图
        if(!color[i]){  
            if(!DFS(i,1)){
            flag = false;
            break;
       } 
        }
    if(flag) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}

7.匈牙利算法

假设要给男生和女生进行匹配对象，有连线代表有好感，能够匹配，要求能够匹配的最多对象数。

算法思想：匈牙利算法先给每一个男生匹配他的一个看上的女生，如果出现了某个男生看中的女生已经匹配的情况，则给看中女生的对象找另一个对象来得到该女生。例如绿色连线，代表对象分手。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

struct Node  // 边结点
{
    int id;
    Node* next;
};

const int N = 510;
const int M = 1e5+10;
Node* H[N];  // 邻接表
int str[N],match[N]; // match记录匹配的最终情况

void insert(int u,int v){
    Node* node = new Node;
    node->id = v;
    node->next = H[u];
    H[u] = node;
}

bool find(int x){
    Node* p = H[x];
    while (p)
    {
        if(!str[p->id]){
            str[p->id] = 1; // 标记当前女生
            if(match[p->id]==0 || find(match[p->id])){ // 如果该女生没有对象或者该女生的对象能够匹配其他女生
                match[p->id] = x; // 匹配上该女生
                return true;
            }
        }
        p = p->next;
    }
    return false;
}

int main(){
    int n1,n2,m;
    scanf("%d%d%d",&n1,&n2,&m);
    int u,v;
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        insert(u,v);
    }
    int res = 0;
    for(int i=1;i<=n1;i++){
        memset(str,0,sizeof str); // str只是用于处理冲突的情况,循环开始初始化为0
        if(find(i)) res++;
    }
    printf("%d",res);
    return 0;
}

参考：活动 - AcWing