CSP-202305-2-矩阵运算

关键点总结：改变矩阵计算顺序优化时间复杂度

通过先计算 $K^T\times V$ 而不是先计算 $Q\times K^T$，有效地减少了计算时间，特别是在处理长序列时。这种优化通常在数据维度一不等时有显著效果，特别是当序列长度显著大于向量维度时。

1.原始的计算顺序

在Transformer的自注意力机制中，给定矩阵 $Q$（查询），$K$（键）和 $V$（值），计算首先涉及到以下步骤：

1. 计算 $Q\times K^T$（查询和键的点积），得到注意力得分矩阵。
2. 将注意力得分矩阵乘以 $V$（值矩阵），得到加权的值，这是最终的输出。

原始计算的时间复杂度主要由 $Q\times K^T$ 的计算决定，这个操作的时间复杂度为 $O(n^2\cdot d)$，其中 $n$ 是序列长度（例如，句子中的单词数量或向量数量），$d$ 是向量的维度。当 $n$ 很大时，这个操作非常耗时。

2.代码中的计算顺序

代码中采取了不同的计算顺序：

1. 首先，它通过与 $W$ 相乘来调整 $Q$ 中的每个元素（这对应于自注意力机制中的缩放操作，但在这个特定的实现中，$W$ 似乎用于不同的目的，比如加权或转换，这并不是标准的自注意力机制的一部分）。

2. 然后，它计算 $K^T\times V$，这个操作的时间复杂度为 $O(n\cdot d^2)$，因为它是在矩阵 $K^T$（维度 $d\times n$）和矩阵 $V$（维度 $n\times d$）之间进行的。

3. 最后，它计算调整后的 $Q$ 与 $K^T\times V$ 的结果，时间复杂度为 $O(n\cdot d^2)$。

3.时间复杂度比较

当 $n>d$（即，序列长度大于向量维度）时，代码中的计算顺序比原始计算顺序更有效率。原始方法的复杂度主要是由序列长度的平方决定的，而代码中的方法将这个平方项降低到了 $n$ 和 $d$ 的乘积，这在大多数实际情况下会减少计算量，尤其是在处理长序列时。

解题思路

搞清楚上面的点后，本质上就是简单的矩阵乘法，留意本题关于矩阵点乘计算规则的定义即可。

完整代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;

int main() {  

    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    long long n, d;
    cin >> n >> d;

    vector<vector<long long>>Q(n, vector<long long>(d));
    vector<vector<long long>>K_T(d, vector<long long>(n));
    vector<vector<long long>>V(n, vector<long long>(d));
    vector<long long>W(n);

    // 输入Q
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < d; j++)
        {
            cin >> Q[i][j];
        }
    }
    // 输入K_T
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < d; j++)
        {
            cin >> K_T[j][i];
        }
    }
    // 输入V
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < d; j++)
        {
            cin >> V[i][j];
        }
    }
    // 输入W
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> W[i];
    }

    // 计算 W * Q
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < d; j++)
        {
            Q[i][j] *= W[i];
        }
    }
     
    // 计算 K_T * V
    vector<vector<long long>>T1(d, vector<long long>(d));
    for (int i = 0; i < d; i++)
    {
        for (int j = 0; j < d; j++)
        {
            for (int k = 0; k < n; k++)
            {
                T1[i][j] += K_T[i][k] * V[k][j];
            }
        }
    }

    // 计算 Q * T1
    vector<vector<long long>>T2(n, vector<long long>(d));
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < d; j++)
        {
            for (int k = 0; k < d; k++)
            {
                T2[i][j] += Q[i][k] * T1[k][j];
            }
        }
    }

    for (const auto& it : T2) {
        for (const auto& jt : it) {
            cout << jt << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}