部分内容整理自张宇和网络

序

题型分布：

题型	单题分值	题目数量	总分值
选择题	5	3	15
填空题	5	1	5
解答题	12	1	12

*一道大题可能用到六部分所有知识

矩阵

性质

	$k$倍	和	乘积
行列式	$|kA|=k^n|A|$	$|A+B|\ne |A|+|B|$	$|AB|=|A||B|=|B||A|$
转置	$(kA{)}^T=k{A}^T$	$(A+B{)}^T=A^T+B^T$	$(AB{)}^T=B^T{A}^T$
逆	$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$	$A+B$未必可逆，且$(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$	$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
伴随	$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$	$(A+B{)}^{\ast }\ne A^{\ast }+B^{\ast }$	$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$

1. 行列式的乘积等于乘积的行列式$|AB|=|A||B|$
2. 转置伴随和逆 任意两个运算顺序可交换

基本运算

行列式

• $\prod _{i=1}^n{\lambda }_i=|A|$，所有特征值相乘结果等于行列式
• 矩阵可逆行列式不为零，矩阵不可逆行列式为零
• 矩阵逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数
• $r(A{A}^T)=r(A^{T}A)=r(A)$
• 可逆乘可逆必可逆

求行列式

• 加边法
• 伴随矩阵行列式可用原矩阵行列式＋特征值得出（见下方“伴随矩阵的特征值”一节）
• 递推法（通常是$n$阶行列式）

知乎 - 分块矩阵行列式

围绕矩阵$A$可逆

• 矩阵若可逆，逆矩阵必唯一
• 逆矩阵特征值倒数
• $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$，

1. 证明矩阵$A$可逆
2. 求矩阵$A^{-1}$

求逆矩阵：

1. 求$|A|\ne 0$
2. 求$A^{\ast }$
3. 代公式$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

---

证矩阵$A$可逆（利用性质）：

• 可逆矩阵$r(A)=n$（满秩则可逆）
• 可逆矩阵$|A|\ne 0$（行列式值不为零则可逆）
• （按定义）存在$AB=BA=E$则可逆
• 齐次线性方程AX=0，如果方程只有零解，则矩阵可逆，反之如果有无穷解，则矩阵不可逆
• 对于非齐次线性方程AX=b，如果方程只有一个特解，那么矩阵是可逆的；否则，如果有无穷解，矩阵是不可逆的。

秩

非零矩阵秩大于等于1，不满秩的矩阵的行列式必然为0

• 对于矩阵$A_{m\times n}$，必有 r ( A ) ≤ min ⁡ { m , n } r(A)\le\min\{m,n\} r(A)≤min{m,n}
• r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}
• 二级结论：对于矩阵$A_{m\times n}$，$r(A)=r(A^{T}A)$
• 两向量组被表出的秩不大
• 可逆矩阵满秩（秩等于阶数，行列式不为零）
• 若$A$可逆，则$r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)$
• 若$A$是一个非零列向量, 则$r(A{A}^T)=1$
• 若$n$阶矩阵$A$的某代数余子式$A_{ij}\ne 0$，意味着$r(A)\ge n-1$（2020数学2第七题）
• $AB=0$则$r(A)=r(B)\le 3$

$$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{l}nr(A)=n\\ 1r(A)=n-1\\ 0r(A)\le n-1\end{array}$$

迹

矩阵$A$的迹即对角线元素之和

$$tr(A)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}+...+a_{nn}$$

性质/结论：

• $r(C)=1$则$C^n=[tr(C){]}^{n-1}C$

---

性质：

1. $tr(A)=tr(A^T)$
2. $tr(AB)=tr(BA)$
3. 循环性：$tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)$
4. 相似矩阵迹相等，因为$$
5. $tr(A+B)+tr(A)+tr(B)$
6. 特征值之和等于矩阵的迹，特别是上三角矩阵，$tr(A)={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_{ii}$

关于5的解释如下：

设$A$、$B$都是$n$阶矩阵，若有可逆矩阵$P$，使$P^{-1}AP=B$则称$A$是$B$的相似矩阵，或说$A$和$B$相似。

基于第三点，存在$tr(A)=tr(PB{P}^{-1})=tr(P{P}^{-1}B)=tr(B)$，可推知第五点

---

伴随矩阵

伴随矩阵的核心在于它的定义和其他推导的二级结论

$$A^{\ast }=\left|\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& ...& A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& ...& A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& ...& A_{nn}\end{array}\right|$$

其余二级结论如下：

• $$\begin{gathered} A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E \\ \Rightarrow |A{A}^{\ast }|=||A|E| \\ \Rightarrow |A||A^{\ast }|=|A{|}^n \\ \Rightarrow |A^{\ast }|=|A{|}^{n-1} \end{gathered}$$
• $A^{\ast }=|A|A^{-1}$
• $$\begin{gathered} A^{\ast }(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A^{\ast }|E=|A{|}^{n-1}E \\ \Rightarrow (A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-1}(A^{\ast }{)}^{-1}=|A{|}^{n-1}(|A|A^{-1}{)}^{-1}=|A{|}^{n-2}A \end{gathered}$$
• $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

当提到伴随矩阵$A^{\ast }\ne 0$时，这意味着存在某个余子式$A_{ij}\ne 0$
$\Rightarrow A$中有$n-1$阶子式不为零
$\Rightarrow r(A)\ge n-1$

如果求多个余子式构成的式子（如$A_{11}+A_{22}+A_{33}$）就有可能用到伴随矩阵作为辅助

等价

---

计算矩阵等价可以行列变换同时出现，但是解方程组时只可以进行行变换

矩阵等价时列向量组之间、行向量组之间可能不等价（也可能等价），但秩一定相等。向量组等价看下面“向量组”一节的“等价小节”

矩阵n次方

CSDN - 常见各种类型的矩阵n次方求法
知乎 - 线代——求矩阵的n次方方法总结

$A$、$B$相似，则$A^n$、$B^n$相似

正交

正交矩阵行列式值为$\pm 1$之一

向量组

线性相关/无关

首先明确这个在描述的是向量组，而且处理方法跟它是行向量或者列向量无关

线性无关$\iff |A|\ne 0\iff$满秩$\iff Ax=0$只有0解$\iff A$可逆

即${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$线性相关等价于
$\iff Ax=0$有非零解
$\iff r(A)<n$

• $n$个$n$维向量${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$相关$\iff |{\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n|=0$
• $n+1$个$n$维向量必线性相关
• 两向量组被表出的秩不大（若不能被表出，秩之间无必然大小关系）
• 不成比例，线性无关
• 若$A=[{\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n]$相似于B，若B线性无关，则A线性无关

证明${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$线性无关的方法：

1. 定义法（见上面的流程图）（重组或乘）
2. 证明秩$r({\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n)=n$
3. 反证法

---

处理向量组$I$能由向量组$II$线性表出，而反过来不能的问题

关于被表出的秩不大的特例：若${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$可用${\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n$表出，但${\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n$不可用${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$表出，则$r({\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n)<r({\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n)$

若向量组$I$能由向量组$II$线性表出，且$r(I)=r(II)$，则两向量组等价

若${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$可用${\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n$表出，即$r({\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n)\le r({\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n)$

但另一方面由于向量组等价即可以互相表出，与前提“${\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n$不可用${\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n$表出”矛盾，则两秩必不可能相等，故$r({\alpha }_1$、${\alpha }_2...{\alpha }_n)<r({\beta }_1{\beta }_2...{\beta }_n)$

线性表出

若向量$\beta$可以由${\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n$线性表出
$\iff \exists$实数$k_1{k}_2...k_n$使$k_1\alpha +k_2\alpha +...+a_n\alpha =\beta$
$\iff \exists$实数$k_1{k}_2...k_n$使
$$({\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n)\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right]=\beta$$
$\iff$下面的方程组有解（方程组有解问题可以使用增广矩阵解方程组）
$$({\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n)\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right]=\beta$$
$\iff$秩$r({\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n)=r({\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n\beta )$

此处引用知乎用户的（来源见水印）的一张图

1. 研究秩相等与否
2. 反证法（根据表达式构造矛盾）
3. 若$k_s\ne 0$（根据题意选择）证明

表示法不唯一

若$\beta$可由${\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n$线性表示，且向量都是$n$维列向量，则方程组有$Ax=\beta$有无穷多解，即应求得$r(A)=r(A|B)<n$成立

等价

两个向量组能互相线性表出就称这两个向量组等价

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1. 向量组等价不要求每个组向量个数相同，只要维数一样即可
2. 计算/判断依据：向量组$I$和$II$存在关系$r(I)=r(II)=r(I|II)$即三秩相同
3. 向量组$I$和$II$等价则记为$(I)≌(II)$
4. 向量组和它的极大线性无关组是等价向量组

向量空间

结合3D图形领域常说的世界空间坐标和物体局部坐标比较好理解

基变换公式则是

线性方程组

我把它写在另一篇文章里了：线性方程组的求解问题

• 齐次方程组有无穷多解则$r(A)<n$，毕竟这样才能有$n-r(A)$个自由量，自由量含$k$，而$k$任意取值，那自然就是无穷多解
• $Ax=0$只有0解$\iff r(A)=n$
• $Ax=b$有唯一解$\iff r(A)=r(\overline{A})=n$
• 但是$Ax=0$只有0解不能推知$Ax=b$有唯一解

公共解问题

开头先说“因为方程组$(1)$与$(2)$的公共解即为联立方程组$(3)$（这里要具体写出来联立的方程组内容）的解”，就有两分
对联立方程组$(3)$做初等行变换有$\overline{A}=...$
若参数$a=...$则有解，此时…（按常规解法进行就可以了）

若给出的不是两个线性方程组，而是一个线性方程组和另一个方程组的解，则

同解问题

同解问题的本质是行变换（右乘矩阵）解不变

• 若$A$、$B$同解$\Rightarrow r(A)=r(B)$（不可反推）
• 常用$A$的解带入$B$的式子定$B$系数矩阵中的未知数，但是定出来之后还是要化简和$A$比较一下的，因为存在$B$的解包含$A$的解的情况，此时$B$包含一些独有的解。
• $A^{T}Ax=0$和$Ax=0$同解

特征值与特征向量

特征值和特征向量不是一对一的关系，一个特征值对应的特征向量可能构成一个空间（解空间）

如${\alpha }_1{\alpha }_2$是矩阵$A$关于特征值$\lambda$的特征向量，则$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$（非0时）仍是$A$关于$\lambda$的特征向量
如${\alpha }_1{\alpha }_2$是矩阵$A$不同特征值的特征向量，则$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$不是$A$的特征向量

• $\prod _{i=1}^n{\lambda }_i=|A|$，所有特征值相乘结果等于行列式
• $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=tr(A)$
• $k$阶矩阵最多会有$k$个特征值
• 不同特征值对应的特征向量是线性无关的
• 相同的特征值对应的特征向量可能线性无关也可能线性相关
• 能够相似对角化和是否不含重根没有必然联系
• 上三角矩阵主对角线元素就是特征值，若均不同，可立即推出能对角化

对于相同的特征值（重根），对应的特征向量可能构成一个解空间，但是这个n维的解空间内只有$n$个向量线性无关，其余向量均可用这$n$个线性无关的向量表示，所以可能线性无关也可能线性相关。

故也有结论：若${\xi }_1$、${\xi }_2$是属于同一个特征值$\lambda$的特征向量时，$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$也是属于特征值$\lambda$的特征向量

相似对角化与重根：对于$n$阶矩阵$A$的各个特征值中，对于各重根，若满足$n-r({\lambda }_{i}E-A)=n_i$，其中${\lambda }_i$是$n_i$重根。此时可以相似对角化，即这个$s$重根对应能有$s$个线性无关的特征向量

伴随矩阵特征值

秩为1的矩阵特征值的结论推导

凡是$n$阶方阵$A$秩为1，其特征值构成为$n-1$个0，和一个$tr(A)$

求特征值、特征向量

1. $A\alpha =\lambda \alpha (\alpha \ne 0)$
2. $|\lambda E-A|=0,({\lambda }_{i}E-A)x=0$
3. 如$P^{-1}AP=B$
   • 若$A\alpha =\lambda \alpha$则$B(P^{-1}\alpha )=\lambda (P^{-1}\alpha )$
   • 若$B\alpha =\lambda \alpha$则$A(P\alpha )=\lambda (P\alpha )$

关于2的注：由特征值$\lambda$解出特征向量$\xi$，实际上是在解线性方程组$(\lambda E-A)\xi =0$，具体操作与上一节线性方程组内容一致，参阅即可。

求解线性方程组最后解要加上系数$k$，但是要注明$k\ne 0$，因为特征向量不为零
求特征值要先带$|\lambda E-A|=0$再化简，不能先化简再代

矩阵相似

设$A$、$B$都是$n$阶矩阵，若有可逆的$n$阶矩阵$P$，使$P^{-1}AP=B$则称$A$是$B$的相似矩阵，或说$A$和$B$相似，记为$A\sim B$。

• [反身性]$A\sim A$
• [对称性]若$A\sim B$，则$B\sim A$
• [传递性]若$A\sim B$，$B\sim C$，则$A\sim C$

相似矩阵的性质：

若有$P^{-1}AP=B$，则$A$和$B$相似，可推知：

• A与B行列式相等$|A|=|B|$
• A与B具有相同的可逆性，即若$A$可逆，则有$A^{-1}$与$B^{-1}$相似
• A与B具有相同的秩、特征值多项式、特征值和迹
• $A^n\sim B^n$

由$A$和$B$相似还可推知$A+kE\sim B+kE$，进一步类似地：

• $|A+kE|=|B+kE|$
• $r(A+kE)=r(B+kE)$

若$A\sim B$则$A$是否能对角相似的问题可以转化为$B$能否对角相似的问题

※相似有这些性质，但有这些性质的未必相似

• 实对称矩阵有相同的特征值必相似
• 特征值是重根得具体讨论是否相似（见下一节）

$A$和$B$相似

• 矩阵$\lambda E-A$和$\lambda E-B$未必相等
• $A$和$B$未必相似于同一个对角矩阵
• $A$和$B$未必有相同的特征向量

矩阵的相似对角化

大题里面总要有某个题的中间步骤用到相似对角化

若对于$n$阶矩阵$A$

1. $A\sim \Lambda \iff A$有 $n$个线性无关的特征向量$\xi$
2. $A\sim \Lambda \iff n_i=n-r({\lambda }_{i}E-A)$，其中${\lambda }_i$是$n_i$重根
3. $A$有$n$个不同的特征值$\lambda \Rightarrow A\sim \Lambda$
4. $A$是实对称矩阵$\Rightarrow A\sim \Lambda$

前两个是充要条件，后两个是充分条件

相似对角化的意义

参阅知乎文章：理解矩阵的相似对角化

如果矩阵$A_{n\times n}$能够相似对角化，则会有$P^{-1}AP=\Lambda$，其中$P$称为相似变换矩阵，且$P$不唯一。因为P是由$n$个线性无关的特征向量构成的（由于解出特征向量是一个解线性方程组的问题，其解通常构成一个空间，而在空间内选取一组线性无关的向量有很多种选法），出于方便使用，$P$往往会选择为正交矩阵。

相似对角化的意义就是坐标系的变换。作用是通过对坐标系的变换，选取不同的基，使某些运算简单些。（此处就对应了常见题型“由特征值、特征向量反求$A$”）

如求$B^n$，若有$B^n=P^{-1}{\Lambda }^{n}P$，此处的${\Lambda }^n$计算肯定比$B^n$的计算方便

$$\begin{gathered} AP=A({\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3)=({\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3)\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& & \\ & a_2& \\ & & a_3\end{array}\right] \\ \iff (A{\gamma }_1\text{, }A{\gamma }_2\text{, }A{\gamma }_3)=(a_1{\gamma }_1\text{, }{a}_2{\gamma }_2\text{, }{a}_3{\gamma }_3) \end{gathered}$$
显然对角矩阵的值是$A$的特征值，$P$的列向量是$A$的特征向量

---

若$P^{-1}AP\sim B\ne \Lambda$，则此处的$P$ 不是$A$d的特征向量

判断相似

考研讨论的矩阵一般都是实矩阵

• 实对称矩阵必可相似于对角矩阵
• 特征值不重复的矩阵必可相似于对角矩阵
• 特征值有重根且$k_i=n-r({\lambda }_{i}E-A)$的必可相似于对角矩阵，其中$k_i$是重根${\lambda }_i$的个数

藉由传递性：若$A\sim B$，$B\sim C$，则$A\sim C$，证明矩阵$A$和$C$相似实际上需要找到中间的矩阵（通常是对角矩阵）$\Lambda$，证出$A\sim \Lambda$和$C\sim \Lambda$

判断不相似（相似的4个必要条件）

• $|A|\ne |B|$
• $r(A)\ne r(B)$
• ${\lambda }_A\ne {\lambda }_B$
• $\sum a_{ii}\ne \sum b_{ii}$
• $A\sim \Lambda$但$B$不可相似对角化
• $A+kE\nsim B+kE$则$A$和$B$不相似

判断相似

• 相似于同一对角矩阵的两矩阵相似（即上面的传递性）
• 实对称矩阵相似$\iff$两矩阵特征值一样

求可逆矩阵$P$使$P^{-1}AP\sim \Lambda$

$P$是$A$的特征向量

1. 预处理
2. 求特征值（$|\lambda E-A|=0$得到${\lambda }_1$、${\lambda }_2$、${\lambda }_3$）
3. 求特征向量
4. 构造可逆$P=[{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3]$

$$P^{-1}AP=\Lambda =\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right]$$

显然若有重根就得按解线性方程组的方法算出解空间内的一组（$k$个）线性无关的向量作为$k$重根的特征向量${\alpha }_1\cdots {\alpha }_k$，加上其余的特征向量构成$P=[{\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n]$

求正交矩阵$Q$使$Q^{-1}AQ\sim \Lambda$

关键是注意单位化

1. 预处理
2. 求特征值（$|\lambda E-A|=0$得到${\lambda }_1$、${\lambda }_2$、${\lambda }_3$）
3. 求特征向量
4. 改造特征向量
   • 若${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ 只需单位化
   • 若${\lambda }_i={\lambda }_j$（特征值有重根）先施密特正交化（如果不正交的话）再单位化

特征向量内积不得零就得正交化

施密特正交化

知乎 - 如何理解施密特正交化

知识串联

说明：

1. 得到$n$阶矩阵$A$
2. 求出$\lambda$和$\xi$（有多个）
3. 确定${\xi }_1{\xi }_2...{\xi }_n$是$n$个线性无关向量
4. 构造$P=({\xi }_1{\xi }_2...{\xi }_n)$
5. 确定$P$可逆
6. 存在下式，且构成下式的$\lambda$均为$A$的特征值

$$P^{-1}AP=\left|\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right|$$

对角线上的$\lambda$的顺序是1、2…n，是因为构成$P$的向量下标也是这个顺序，这俩得保持一致

构成对角化矩阵的元素就是原矩阵$A$的特征值

二次型

$$通过x=Py将x^{T}Ax变换为y^T{P}^{T}APy$$

显然在原先的$x^{T}Ax$中参数（变量/坐标轴）是$x$，系数矩阵的$A$，而变化之后参数是$y$，系数矩阵是$P^{T}AP$，如果$P^{T}AP$是对角矩阵，则无交叉项（变成了标准型）

• $P^{-1}AP=\Lambda$：相似对角化（上一节特征值的东西）
• $P^{T}AP=\Lambda$：合同对角化

相似和合同本无必然联系，但是在实对称矩阵下相似必合同，在实对称矩阵下合同的充要条件的

二次齐次多项式（二次型）可以写为矩阵形式$f(x)=x^{T}Ax$，其中$A=A^T$，是个实对称矩阵，叫做系数矩阵。二次型写成矩阵的形式有很多种方式，选用实对称矩阵是因为方便后续计算，利于后面研究问题。

• 系数矩阵$A$的秩就是二次型的秩
• 可逆线性变换不会改变二次型的秩
• 正交变换的意义是对坐标轴进行旋转，但是不会导致图形的扭曲
  发现像坐标变换的先看行列式，若行列式为零就不是坐标变换

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$$x^T(A+B)x=x^{T}Ax+x^{T}Bx$$

合同

合同的前提是在讨论实对称矩阵

$f(x)=x^{T}Ax$，$g(y)=y^{T}By$，若有矩阵$C$使得$x=Cy$（亦即$C^{T}AC=B$），则$A$与$B$合同，记为$A\simeq B$。$x=Cy$即原坐标系与新坐标系下的坐标替换公式，

阅读：矩阵合同的本质是什么，在坐标系或者基中？ - 马同学的回答 - 知乎

做合同变换的意义是使二次型没有交叉项（即只有平方项，并且这种形式称为标准型）。而标准型的系数矩阵恰恰只有对角线有元素，其他位置为0，这和“矩阵相似对角化”这一操作得到的结果不谋而合，所以相似对角化能作为矩阵化为标准型用到的手段。

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二次型化为标准型的三种方法：

• 配方法
• 正交变换
• 合同变换

详细可参阅：

• 请问求二次型的标准型的三种方法？ - yfli-math的回答 - 知乎
• 正交变换最强总结笔记，解决每一个考研线代人的理解难关 - 煜神学长的文章 - 知乎
• kaysen学长：配方法化二次型为标准型通俗讲解！理解门槛降为0，不再配出一地鸡毛！

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判断合同的方法：

• 两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同
• 实对称矩阵相似必然合同
• 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵

惯性定理

同一个二次型通过不同的可逆变换，所得的不同标准形，系数为正的项数（正惯性指数）和系数为负的项数（负惯性指数）相同。

依靠惯性定理比较两个二次型是否能互相转换

• 使用特征值求正负惯性指数的数目
• 配方法求正负惯性指数的数目

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欲求正负惯性指数需要先求标准型，即由$|\lambda E-A|=0$算特征值看正负项数目即可

配方法

配方法得到一个新的式子（下为例子）

$$(x_1+x_2+2x_3{)}^2+(x_2+5x_3{)}^2+x_3^2\Rightarrow y=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 5\\ 0& 0& 1\end{array}\right]x\iff y=Px\iff x=P^{-1}y$$

那个$P^{-1}$才是坐标变换

把二次型A化为另一个非标准型的二次型B

正交变换化为标准型

经过坐标变换，二次型矩阵一定合同
经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似

求二次型$x^{T}Ax$在正交变换下的标准型就也就是求二次型矩阵$A$的特征值

对于任给的$n$元二次型$f(x)=x^{T}Ax$，总有正交变换$x=Qy$把$f(x)$化为标准型$g(y)={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+...+{\lambda }_n{y}_n^2$，其中${\lambda }_1,{\lambda }_2...{\lambda }_n$是$A$的特征值

若$Q$是正交矩阵，$x=Qy$就是正交变换。

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实际上就是对二次型的系数矩阵$A$求相似对角化的矩阵$\Lambda$，那就是标准型，然后对应的坐标变换$x=Qy$的$Q$由$A$的特征值构成，并且得正交化和单位化

步骤：

1. 根据二次型写出$A$
2. 求$A$的$\lambda$和$\xi$
3. ${\xi }_1...{\xi }_n$正交化&单位化为${\eta }_1...{\eta }_n$，则正交矩阵$Q=({\eta }_1...{\eta }_n)$，且有性质$Q^T=Q^{-1}$，$Q^{-1}AQ=\Lambda$
4. 令$x=Qy$则$f(x)=x^{T}Ax=(QY{)}^{T}AQY=Y^T{Q}^{T}AQY=Y\Lambda Y$

显然，这里是用正交矩阵$Q$把$A$相似对角化

标准型项数的关系

标准型/规范性项数即原先系数矩阵的秩（经过坐标变换秩不变）

显然在三维空间下，若化为的标准型为$y_1+y_2$（两项），则原二次型秩为2，显然必有其中一个特征值$\lambda =0$

规范型

得到规范性的前提是得到标准型，对标准型做伸缩变换即可。标准型的求法参见上方内容。

规范型只和平方项系数正负有关，和系数大小无关

倘若给出的不是标准型（即含有交叉项），则可考虑配方法。若配方法过于复杂，则应当对原二次型的系数矩阵$A$ 求特征值，根据特征值的正负数目（正负惯性指数）确定规范型的正负

正定

前提有$A=A^T$（即正定隐含的条件就是矩阵是对称矩阵）

• $A$正定，$A^T$必正定（因为实对称矩阵$A=A^T$）
• $A$正定$\iff A^{-1}$正定（这个是正反都成立的）
• $A$正定$\Rightarrow A^{\ast }$正定（这个是没法倒推的）

处理步骤：

• 写出二次型的系数矩阵（如果需要）
• 检查是否对称
• 证明正定

证明正定的方法：

• 定义法
• 特征值大于0（充要条件）
• 正惯性指数=n（和单位矩阵合同$A=C^{T}EC=C^{T}C$）

正定的必要条件：平方项系数大于0（平方项/对角线元素有$\le 0$的立即推不正定）
充要条件：所有顺序主子式都大于0（一般是判断某个项的系数取值）

$$如\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& 2\\ 1& 2& 5\end{array}\right]的二阶主子式\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|小于零$$

因为正定所以行列式大于0
正定必可逆

附录1：相关结论的说明/例证

主对调，副变号

主对调副变号是求二阶矩阵的

矩阵相似未必可以对角化

另一种说法是$A\sim B$无法推出$A\sim \Lambda ,B\sim \Lambda$

---

如对于矩阵$$A=\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right|B=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|$$

存在$p=\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right|$使得$P^{-1}AP=B$，但是$A$和$B$均不可相似对角化。因为它们的特征值都为1（二重根），但是由于$2\ne n-r(E-A)$（其中$n=2$），故而无法相似对角化（但是确实相似）

$A$正定$\iff A^{-1}$正定

已知$A$正定，又因为正定矩阵一定是实对称矩阵，故有$A=A^T$，对此式取逆，有$A^{-1}=(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$。

又因为$A$的特征值${\lambda }_i$全大于0，所以$A^{-1}$的特征值$\frac{1}{{\lambda }_i}$也全大于0

故有$A$正定，$A^{-1}$必正定

---

伴随的情况也类似，但是为什么不能反推呢，有个反例：

$A$的三个特征值都是-1，此时$A^{\ast }$的三个特征值由$\frac{-1\times -1\times -1}{-1}=1$为正，这个反推不回去的

附录2：一些可以横向比较的概念辨析

矩阵的等价/相似/合同

如何形象地理解矩阵的相似与合同？ - PeiLingX的回答 - 知乎

相似的矩阵是同一个线性变换在不同基下的矩阵。
合同的矩阵是同一个双线性形在不同基下的矩阵。

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相似必等价，等价未必相似。因为相似的$P^{-1}AP$中的$P^{-1}$就是等价中的$QAP$中的$Q$

等价合同相似都得同型

• 等价：秩相等
• 相似：特征值相同或相似于同一对角阵（有重根得另外考虑，即特征值相同不一定相似）
• 合同：如果是实对称矩阵得正负惯性指数相同

$$实对称矩阵相似\iff 特征值相同$$

对称和反对称

若$A^T=-A$则为反对称

• 主对角线为0，其余对应元素为相反数

对$A^T=-A$求行列式，则有$|A|=|A^T|=|-A|=(-1{)}^n|A|$

• 若反对称矩阵行列式不为零则推知n为偶数

附录3：收集的其他人有用的文章

我的意思是没事时可以看看

矩阵迹（trace）, 行列式（determinate）
线性代数小结02伴随矩阵的十二个性质
22考研数学一143分经验贴

附录4：题型归纳与方法总结

x^n项系数

别忘乘逆序数

分块矩阵

知乎 - 分块矩阵行列式公式

秩1矩阵性质

AB=O

当两个矩阵存在关系$AB=O$并不意味着$A$或$B$为零矩阵。事实上$AB=O$是$|A||B|=0$的充分不必要条件。解该类问题的思考角度有：

1. $X＝B\ne 0$就是$AX＝0$的非零解
2. 从秩的角度入手

如 880.Z10.J.二.(8) 对$n$阶矩阵$A$得到的$A(A-E)=0且A\ne E$

r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\le \min\{r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}

矩阵的幂

1. 若$A\sim B$即$P^{-1}AP=B$则$A=PB{P}^{-1}$，$A^n=P{B}^n{P}^{-1}$
2. 找规律（算$A^2$、$A^3$等）
3. 若方阵$A$有$r(A)=1$则有$A^n=tr(A{)}^{n-1}A$，其中迹$tr(A)$为对角线元素和，注意是原矩阵，不是化简矩阵的迹
4. 若$A=\alpha {\beta }^T$则对于$A^n=\alpha {\beta }^T\alpha {\beta }^T...\alpha {\beta }^T=\alpha ({\beta }^T\alpha )({\beta }^T\alpha )...({\beta }^T\alpha ){\beta }^T$
5. 分块矩阵的幂运算规则（见下式）

$${\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{A}^n& O\\ O& B^n\end{array}\right]$$
6. 当分块矩阵的块退化到大小为1的时候，就变成了对角矩阵的乘幂的性质。
7. 组合数选择，如$(A+E{)}^n$，直接展开，在某些特殊幂次下$A^m$可能等于0，这样会把整个展开式消去绝大部分

上述的意思是$$(A+E{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{E}^{n-i}{A}^i$$

线性相关

对于一个每个向量四维的向量组${\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3$判断线性相关，由于其系数矩阵不是方阵，无法使用行列式来判断，就得看系数矩阵的秩，有必要指出的是化简时可以同乘含$t$的倍数，下为例：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 3-t\\ 0& 0& 2+t\end{array}\right]$$

此时若$t\ne 3$且$t\ne -2$则$r(A)=3$，因为第三行除以$3-t$，第四行除以$2+t$，两行都变为1后可以消去一行

另一方面若$r(A)<3$则线性相关

若$A=({\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n)$是方阵则看行列式是否为0，为0则相关

线性表出

构造对称矩阵

与转置矩阵相加，即$$\begin{gathered} a_{ii}=b_{ii} \\ {a}_{ij}=\frac{1}{2}(b_{ij}+b_{ji}) \end{gathered}$$

$A^2=A$与特征值

设$A\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0$则$A^2\alpha ={\lambda }^2\alpha$，由$A^2=2A$，则$({\lambda }^2-\lambda )\alpha =0$。其中特征向量不能为0，则${\lambda }^2-\lambda =0$，显然特征值分别是0或2

这时候通常是让你确定二次型$A$（对角矩阵）的，然后你就得把$0$和$2$往这个对角矩阵里填。题目中的其他条件会给出$A$的秩，例如基础解系的结构。

以$r(A)=2$为例，那就得填两个$2$进去，所以长下面这样

$$\left[\begin{array}{ccc}2& & \\ & 2& \\ & & 0\end{array}\right]$$

二次型中的$x^T(A^{T}A)x$

这算是很多题型出现$x^T(A^{T}A)x$后必有的中间运算固定套路

$x^T(A^{T}A)x=(x^T{A}^T)(Ax)=(Ax{)}^T(Ax)$

$Ax$是一个$n\times n$的矩阵和一个$n\times 1$的矩阵相乘，那结果就是$n\times 1$的列向量

$$设Ax=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]故(Ax{)}^T(Ax)的结果是b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2\ge 0$$

显然有如下结论

• $(Ax{)}^T(Ax)>0\iff \exists b_i\ne 0$
• $(Ax{)}^T(Ax)=0\iff \forall b_i=0$

---

该结论常在证明正定时候使用，因为对于$\forall x\ne 0$必有$(Ax{)}^T(Ax)\ge 0$

$A+kE$判断相似

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 2\\ 0& 0& 2\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$$
判断上面的两个矩阵是否相似
$$\begin{gathered} A-2E=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right],r(A-2E)=1 \\ B-2E=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right],r(B-2E)=2 \end{gathered}$$

不相似

求过渡矩阵

欲求由$A$到$B$的过渡矩阵，即求可逆矩阵$P$使得$B=AP$，其做法是对$(A|B)$做初等行变换，化为$(E|P)$，即为所求