目录
概念：
公平组合游戏ICG
有向图游戏
Nim游戏
先手）必胜状态
先手）必败状态
如何确定先手是否必胜或者必败（都采用最优策略）
证明：全部异或为0则是必败状态
综上：
例子
概念：
公平组合游戏ICG
若一个游戏满足:
1.由两名玩家交替行动;
2.在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关;
3.不能行动的玩家判负;
则称该游戏为一个公平组合游戏。
NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件2和条件3。
有向图游戏
给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负，该游戏被称为有向图游戏。
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。
Nim游戏
NIm就是一种公平组合游戏。
Nim游戏是一个古老的数学游戏，通常由两名玩家轮流进行。游戏使用一堆物品，例如棋子、石头或者硬币，这些物品被分成几堆，每堆可以有任意数量的物品。玩家在每一回合可以选择一堆物品，并且从中取走任意数量的物品，但是至少要取走一个。最后取走最后一个物品的玩家获胜。
Nim游戏的关键在于掌握取物品的策略，因为有正确的方法可以确保你获胜，无论对手怎么移动。这个策略涉及到让每一堆物品的数量保持在特定的模式，这样你就可以控制游戏的走向，迫使对手进入必败局面。
Nim游戏可以有很多变种和扩展，包括多堆物品、多个玩家或者其他规则的变化。
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先手）必胜状态
先手进行某一个操作，留给后手是一个必败状态 时，对于先手来说是一个必胜状态。即先手可以走到某一个必败状态。
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先手）必败状态
先手不管使用什么策略，都只留给后手必胜的状态。
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如何确定先手是否必胜或者必败（都采用最优策略）
我们使用异或（XOR）运算来确定每一堆物品的数量。
- 如果所有堆物品的数量进行异或结果为0，则这是一个必败状态。
- 否则，是一个必胜状态。
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证明：全部异或为0则是必败状态
分情况讨论：
1.当所有堆的物品数目都为 ，
2.当前存在
证明，一定可以通过某种方式（减少某些物品的数量）使得情况2的异或值变为 。
假如 的二进制表示中最高的一位
在第
位。
那么意味着 中必然至少存在一个数
，
的第
位的值是
。
那么 ，
是合法的 。
现在将拿走 中
数量的东西，则
。
拿走之后所有堆的物品数目再进行异或：
证明完成。
3.当前
证明，不管证明去拿多少数目，剩下的所有数异或值都不是0。
反证：假设拿出 中
个数目，剩余
，剩下所有数的异或值为
。
则有 ①
原有 ②
再将 ① 和 ② 者进行异或运行，相同的数就被抵消掉，剩余
说明
，与假设矛盾。证明完成
综上：
当全是0的时候，那么先手必输。
如果当前先手中数目异或不为 ，那么可以取出某个数的值使得轮到后手时，手中数目异或值为
。后手不管怎么拿，再次轮到先手时，异或值都不会为
。保证了先手始终 异或不为
的状态，而后手始终为
的状态，最后后手会首先遇到全
状态，先手始终处于必胜态。
如果先手一开始 异或值就为 ，那么后手可以始终保持最优策略使得先手 异或为
，先手处于必败态。
K-Nim游戏：每次只能取k个
例子
给定 n 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。
问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。
输入格式
第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个数字，其中第 i 个数字表示第 i 堆石子的数量。
输出格式
如果先手方必胜，则输出
Yes。否则，输出
No。数据范围
1≤n≤10^5,
1≤每堆石子数≤10^9输入样例：
2 2 3输出样例：
Yes
import java.io.*;
class Main{
static int n;
public static void main(String[] args) throws IOException{
BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
n = Integer.parseInt(in.readLine());
String[] s = in.readLine().split(" ");
int res = 0;
for(int i=0;i<n;i++)
res ^= Integer.parseInt(s[i]);
if(res==0) System.out.println("No");
else System.out.println("Yes");
}
}后续会更新更多版本的Nim游戏。
