目录
- 背包问题
- 01背包
- 二维dp数组01背包
- 一维 dp 数组（滚动数组）
- 分割等和子集
背包问题
01背包
有n件物品和一个最多能背重量为 w 的背包，第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
暴力的解法： 回溯，时间复杂度就是 o ( 2 n ) o(2^n) o(2n)，这里的n表示物品数量。
暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化。
- 举例： 背包最大重量为4。
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
问背包能背的物品最大价值是多少？
二维dp数组01背包
-
dp数组：dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
-
递推公式：两个方向推出来dp[i][j]
- 不放物品 i ：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递推公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
-
初始化
如果背包容量 j 为 0 的话，dp[i][0]， 无论选取哪些物品，背包价值总和一定为0。
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
-
遍历顺序
两个遍历维度： 物品与背包重量
先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：
先遍历背包，再遍历物品呢，如图：
public class BagProblem {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {1,3,4};
int[] value = {15,20,30};
int bagSize = 4;
testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
}
/**
* 动态规划获得结果
* @param weight 物品的重量
* @param value 物品的价值
* @param bagSize 背包的容量
*/
public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){
// 创建dp数组
int goods = weight.length; // 获取物品的数量
int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];
// 初始化dp数组
// 创建数组后，其中默认的值就是0
for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
// 填充dp数组
for (int i = 1; i < weight.length; i++) {
for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {
if (j < weight[i]) {
/**
* 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的
* 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值
*/
dp[i][j] = dp[i-1][j];
} else {
/**
* 当前背包的容量可以放下物品i
* 那么此时分两种情况：
* 1、不放物品i
* 2、放物品i
* 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大
*/
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
}
}
}
// 打印dp数组
for (int i = 0; i < goods; i++) {
for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
System.out.print(dp[i][j] + "\t");
}
System.out.println("\n");
}
}
}
一维 dp 数组（滚动数组）
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。
注意： 遍历背包的顺序是倒序遍历，保证物品只放入一次。
从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagWight = 4;
testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);
}
public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){
int wLen = weight.length;
//定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量
for (int i = 0; i < wLen; i++){
for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
//打印dp数组
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
System.out.print(dp[j] + " ");
}
分割等和子集
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
dp[0]一定是0。如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
class Solution {
public boolean canPartition(int[] nums) {
if(nums == null || nums.length == 0) return false;
int n = nums.length;
int sum = 0;
for (int num : nums) {
sum += num;
}
if (sum % 2 != 0) return false;
int target = sum / 2;
int[] dp = new int[target + 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
if(dp[target] == target) return true;
}
return dp[target] == target;
}
}
