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这个文件夹中的两个案例研究来自气候科学和生物地球科学，遵循以下审查论文中的 QAD-问卷和方法选择流程图（包含在 tigramite github 教程文件夹中）：

Runge, J., Gerhardus, A., Varando, G., Eyring, V. & Camps-Valls, G. Causal inference for time series. Nat. Rev. Earth Environ. 10, 2553 (2023).

该审查论文的末尾列出了一些用于解决选定 QAD 问题的软件和方法。

这个例子将演示使用基于因果推断的技术来调查空气温度（Tair）对生态系统呼吸（Reco）的因果效应，数据还包括总初级生产力（GPP）和短波辐射（Rg）。为了更好地说明非参数因果效应估计，这个案例研究考虑了一个具有已知定量基准真实性的合成系统：

在这些方程中，被解释为一个结构因果模型（SCM），其中${\eta }_{\dot{t}}$
是相互独立的标准正态噪声项，除了Tair，其中${\eta }_{\dot{t}}^{Tair}={\eta }_t+\frac{1}{4}\ast {ϵ}_t^3$
（标准正态噪声项和）具有立方指数，以表示更极端的温度。SCM展示了Reco和Tair之间的单峰关系（请参见下图中的干预基准真相），这在真实数据中也被发现（请参见论文）。

分析将首先说明因果发现，然后进行因果效应估计。让我们从导入一些标准Python包以及tigramite因果推断包开始。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.transforms as mtransforms

import sys
from copy import deepcopy

import sklearn
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.neural_network import MLPRegressor
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from scipy.stats import gaussian_kde
import warnings
from sklearn.exceptions import DataConversionWarning
warnings.filterwarnings(action='ignore')

import tigramite
import tigramite.data_processing as pp
import tigramite.plotting as tp

from tigramite.models import LinearMediation, Models
from tigramite.causal_effects import CausalEffects

from tigramite.pcmci import PCMCI
from tigramite.independence_tests.robust_parcorr import RobustParCorr

数据生成与绘图

步骤紧密遵循QAD模板（综述论文中的表1和图2流程图）。与气候示例不同，这里所有变量（节点）都已定义为每日连续值的时间序列。下一个问题是关于创建一个平稳数据集（图2流程图）。与气候示例不同，这里考虑了多个数据集（多个站点）的设置。在考虑的合成示例中，由于站点只是同一SCM的不同实现，因此平稳性是通过构造满足的（除了所有站点共享的季节性），因此，不同站点的时间序列可以简单地汇总（合并）。为了减轻季节性非平稳性，只考虑4月至9月（模型月份）的时期（见下图）。

# Time series length is 6 years
T = 365*6 + 1

# 4 Variables
N = 4

# We model 5 measurement sites
M = 5

data_dict = {
   }
mask_dict = {
   }
for site in range(M):

    modeldata_mask = np.ones((T, N), dtype='int')
    for t in range(T):
        # April to September
        if 90 <= t % 365 <= 273:
            modeldata_mask[t,:] = 0
            
    mask_dict[site] = modeldata_mask

    modeldata = np.zeros((T,N))
    random_state = np.random.RandomState(site)
    noise = random_state.randn(T, N)
    noise[:, 1] += 0.25*random_state.randn(T)**3
        
    for t in range(1, T):
        modeldata[t,0] = np.abs(280.*np.abs(np.sin((t)*np.pi/365.))**2 + 50.*np.abs(np.sin(t*np.pi/365.))*noise[t,0])
        modeldata[t,1] = 0.8*modeldata[t-1,1] + 0.02*modeldata[t,0] + 5*noise[t,1]  
        modeldata[t,2] = np.abs(0.2* modeldata[t-1, 2] + 0.002*modeldata[t,0] * modeldata[t,1] + 3*noise[t,2]) 
        modeldata[t,3] = np.abs(0.3*modeldata[t-1,3] + 0.9*modeldata[t,2] * 0.8**(0.12*(modeldata[t,1]-15)) + 2*noise[t,3])
    data_dict[site] = modeldata

# Variable names
var_names = ['Rg', 'Tair', 'GPP', 'Reco']

# Init Tigramite dataframe object
dataframe = pp.DataFrame(data=data_dict, 
                    mask = mask_dict,
                    analysis_mode = 'multiple',
                    var_names=var_names)

fig_axes = tp.plot_timeseries(dataframe,
                   grey_masked_samples='data',
                   adjust_plot=False,
                   color = 'red',
                   alpha=0.6, 
                   data_linewidth=0.3,
                   selected_dataset=0)

for index in range(1, len(data_dict)):
    adjust_plot = False
    if index == M - 1: 
        adjust_plot = True
    color = ['red', 'green', 'blue', 'yellow', 'lightblue'][index]
    tp.plot_timeseries(dataframe,
                       fig_axes =fig_axes,
                       grey_masked_samples='data',
                       adjust_plot=adjust_plot,
                       color=color,
                       time_label='day',
                       alpha=0.6, 
                       data_linewidth=0.3,
                       selected_dataset=index)
plt.show()

因果发现分析

在得到这个平稳的数据集后，第一个因果问题涉及因果发现。为了选择合适的因果发现方法，必须确定可以合理做出的假设。

平稳性假设、确定性、潜在混杂因素

这里的数据来自多个数据集（因果发现框架中的蓝色框，论文中的图2），然而，这些数据集共享相同的基础分布，下一个问题是这个系统是否是确定性的。考虑到在这个规模下的动态复杂性，可以假设它是一个非确定性系统。下一个假设是是否有潜在的混杂因素，即因果影响两个或更多观察变量的未观察变量。在这里，由于限制分析仅限于季节，在此期间可以预期平稳性，因此合理地假设不存在隐藏的混杂因素，这在基础SCM中是正确的。

结构假设

接下来需要做出图类型的结构假设。由于这里的进程很快，同时因果效应（即，在数据的时间分辨率1天以下的因果影响）可能会发生。此外，在这里，可以通过在图中不允许Rg有任何父母节点来强制实施Rg是外生变量的领域知识。这些假设建议使用基于约束的因果发现算法PCMCI+（或其他类似选项，见图2）。
为了对PCMCI+估计的因果时间序列图中最大时间滞后做出假设（即$X_{t-\tau }^j\to X_t^j$，所有$\tau$ such that 在图中的最大），可以使用数据来调查滞后依赖函数，或者，像在这里一样，可以使用领域知识来证明${\tau }_{max}=1$(以天为单位）。

参数假设

接下来，为PCMCI+选择下一个超参数是关于条件独立性的测试，这需要一个参数假设。下面我们使用Tigramite的plot_densities函数来通过联合和边际密度估计调查依赖关系的类型。在这里，我们描绘了原始数据以及实现正态分布边际的转换数据。

dataframe_here = deepcopy(dataframe)
matrix_lags = None
matrix = tp.setup_density_matrix(N=N, 
        var_names=dataframe.var_names, **{