前言：

我们已经学习了顺序表和链表的相关知识点，并且我们也通过结合相关知识，实现了对栈和队列各项接口功能的实现。而今天开始，我们将进入树与二叉树的学习，介绍它们的相关概念、结构与使用的相关知识。这篇文章中，主要介绍和讲解树和二叉树的相关概念与结构。

一、树：

1.树的概念：

这里说到的树，不是现实里的树，而是一种逻辑上类似树，同时具有许多分支的数据结构。

树是一种非线性的数据结构，他是由n(n>=0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为他看起来像一课倒挂的树，也就是说它是根朝上的，而叶朝下的。

①.有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点。

②.除了根节点以外，其余节点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、...Tm,其中每一个集合Ti（1<=i<=m)又是一颗结构与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0或者多个后继。

③.因此树是递归定义的。

要特别注意，在树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

2.树的相关概念：

节点的度：一个节点含有子树的的个数称之为该节点的度。如上图：A的度为4。

叶节点（终端节点）：度为0的节点称为叶节点；如上图：F、G、H、I、J、K、L。

非终端节点（分支节点):度不为0的节点。如上图：B、C、D、E(根节点不算分支节点）。

双亲节点（父节点）：一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的节点，同时又是C、D、F节点的父节点。

(一个节点可以是多个节点的父节点。因为树结构不交叉的缘故，所以一个节点要么没有父节点要么只有一个父节点。）

孩子节点（子节点）：一个节点含有子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的子节点。

树的度：一棵树中最大节点的度称为树的度；如上图：树的度为4.

节点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子节点为第2层，以此类推。

树的高度（深度）：树中节点的最大层次；如上图：书的高度为3。

堂兄弟节点：双亲在那个一层的节点互为堂兄弟；如上图：H根I互为兄弟节点；

节点的祖先：从根节点所经分支上的所有节点；如上图:是所有节点的祖先。

子孙：以某节点为根的子树中任一节点称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙。

森林：由m（m>0）棵互不相交的树所组合的集合称为森林。

3.树的表示：

关于树结构的相对线性表示相对比较复杂，尤其是树存储与表示比较麻烦，既要保存值域，也要保存节点和节点之间的关系。在我们实际使用中，树有很多中表示方式，例如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等等。

这里我们就简单看看最常用的孩子兄弟表示法：

typedef int Datatype
 struct Node
{
    struct Node* _firstchildel;//第一个孩子节点；
    struct Node* _pNextBrother;//指向其下一个兄弟节点
    Datatype _data;//节点中的数据
}

4.书的实际使用场景：

树结构在实际使用中，常用于表示文件系统，族系谱等的梳妆目录结构。

二、二叉树：

1.二叉树的概念：

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

①或者为空；

②由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

注意：

1.二叉树不存在度大于2的节点。

2.二叉树的子树由左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

3.任意的二叉树都是由以下几种情况符合而成的：

2.两种特殊二叉树：

在所有树的二叉树中，还有两种结构特殊的二叉树，即满二叉树与完全二叉树。

①.满二叉树：

定义：一个二叉树，如果每一个层的节点个数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树，也就是说，如果一个二叉树的层数是K，且节点总数是2^K-1,则它就是满二叉树。

②.完全二叉树：

定义：若二叉树的深度为h，除第h层外，其他各层的节点数都达到最大个数，且第h层所有的节点都连续集中在左边。

要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3.二叉树的性质：

·若规定根节点的层数为1，则一颗非空二叉树的第X层上最多有2^(X-1)个节点，

·若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大节点数是2^h-1;

·对任何一颗二叉树，如果度为0且其叶节点个数为N，度为2的分支节点个数为n，则有N=n+1；

·若规定根节点的层数为1，具有n个节点的满二叉树的深度h=log2(n+1)。

·对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的节点有：

①若i>0,i位置节点的双亲序号为（i-1）/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点。

②若2i>n，则节点i没有左孩子（节点i为叶子节点）；否则其左孩子是节点2i。

③若2i+i>n,则节点i无右孩子，否则其右孩子是节点2i+1