【数学建模】插值与拟合

文章目录

  • 插值
    • 插值方法
    • 用Python解决插值问题
  • 拟合
    • 最小二乘拟合
    • 数据拟合的Python实现

适用情况
处理由试验、测量得到的大量数据或一些过于复杂而不便于计算的函数表达式时,构造一个简单函数作为要考察数据或复杂函数的近似
定义
给定一组数据,需要确定满足特定要求的曲线(或曲面)
插值:如果所求曲线通过所给定有限个数据点
拟合:要求所求曲线反映对象整体的变化态势,得到简单实用的近似函数

插值

在一系列数据点对中,一些数据点的函数值缺失,因而希望通过已有数据点得到函数的近似表达式从而近似出确实数据点的函数值

从性质优良、便于计算的函数类{P(x)}中选择一个使得 P ( x i ) = y i P(x_i) =y_i P(xi)=yi成立的P(x)作为f(x)的近似
x 0 , x 1 , . . . , x n x_0, x_1, ..., x_n x0,x1,...,xn成为插值节点
{ P ( x ) } \{P(x)\} {P(x)}称为插值函数类
P ( x i ) = y i ( i = 0 , 1 , . . . , n ) P(x_i) =y_i(i=0, 1, ..., n) P(xi)=yi(i=0,1,...,n)称为插值条件
得到的 P ( x ) P(x) P(x)称为插值函数
f ( x ) f(x) f(x)称为被插值函数

一维插值方法:一维Lagrange插值、分段线性插值、分段二次插值、牛顿插值和样条插值
二维插值方法:二维样条插值

插值方法

Lagrange插值
P ( x ) = ∑ i = 0 n l i ( x ) y i P(x)=\sum^n_{i=0}l_i(x)y_i P(x)=i=0nli(x)yi
其中 l i ( x ) l_i(x) li(x)称为以 x 0 , x 1 , . . . , x n x_0, x_1, ..., x_n x0,x1,...,xn为节点的Lagrange插值基函数
l i ( x ) = ∏ j = 0 , j ≠ i n x − x j x i − x j l_i(x) = \prod^n_{j=0, j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} li(x)=j=0,j=inxixjxxj

代码实现

def h(x,y,a):
	s = 0.0
	for i in range(len(y)):
		t = y[i]
		for j in range(len(y)):
			if i != j:
				t *= (a-x[j])(x[i]-x[j])
		s += t
	return s

分段线性插值
用折线代替曲线 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x),其中 P ( x ) P(x) P(x)
P ( x ) = x − x i x i + 1 − x i y i + 1 + x − x i + 1 x i − x i + 1 y i P(x) = \frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}y_{i+1} + \frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}y_i P(x)=xi+1xixxiyi+1+xixi+1xxi+1yi
其中 x ∈ [ x i , x i + 1 ] , i = 0 , 1 , . . . , n − 1 x \in [x_i, x_{i+1}], i=0,1,..., n-1 x[xi,xi+1],i=0,1,...,n1

分段二次插值
P ( x ) P(x) P(x)为一二次多项式,即适用分段抛物线代替 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)

牛顿插值
差分定义:函数 f ( x ) f(x) f(x),等距节点 x i = x 0 + i h ( i = 0 , 1 , . . . , n ) x_i=x_0+ih(i=0, 1, ..., n) xi=x0+ih(i=0,1,...,n),一阶前向差分 Δ f i = f i + 1 − f i \Delta f_i = f_{i+1}-f_i Δfi=fi+1fi, 高阶差分为差分的差分

  1. Δ 0 f ( x ) = f ( x ) \Delta^0 f(x) = f(x) Δ0f(x)=f(x)
  2. Δ m f ( x ) = Δ m − 1 f ( x + h ) − Δ m − 1 f ( x ) \Delta^m f(x) = \Delta^{m-1}f(x+h) - \Delta^{m-1}f(x) Δmf(x)=Δm1f(x+h)Δm1f(x)

递归函数计算差分

def diff_forward(f, k, h, x):
	if k<=0: 
		return f(x)
	else: 
		return diff_forward(f, k-1, h, x+h) - diff_forward(f, k-1, h, x)

差商定义:函数 f ( x ) f(x) f(x),相异节点 x 0 < x 1 < . . . < x n x_0 < x_1<... < x_n x0<x1<...<xn
函数 f ( x ) f(x) f(x)关于节点 x i x_i xi x j x_j xj的一阶差商 f [ x i , x j ] f[x_i, x_j] f[xi,xj]
f [ x i , x j ] = f ( x i ) − f ( x j ) x i − x j f[x_i, x_j] = \frac{f(x_i)-f(x_j)}{x_i-x_j} f[xi,xj]=xixjf(xi)f(xj)
f ( x ) f(x) f(x)关于点 x i x_i xi x j x_j xj x k x_k xk的二阶差商有
f [ x i , x j , x k ] = f [ x i , x j ] − f [ x j , x k ] x i − x k f[x_i, x_j, x_k]= \frac{f[x_i, x_j]-f[x_j, x_k]}{x_i-x_k} f[xi,xj,xk]=xixkf[xi,xj]f[xj,xk]
f ( x ) f(x) f(x)关于 x 0 , x 1 , . . . , x k x_0, x_1, ..., x_k x0,x1,...,xk k k k阶差商为
f [ x 0 , x 1 , . . . , x k ] = f [ x 0 , x 1 , . . . , x k − 1 ] − f [ x 1 , x 2 , . . . , x k ] x 0 − x k f[x_0, x_1, ..., x_k] = \frac{f[x_0, x_1, ..., x_{k-1}]-f[x_1, x_2, ..., x_k]}{x_0-x_k} f[x0,x1,...,xk]=x0xkf[x0,x1,...,xk1]f[x1,x2,...,xk]

代码示例:计算 k + 1 k+1 k+1个点对数据的 k k k阶差商

def diff_quo(xi=[], fi=[]):
    if len(xi)>2 and len(fi)>2:
        return (diff_quo(xi[:len(xi)-1],fi[:len(fi)-1])-diff_quo(xi[1:len(xi)],fi[1:len(fi)])) / float(xi[0]-xi[-1])  
    return (fi[0]- fi[1])/float(xi[0]-xi[1])

Newton插值公式
一次Newton插值多项式: N 1 ( x ) = f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f [ x 0 , x 1 ] N_1(x)=f(x_0)+(x-x_0)f[x_0, x_1] N1(x)=f(x0)+(xx0)f[x0,x1]
再根据各阶差商的定义,可以得到 N n ( x ) N_n(x) Nn(x) f ( x ) f(x) f(x) n n n次插值多项式

样条插值
适用于对插值函数的光滑性有较高要求的问题
样条函数:具有一定光滑性的分段多项式
给定 [ a , b ] [a,b] [a,b]的一个分划, Δ : a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b \Delta: a=x_0 < x_1 < ... < x_n=b Δ:a=x0<x1<...<xn=b
S ( x ) S(x) S(x)在各个小区间 [ x i , x i + 1 ] ( i = 0 , 1 , . . . , n − 1 ) [x_i, x_{i+1}](i=0, 1, ..., n-1) [xi,xi+1](i=0,1,...,n1)上为 m m m次多项式,且有 m − 1 m-1 m1阶连续导数,称 S ( x ) S(x) S(x)为关于分划 Δ \Delta Δ m m m次样条函数,折线属于一次样条曲线

二维数据的双三次样条插值
考虑二维数据的插值时,需要考虑到插值区域是否规则,给定数据是有规律分布的还是散乱、随机分布的
当二维数据在规则区域上有规律分布时,可以考虑用双三次样条插值,即求解一个 S ( x ) S(x) S(x)满足对 x x x y y y都是三次的多项式
image.png

用Python解决插值问题

scipy.interpolatemodule有一维插值函数interp1d、二维插值函数interp2d和多维插值函数interpn

一维插值
interp1d(x, y, kind='linear')
说明:kind参数取值为字符串,指明插值方法,取值包括linear线性插值、zero0阶样条插值、slinear1阶样条插值、quadratic2阶样条插值、cubic3阶样条插值
image.png
代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import interp1d 
x=np.arange(0,25,2)
y=np.array([12, 9, 9, 10, 18, 24, 28, 27, 25, 20, 18, 15, 13])
xnew=np.linspace(0, 24, 500)  #插值点
f1=interp1d(x, y); 
y1=f1(xnew);
f2=interp1d(x, y,'cubic'); 
y2=f2(xnew)
plt.rc('font',size=16); 
plt.rc('font',family='SimHei')
plt.subplot(121)
plt.plot(xnew, y1)
plt.xlabel("(A)分段线性插值")
plt.subplot(122)
plt.plot(xnew, y2)
plt.xlabel("(B)三次样条插值")
plt.savefig("figure7_4.png", dpi=500)
plt.show()

image.png

二维网格节点插值
image.png
image.png

思路:原始数据为100x100网格节点的数据,为提高精度,适用双三次样条插值,得到该区域上10x10网格节点的数据。把 0 ≤ x ≤ 1400 ∧ 0 ≤ y ≤ 1200 0 \leq x \leq 1400 \land 0 \leq y \leq 1200 0x14000y1200 数据分为140x120个小矩形计算对应曲面面积,每个矩形分为两个三角形,再利用海伦公式求解
代码:

from mpl_toolkits import mplot3d
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from numpy.linalg import norm
from scipy.interpolate import interp2d
z=np.loadtxt("Pdata7_5.txt")  #加载高程数据
x=np.arange(0,1500,100)
y=np.arange(1200,-100,-100)
f=interp2d(x, y, z, 'cubic')
xn=np.linspace(0,1400,141)
yn=np.linspace(0,1200,121)
zn=f(xn, yn)
m=len(xn); n=len(yn); s=0; 
for i in np.arange(m-1):
    for j in np.arange(n-1):
        p1=np.array([xn[i],yn[j],zn[j,i]])
        p2=np.array([xn[i+1],yn[j],zn[j,i+1]])
        p3=np.array([xn[i+1],yn[j+1],zn[j+1,i+1]])
        p4=np.array([xn[i],yn[j+1],zn[j+1,i]])
        p12=norm(p1-p2); p23=norm(p3-p2); p13=norm(p3-p1);p14=norm(p4-p1); p34=norm(p4-p3);
        L1=(p12+p23+p13)/2;s1=np.sqrt(L1*(L1-p12)*(L1-p23)*(L1-p13));
        L2=(p13+p14+p34)/2; s2=np.sqrt(L2*(L2-p13)*(L2-p14)*(L2-p34));
        s=s+s1+s2;  
print("区域的面积为:", s)
plt.rc('font',size=16); plt.rc('text',usetex=True)
plt.subplot(121); contr=plt.contour(xn,yn,zn); plt.clabel(contr)
plt.xlabel('$x$'); plt.ylabel('$y$',rotation=90)
ax=plt.subplot(122,projection='3d'); 
X,Y=np.meshgrid(xn,yn)
ax.plot_surface(X, Y, zn,cmap='viridis')
ax.set_xlabel('$x$'); ax.set_ylabel('$y$'); ax.set_zlabel('$z$')
plt.savefig('figure7_5.png',dpi=500); plt.show()

二维乱点插值
image.png
代码:

from mpl_toolkits import mplot3d
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.interpolate import griddata
x=np.array([129,140,103.5,88,185.5,195,105,157.5,107.5,77,81,162,162,117.5])
y=np.array([7.5,141.5,23,147,22.5,137.5,85.5,-6.5,-81,3,56.5,-66.5,84,-33.5])
z=-np.array([4,8,6,8,6,8,8,9,9,8,8,9,4,9])
xy=np.vstack([x,y]).T
xn=np.linspace(x.min(), x.max(), 100)
yn=np.linspace(y.min(), y.max(), 100)
xng, yng = np.meshgrid(xn,yn)  #构造网格节点
zn=griddata(xy, z, (xng, yng), method='nearest')  #最近邻点插值
plt.rc('font',size=16); plt.rc('text',usetex=True)
ax=plt.subplot(121,projection='3d'); 
ax.plot_surface(xng, yng, zn,cmap='viridis')
ax.set_xlabel('$x$'); ax.set_ylabel('$y$'); ax.set_zlabel('$z$')
plt.subplot(122); c=plt.contour(xn,yn,zn,8); plt.clabel(c)
plt.savefig('figure7_6.png',dpi=500); plt.show()

拟合

最小二乘拟合

解决什么问题?
已知一组二维数据,即平面上 n n n个点 ( x i , y i ) ( i = 1 , 2 , . . . , n ) (x_i, y_i)(i=1, 2, ..., n) (xi,yi)(i=1,2,...,n) x i x_i xi互不相同,求函数 f ( x ) f(x) f(x)使得 f ( x ) f(x) f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合得最好
残差: δ i = f ( x i ) − y i , i = 1 , 2 , . . . , n \delta_i=f(x_i)-y_i, i=1,2,...,n δi=f(xi)yi,i=1,2,...,n
最小二乘法使用的判定准则为残差的平和和最小,即
a r g m i n J = ∑ i = 1 n ( f ( x i ) − y i ) 2 argmin \quad J=\sum^n_{i=1}(f(x_i)-y_i)^2 argminJ=i=1n(f(xi)yi)2
最终得到拟合函数 f ( x ) = f ( x , a 1 , a 2 , . . . , a n ) f(x) = f(x, a_1, a_2, ..., a_n) f(x)=f(x,a1,a2,...,an)
根据参数 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1, a_2, ..., a_n a1,a2,...,an线性与否,最小二乘法分为线性最小二乘和非线性最小二乘

线性最小二乘法
给定线性无关的函数系 { ϕ k ( x ) ∣ k = 1 , 2 , . . . , m } \{\phi_k(x)|k=1,2,...,m\} {ϕk(x)k=1,2,...,m}
若有拟合函数 f ( x ) = ∑ k = 1 m a k ϕ k ( x ) f(x) = \sum^m_{k=1}a_k \phi_k(x) f(x)=k=1makϕk(x),例如 f ( x ) = a m x m − 1 + a m − 1 x m − 2 + . . . + a 2 x + a 1 f(x)=a_mx^{m-1}+a_{m-1}x^{m-2}+...+a_2x+a_1 f(x)=amxm1+am1xm2+...+a2x+a1 f ( x ) = ∑ k = 1 m a k c o s ( k x ) f(x) = \sum^m_{k=1}a_k cos(kx) f(x)=k=1makcos(kx)
f ( x ) = f ( x , a 1 , a 2 , . . . , a m ) f(x)=f(x,a_1, a_2, ..., a_m) f(x)=f(x,a1,a2,...,am)为关于参数 a 1 , a 2 , . . . , a m a_1,a_2,..., a_m a1,a2,...,am的线性函数
f ( x ) f(x) f(x)带入 J J J的计算,根据
∂ J ∂ a k = 0 , k = 1 , 2 , ⋯   , m \frac{\partial J}{\partial a_k}=0,\quad k=1,2,\cdots,m akJ=0,k=1,2,,m
即:
∑ i = 1 n [ ( f ( x i ) − y i ) φ k ( x i ) ] = 0 , k = 1 , 2 , ⋯   , m \sum_{i=1}^{n}\left[\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right) \varphi_{k}\left(x_{i}\right)\right]=0, \quad k=1,2, \cdots, m i=1n[(f(xi)yi)φk(xi)]=0,k=1,2,,m
得到:
image.png
形成一个关于 a 1 , a 2 , . . . , a m a_1,a_2,...,a_m a1,a2,...,am的线性方程组,记号说明如下:
image.png
则正规方程组改写为
R T R A = R T Y R^TRA=R^TY RTRA=RTY
当矩阵 R R R列满秩时, R T R R^TR RTR可逆,此时正规方程组有唯一解,即
A = ( R T R ) − 1 R T Y A=(R^TR)^{-1}R^TY A=(RTR)1RTY
非线性最小二乘拟合
当拟合函数不能以 ϕ k ( x ) \phi_k(x) ϕk(x)线性组合的形式构成时,例如下列形式:
image.png
使用同样的“最小化偏差”方法求解参数

拟合函数的选择
先做出数据的散点图,从直观上判断应选用什么样的拟合函数
举个例子
若数据分布接近直线,使用线性函数 f ( x ) = a 1 x + a 2 f(x)=a_1x+a_2 f(x)=a1x+a2
若数据分布接近抛物线,使用二次多项式 f ( x ) = a 1 x 2 + a 2 x + a 3 f(x)=a_1x^2+a_2x+a_3 f(x)=a1x2+a2x+a3
若数据分布是开始上升块随后逐渐变缓,使用双曲线型函数或指数型函数,即
image.png
若数据分布是开始下降较快随后逐渐变缓,使用
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数据拟合的Python实现

利用NumPy库中的多项式拟合函数polyfitscipy.optimize模块中的curve_fit函数

image.png

polyfit的用法
代码展示:

from numpy import polyfit, polyval, array, arange
from matplotlib.pyplot import plot,show,rc
x0=arange(0, 1.1, 0.1)
y0=array([-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56, 9.48, 9.30, 11.2])
p=polyfit(x0, y0, 2) #拟合二次多项式
print("拟合二次多项式的从高次幂到低次幂系数分别为:",p)
yhat=polyval(p,[0.25, 0.35]); print("预测值分别为:", yhat)
rc('font',size=16)
plot(x0, y0, '*', x0, polyval(p, x0), '-'); show()

curve_fit的用法
调用格式
popt, pcov = curve_fit(func, xdata, ydata)
参数说明:func为拟合的函数,xdata是自变量的观测值,ydata是函数的观测值,返回值popt是拟合的参数,pcov是参数的协方差矩阵
代码展示:

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
y=lambda x, a, b, c: a*x**2+b*x+c
x0=np.arange(0, 1.1, 0.1)
y0=np.array([-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56, 9.48, 9.30, 11.2])
popt, pcov=curve_fit(y, x0, y0)
print("拟合的参数值为:", popt)
print("预测值分别为:", y(np.array([0.25, 0.35]), *popt))

实例练习
image.png
代码:

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
x0=np.array([6, 2, 6, 7, 4, 2, 5, 9])
y0=np.array([4, 9, 5, 3, 8, 5, 8, 2])
z0=np.array([5, 2, 1, 9, 7, 4, 3, 3])
xy0=np.vstack((x0, y0))
def Pfun(t, a, b, c):
    return a*np.exp(b*t[0])+c*t[1]**2
popt, pcov=curve_fit(Pfun, xy0, z0)
print("a,b,c的拟合值为:", popt)

image.png
代码:

from mpl_toolkits import mplot3d
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt
m=200; n=300
x=np.linspace(-6, 6, m); y=np.linspace(-8, 8, n);
x2, y2 = np.meshgrid(x, y)
x3=np.reshape(x2,(1,-1)); y3=np.reshape(y2, (1,-1))
xy=np.vstack((x3,y3))
def Pfun(t, m1, m2, s):
    return np.exp(-((t[0]-m1)**2+(t[1]-m2)**2)/(2*s**2))
z=Pfun(xy, 1, 2, 3); zr=z+0.2*np.random.normal(size=z.shape) #噪声数据
popt, pcov=curve_fit(Pfun, xy, zr)   #拟合参数
print("三个参数的拟合值分别为:",popt)
zn=Pfun(xy, *popt)  #计算拟合函数的值
zn2=np.reshape(zn, x2.shape)
plt.rc('font',size=16)
ax=plt.axes(projection='3d') #创建一个三维坐标轴对象
ax.plot_surface(x2, y2, zn2,cmap='gist_rainbow')
plt.savefig("figure7_10.png", dpi=500); plt.show()

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参照卞元超&#xff08;2019&#xff09;、邓慧慧&#xff08;2020&#xff09;、汪克亮&#xff08;2021&#xff09;等人做法&#xff0c;将开通高铁的城市作为处理组&#xff0c;未开通高铁的城市作为对照组。地级市开通高铁之后的DID赋值为1&#xff0c;未开通则赋值为0 一…

云计算中的出口数据是指什么?

谷歌云&#xff08;Google Cloud&#xff09;近日宣布了一项重大政策变动&#xff0c;决定免除那些选择终止使用其服务并将数据迁移到其他云服务商或本地环境的客户的出口数据费用&#xff08;数据导出费用&#xff09;。 这一举措由谷歌云平台负责人阿米特扎维里&#xff08;A…

docker 基础手册

文章目录 docker 基础手册docker 容器技术镜像与容器容器与虚拟机docker 引擎docker 架构docker 底层技术docker 二进制安装docker 镜像加速docker 相关链接docker 生态 docker 基础手册 docker 容器技术 开源的容器项目&#xff0c;使用 Go 语言开发原意“码头工人”&#x…

SpringBoot责任链与自定义注解:优雅解耦复杂业务

引言 责任链模式是一种行为设计模式&#xff0c;它允许你将请求沿着处理者链进行传递&#xff0c;直到有一个处理者处理请求。在实际应用中&#xff0c;责任链模式常用于解耦发送者和接收者&#xff0c;使得请求可以按照一定的规则被多个处理者依次处理。 首先&#xff0c;本…

【LeetCode】104. 二叉树的最大深度(简单)——代码随想录算法训练营Day16

题目链接&#xff1a;104. 二叉树的最大深度 题目描述 给定一个二叉树 root &#xff0c;返回其最大深度。 二叉树的 最大深度 是指从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。 示例 1&#xff1a; 输入&#xff1a;root [3,9,20,null,null,15,7] 输出&#xff1a;3示例…

Docker网络配置与自定义IP容器通信

目录 前言 一、docker网络配置 1. bridge 虚拟网桥 2. host 网络模式 3. none 网络模式 4. 自定义container网络模式 二、自定义IP容器通信 1. 自定义IP 2. 创建所需容器&#xff08;mysql&#xff0c;tomcat&#xff09; 3. 准备项目资源 4. 构建Nginx实现负载均衡…

垃圾回收小程序:环保与便捷的完美结合

一、引言 随着科技的发展&#xff0c;移动应用程序已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分。其中&#xff0c;废品回收小程序以其独特的价值和功能&#xff0c;日益受到人们的关注和青睐。本文将探讨废品回收小程序开发的重要性、功能特点、技术实现和未来发展趋势。 二、废…

AOP切面

什么是Spring的AOP AOP在spring中又叫“面向切面编程”&#xff0c;它可以说是对传统我们面向对象编程的一个补充&#xff0c;从字面上顾名思义就可以知道&#xff0c;它的主要操作对象就是“切面”&#xff0c;所以我们就可以简单的理解它是贯穿于方法之中&#xff0c;在方法…

springboot家乡特色推荐系统源码和论文

在Internet高速发展的今天&#xff0c;我们生活的各个领域都涉及到计算机的应用&#xff0c;其中包括家乡特色推荐的网络应用&#xff0c;在外国家乡特色推荐系统已经是很普遍的方式&#xff0c;不过国内的管理网站可能还处于起步阶段。家乡特色推荐系统采用java技术&#xff0…

E3 基于Mysql的SQL应用和存储过程

一、实验目的: Mysql平台要求你熟练使用MySQL基本指令&#xff0c;完成对程序的控制与管理&#xff0c;并根据要求写存储过程。 二、实验要求: 1、基本硬件配置:英特尔Pentium III 以上,大于4G内存&#xff1b; 2、软件要求:Mysql&#xff1b; 3、时间:1小时&#xff1b; …