数据结构奇妙旅程之二叉树初阶

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 一.树

1.概念(简单了解即可)

树是一种 非线性 的数据结构,它是由 n n>=0 )个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看
起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的 。它具有以下的特点:
有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点
除根结点外,其余结点被分成 M(M > 0) 个互不相交的集合 T1 T2 ...... Tm ,其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。
每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有 0 个或多个后继 。树是递归定义的。

注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构

2.树的基本术语

2.1需要重点记忆的

结点的度:一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的度为3

树的度 :一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为3
叶子结点或终端结点 :度为 0 的结点称为叶结点; 如上图:E, F, G, H, I, J 等节点为叶结点
双亲结点或父结点 :若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图: A B 的父结点
孩子结点或子结点 :一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图: B A 的孩子结点
根结点 :一棵树中,没有双亲结点的结点;如上图: A
结点的层次 :从根开始定义起,根为第 1 层,根的子结点为第 2 层,以此类推
树的高度或深度 :树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为3

2.2简单了解即可

非终端结点或分支结点 :度不为 0 的结点; 如上图:B 、C 、D 等节点为分支结点
兄弟结点 :具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图: B C 是兄弟结点
堂兄弟结点 :双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图: H I 互为兄弟结点
结点的祖先 :从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图: A 是所有结点的祖先
子孙 :以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是 A 的子孙
森林 :由 m m>=0 )棵互不相交的树组成的集合称为森林

3.树的代码表示形式(简单了解)

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,如:双亲表示法

孩子表示法 孩子双亲表示法 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

二.二叉树(重点掌握)

1.概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:

1. 或者为空
2. 或者是由 一个根节 点加上两棵别称为 左子树 右子树 的二叉树组成。
从上图可以看出:
1. 二叉树不存在度大于 2 的结点
2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树
注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:

1.1二叉树的基本形态

1.2两种特殊的二叉树

1. 满二叉树 : 一棵二叉树,如果 每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说, 如果一棵 二叉树的层数为 K ,且结点总数是 2^k - 1  ,则它就是满二叉树
2. 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的,有 n
个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 0 n-1 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

 2.性质

1. 若规定 根结点的层数为 1 ,则一棵 非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1)  (i>0) 个结点
2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为 1 ,则 深度为 K 的二叉树的最大结点数是2^k - 1
(k>=0)
3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 n2 1
4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为 log2(n+1)  上取整
5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树 ,如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ,则对于 序号为 i 的结点有
i>0 双亲序号: (i-1)/2 i=0 i 为根结点编号 ,无双亲结点
2i+1<n ,左孩子序号: 2i+1 ,否则无左孩子
2i+2<n ,右孩子序号: 2i+2 ,否则无右孩子

3.基本操作

public class BinaryTree {
    static class TreeNode {
        public char val;
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;
        public TreeNode(char val) {
            this.val = val;
        }
    }

    //以穷举的方式 创建一棵二叉树出来
    public TreeNode createTree() {
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        TreeNode H = new TreeNode('H');
        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        E.right = H;
        return A;
    }
    //前序遍历
   public void preOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }
    //中序遍历
    public void inOrder(TreeNode root) {
        if(root == null){
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }
    //后序遍历
    public void postOrder(TreeNode root) {
        if(root == null){
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }
    // 获取二叉树中节点的个数
    public int size(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        return size(root.left)+size(root.right)+1;
    }
    // 获取叶子节点的个数
    public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        if(root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
    }
    // 获取第K层节点的个数
    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        if(k == 1) {
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }
    // 获取二叉树的高度
    public int getHeight(TreeNode root) {
      if(root == null) {
          return 0;
      }
      int leftH = getHeight(root.left);
      int rightH = getHeight(root.right);
      return Math.max(leftH,rightH)+1;
    }
    // 检测值为value的元素是否存在
    public boolean find(TreeNode root,char val) {
        if(root == null) {
            return false;
        }
        if(root.val == val) {
            return true;
        }
        return find(root.left, val) || find(root.right, val);
    }
    //层序遍历使用队列来辅助
    //当涉及到层序遍历时,通常情况下使用队列来实现会更为简单和高效
    public void levelOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        Queue<TreeNode> q = new LinkedList<>();
        q.offer(root);
        while (!q.isEmpty()) {
           TreeNode cur = q.poll();
            System.out.print(cur.val + " ");
            if(cur.left != null) {
                q.offer(cur.left);
            }
            if(cur.right != null) {
                q.offer(cur.right);
            }
        }
    }
    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return true;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        boolean end = false;
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode current = queue.poll();
            if (current == null) {
                end = true;
            } else {
                if (end) {
                    return false; // 如果已经遇到空节点,再遇到非空节点,说明不是完全二叉树
                }
                queue.offer(current.left);
                queue.offer(current.right);
            }
        }
        return true;
    }
}

 三.说明

以上就是关于二叉树的一些基础问题了,如果你已经对这些比较基础的问题都大概了解,就可以开始尝试做题,你也可以移步到博主的下一篇关于二叉树面试题的文章,帮助你更好的掌握二叉树,感谢你的观看,愿你一天开心愉快

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