凸包（Convex Hull）是包含给定点集合的最小凸多边形。凸包算法有多种实现方法，其中包括基于递增极角排序、Graham扫描、Jarvis步进法等。下面，我将提供一个简单的凸包算法实现，基于Graham扫描算法。

Graham扫描算法是一种用于求解平面点集的凸包问题的常见算法。凸包是包含给定点集合的最小凸多边形。Graham扫描算法的基本思想是通过选择一个特殊的起点，将点集按照极角排序，然后通过栈的操作来逐步构建凸包。

以下是Graham扫描算法的基本步骤：

• 选择极点： 从给定的点集中选择一个极点作为起始点。通常选择最下面且最左边的点，以确保算法的稳定性。

• 极角排序： 将其他所有点按照相对于极点的极角进行排序。极角可以使用反正切函数（atan2）计算。排序后的点集顺序将确定扫描过程中点的访问顺序。

• 扫描过程： 从第三个点开始，按照排序后的顺序逐个处理每个点。对于每个点，检查它与栈顶两个点的转向关系（顺时针、逆时针或平行）。如果是逆时针，将该点压入栈；如果是顺时针或平行，则出栈，直到找到逆时针为止。这确保了最终栈中的点构成凸包。

• 构建凸包： 扫描完成后，栈中的点就是凸包的顶点，它们按照逆时针方向排列。

Graham扫描算法的时间复杂度主要取决于对点的排序操作，通常为$O(n\log n)$，其中n是点的数量。该算法的优势在于其相对简单的实现和较好的性能。然而，需要注意的是，在特定情况下，例如存在大量共线点的情况下，算法的性能可能会有所下降。

import matplotlib.pyplot as plt
import math

# 定义二维点的类
class Point:
    def __init__(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y

# 计算极角
def polar_angle(p0, p):
    dx = p.x - p0.x
    dy = p.y - p0.y
    return math.atan2(dy, dx)

# 判断三个点的转向关系
def orientation(p, q, r):
    val = (q.y - p.y) * (r.x - q.x) - (q.x - p.x) * (r.y - q.y)
    if val == 0:
        return 0  # 平行
    return 1 if val > 0 else 2  # 顺时针或逆时针

# Graham扫描算法
def convex_hull(points):
    n = len(points)
    if n < 3:
        print("Convex Hull requires at least 3 points.")
        return []

    # 寻找最下面且最左边的点作为极点
    pivot = min(range(n), key=lambda i: (points[i].y, points[i].x))
    points[0], points[pivot] = points[pivot], points[0]

    # 根据极角对其余点进行排序
    points[1:] = sorted(points[1:], key=lambda p: (polar_angle(points[0], p), p.x, p.y))

    # 构建凸包
    hull = [points[0], points[1]]

    for i in range(2, n):
        while len(hull) > 1 and orientation(hull[-2], hull[-1], points[i]) != 2:
            hull.pop()
        hull.append(points[i])

    return hull

# 示例点集
points = [Point(0, 3), Point(1, 1), Point(2, 2), Point(4, 4), Point(0, 0), Point(1, 2), Point(3, 1), Point(3, 3)]

# 计算凸包
convex_hull_points = convex_hull(points)

# 绘制原始离散点
x_values = [point.x for point in points]
y_values = [point.y for point in points]
plt.scatter(x_values, y_values, color='blue', label='Original Points')

# 绘制凸包
hull_x = [point.x for point in convex_hull_points]
hull_y = [point.y for point in convex_hull_points]
hull_x.append(convex_hull_points[0].x)  # 闭合凸包
hull_y.append(convex_hull_points[0].y)
plt.plot(hull_x, hull_y, color='red', linestyle='-', linewidth=2, label='Convex Hull')

# 显示图例和图形
plt.legend()
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Convex Hull')
plt.grid(True)
plt.show()

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <stack>

// 定义二维点的结构体
struct Point {
    double x, y;

    // 构造函数
    Point(double _x, double _y) : x(_x), y(_y) {}

    // 用于排序的比较函数
    static bool compare(const Point& a, const Point& b) {
        return (a.y < b.y) || (a.y == b.y && a.x < b.x);
    }
};

// 计算极角
double polarAngle(const Point& p0, const Point& p) {
    double dx = p.x - p0.x;
    double dy = p.y - p0.y;
    return atan2(dy, dx);
}

// 判断三个点的转向关系
int orientation(const Point& p, const Point& q, const Point& r) {
    double val = (q.y - p.y) * (r.x - q.x) - (q.x - p.x) * (r.y - q.y);
    if (val == 0) return 0;  // 平行
    return (val > 0) ? 1 : 2; // 顺时针或逆时针
}

// Graham扫描算法
std::vector<Point> convexHull(std::vector<Point>& points) {
    size_t n = points.size();
    if (n < 3) {
        std::cerr << "Convex Hull requires at least 3 points." << std::endl;
        return std::vector<Point>();
    }

    // 寻找最下面且最左边的点作为极点
    size_t pivot = 0;
    for (size_t i = 1; i < n; i++) {
        if (points[i].y < points[pivot].y || (points[i].y == points[pivot].y && points[i].x < points[pivot].x)) {
            pivot = i;
        }
    }

    // 将极点移到数组的第一个位置
    std::swap(points[0], points[pivot]);

    // 根据极角对其余点进行排序
    std::sort(points.begin() + 1, points.end(), [&points](const Point& a, const Point& b) {
        double angleA = polarAngle(points[0], a);
        double angleB = polarAngle(points[0], b);

        return (angleA < angleB) || (angleA == angleB && (a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y)));
        });

    // 构建凸包
    std::vector<Point> hull;
    hull.push_back(points[0]);
    hull.push_back(points[1]);

    for (size_t i = 2; i < n; i++) {
        while (hull.size() > 1 && orientation(hull[hull.size() - 2], hull[hull.size() - 1], points[i]) != 2) {
            hull.pop_back();
        }
        hull.push_back(points[i]);
    }

    return hull;
}

int main() {
    // 示例点集
    std::vector<Point> points = { {0, 3}, {1, 1}, {2, 2}, {4, 4}, {0, 0}, {1, 2}, {3, 1}, {3, 3} };

    // 计算凸包
    std::vector<Point> convexHullPoints = convexHull(points);

    // 输出凸包的点
    std::cout << "Convex Hull Points:" << std::endl;
    for (const auto& point : convexHullPoints) {
        std::cout << "(" << point.x << ", " << point.y << ")" << std::endl;
    }

    return 0;
}