线性代数——（期末突击）概率统计习题（概率的性质、全概率公式）

概率的性质

题一

全概率公式

题二

题三

概率的性质

有限可加性：

若有限个事件互不相容，则

$eq?P%28A_1%5Ccup%20A_2%20%5Ccup%20...%20%5Ccup%20A_n%20%29%3DP%28A_1%29+P%28A_2%29+...+P%28A_n%29$

单调性： $eq?P%28B-A%29%3DP%28B%29-P%28BA%29$

互补性： $eq?P%28%5Coverline%7BA%7D%29%3D1-P%28A%29$

加法公式： $eq?P%28A%5Ccup%20B%29%3DP%28A%29+P%28B%29-P%28AB%29$

$eq?P%28A%5Ccup%20B%5Ccup%20C%29%3DP%28A%29+P%28B%29+P%28C%29-%28P%28AB%29+P%28BC%29+P%28AC%29%29+P%28ABC%29$

可分性： $eq?P%28A%29%3DP%28AB%29+P%28A%5Coverline%7BB%7D%29$

题一

在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：

（1）只订甲报的；

（2）只订甲、乙两报的；

（3）只订一种报纸的；

（4）正好订两种报纸的；

（5）至少订一种报纸的；

（6）不订任何报纸的。

这道题要用到加法公式以及可分性的变式。

$eq?P%28A%5Ccup%20B%29%3DP%28A%29+P%28B%29-P%28AB%29$

$eq?P%28A%29%3DP%28AB%29+P%28A%5Coverline%7BB%7D%29%5CRightarrow%20P%28A%5Coverline%7BB%7D%29%3DP%28A%29-P%28AB%29$

解：

令事件A表示订甲报；事件B表示订乙报；事件C表示订丙报。

（1）只订甲报的，

$eq?%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20P%28A%5Coverline%7BB%7D%5C%3A%20%5Coverline%7BC%7D%29%3DP%28A%5Coverline%7BB%5Ccup%20C%7D%29%3DP%28A%29-P%28A%28B%5Ccup%20C%29%29%5C%5C%20%3DP%28A%29-P%28AB%5Ccup%20BC%29%3DP%28A%29-P%28AB%29-P%28AC%29+P%28ABC%29%5C%5C%20%3D0.3%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D$

（2）只订甲、乙两报的，

$eq?P%28AB%5Coverline%7BC%7D%29%3DP%28AB%29-P%28ABC%29%3D0.07$

（3）只订一种报纸的，

$eq?P%28B%5Coverline%7BA%7D%5C%2C%20%5Coverline%7BC%7D%29%3DP%28B%29-%5BP%28AB%29+P%28BC%29-P%28ABC%29%5D%3D0.23$

$eq?P%28C%5Coverline%7BA%7D%5C%3A%20%5Coverline%7BB%7D%29%3DP%28C%29-%5BP%28AC%29+P%28BC%29-P%28ABC%29%5D%3D0.20$

$eq?P%28A%5Coverline%7BB%7D%5C%2C%20%5Coverline%7BC%7D%5Ccup%20B%5Coverline%7BA%7D%20%5C%2C%20%5Coverline%7BC%7D%20%5Ccup%20C%20%5Coverline%7BA%7D%5C%2C%20%5Coverline%7BB%7D%29%3D0.73$

（4）正好订两种报纸的，

$eq?P%28AC%5Coverline%7BB%7D%29%3DP%28AC%29-P%28ABC%29%3D0.05$

$eq?P%28BC%5Coverline%7BA%7D%29%3DP%28BC%29-P%28ABC%29%3D0.02$

$eq?P%28AB%5Coverline%7BC%7D%5Ccup%20AC%5Coverline%7BB%7D%5Ccup%20BC%5Coverline%7BA%7D%29%3D0.07+0.05+0.02%3D0.14$

（5）至少订一种报纸的，

$eq?P%28A%5Ccup%20B%5Ccup%20C%29%3DP%28A%29+P%28B%29+P%28C%29-P%28AB%29-P%28BC%29-P%28AC%29+P%28ABC%29%3D0.45+0.35+0.30-0.10-0.05-0.08+0.03%3D0.90$

（6）不订任何报纸的，

$eq?P%28%5Coverline%7BA%7D%5C%2C%20%5Coverline%7BB%7D%20%5C%2C%20%5Coverline%7BC%7D%29%3D1-P%28A%5Ccup%20B%5Ccup%20C%29%3D0.1$

全概率公式

设 $eq?A_1%2CA_2%2C...%2CA_n$ 是 $eq?%5COmega$ 的一个划分，且 $eq?P%28A_i%29%3E0%2C%28i%3D1%2C2%2C...%2Cn%29$ ，则对任何事件B，有：

$eq?P%28B%29%3D%5Cunderset%7Bi%3D1%7D%7B%5Coverset%7Bn%7D%7B%5Csum%20%7D%7DP%28A_i%29P%28B%5Cmid%20A_i%29$

题二

某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在小组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

解：

设事件 $eq?A$ 表示 “射手能通过选拔进入比赛”；

设事件 $eq?B_i$ 表示 “射手是第 $eq?i$ 级射手”. $eq?%28i%3D1%2C2%2C3%2C4%29$

显然， $eq?B_1%2CB_2%2CB_3%2CB_4$ 构成一完备事件组，且由题意得：

$20$

$eq?P%28A%5Cmid%20B_1%20%29%3D0.9%2CP%28A%5Cmid%20B_2%29%3D0.7%2CP%28A%5Cmid%20B_3%29%3D0.5%2CP%28A%5Cmid%20B_4%29%3D0.2$

由全概率公式得到：

$eq?P%28A%29%3DP%28B_1%29P%28A%5Cmid%20B_1%29+P%28B_2%29P%28A%5Cmid%20B_2%29+P%28B_3%29P%28A%5Cmid%20B_3%29+P%28B_4%29P%28A%5Cmid%20B_4%29%3D0.645$

题三

某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的.根据以往的记录有以下的数据，

元件制造厂编号次品率提供晶体管的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，在仓库中随机取一只晶体管，则它是次品的概率为多少。