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本系列文章介绍强化学习基础知识与经典算法原理，大部分内容来自西湖大学赵世钰老师的强化学习的数学原理课程（参考资料1），并参考了部分参考资料2、3的内容进行补充。

系列博文索引：（更新中）

• 强化学习的数学原理学习笔记 - RL基础知识
• 强化学习的数学原理学习笔记 - 基于模型（Model-based）
• 强化学习的数学原理学习笔记 - 蒙特卡洛方法（Monte Carlo）
• 强化学习的数学原理学习笔记 - 时序差分学习（Temporal Difference）

参考资料：

1. 【强化学习的数学原理】课程：从零开始到透彻理解（完结）（主要）
2. Sutton & Barto Book: Reinforcement Learning: An Introduction
3. 机器学习笔记

*注：【】内文字为个人想法，不一定准确

概览：RL方法分类

*图源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/36494307

时序差分学习（Temporal Difference，TD）

先前的内容介绍了如何在无模型（model-free）的情况下，基于蒙特卡洛方法（Monte Carlo，MC）来进行策略评估。实际上，无模型的强化学习方法还有另外一个重要分支：时序差分学习（Temporal Difference，TD）。

最基础的时序差分学习估计状态值，而后续提出的Sarsa和Q-learning方法则直接对动作值进行估计。

*注：时序差分的原理部分依赖于随机优化理论，可参阅本文后续的随机近似（SA）&随机梯度下降（SGD）章节。

TD for state values

Basic TD

最原始的TD Learning算法：在策略评估中估计给定策略$\pi$的状态值$v_{\pi }$，本质上是在无模型的情况下求解贝尔曼方程（解法类似于RM算法，详见后一章节）。

• $v_{t+1}(s_t)=v_t(s_t)-\alpha (s_t)[v_t(s_t)-[r_{t+1}+\gamma v_t(s_{t+1})]]$
  • *${\alpha }_t(s_t)$是学习率，通常设为很小的常数
• $v_{t+1}(s)=v_t(s),\forall s\ne s_t$

在$t=0,1,2,\cdots$时刻，更新被访问状态$s_t$的状态值估计$v_{t+1}(s_t)$，但不更新其他未访问状态的状态值估计。

TD的目标：使得估计值$v_t(s_t)$接近${\bar{v}}_t$（*对于估计动作值的TD算法而言，是使得$q_t(s_t,a_t)$接近于${\bar{q}}_t$
$$\underset{\text{new estimation}}{\underbrace{v_{t+1}(s_t)}}=\underset{\text{current estimation}}{\underbrace{v_t(s_t)}}-\alpha (s_t)[\stackrel{\text{TD error }{\delta }_t}{\overbrace{v_t(s_t)-[\underset{\text{TD target }{\bar{v}}_t}{\underbrace{r_{t+1}+\gamma v_t(s_{t+1})}}]}}]$$

• TD target：${\bar{v}}_t=r_{t+1}+\gamma v_t(s_{t+1})$
• TD error：${\delta }_t=v_t(s_t)-[r_{t+1}+\gamma v_t(s_{t+1})]=v_t(s_t)-{\bar{v}}_t$
  • 是$t$和$t+1$两个时刻的difference
  • 描述了$v_t$与$v_{\pi }$之间的差异（$v_t$是对$v_{\pi }$的估计）：若$v_t=v_{\pi }$，则${\delta }_t=0$

这种最原始的TD算法不能用来估计动作值，也不能用来搜索最优策略。

*注：不同文献和资料中的公式表述存在差异，比如Sutton书中（参考资料2）的TD形式如下：
$V(S_t)\leftarrow V(S_t)+\alpha [R_{t+1}+\gamma V(S_{t+1})-V(S_t)]$

TD算法本质上是求解贝尔曼期望方程（Bellman Expectation Equation）：
$v_{\pi }(s)=\mathbb{E}[R+\gamma v_{\pi }(S^{\prime })|S=s],s\in S$

TD算法的收敛性：如满足以下条件，则当$t\to \infty$时，$v_t(s)$可以收敛至$v_{\pi }(s)$（w.p.1，$\forall s\in \mathcal{S}$）
$\forall s\in \mathcal{S}$，${\sum }_t{a}_t(s)=\infty$且${\sum }_t{a}_t^2(s)<\infty$
*需要对每个状态访问很多次（理论上是无穷次）

🟡TD vs. MC

TD / Sarsa	MC
Online：可以使用每步的reward，立即更新状态/动作值	Offline：需要等待每个episode数据采集完毕
Continuing & Episodic tasks	仅Episodic tasks
Bootstrapping：依赖于初始估计和历史估计	Non-bootstrapping：直接估计，不依赖初始值
Lower estimation variance：只依赖少数几个随机变量	Higher estimation variance：依赖的随机变量较多

TD估计的期望是有偏的，因为其依赖于初始估计（Bootstrapping），但随着数据量的增加，最终会收敛到正确的估计值；相反，MC的期望是无偏估计。

🟦Sarsa (TD for action values)

Basic Sarsa

目标：估计给定策略$\pi$的动作值$q_{\pi }(s,a)$
数据：$\{(s_t,a_t,r_{t+1},s_{t+1},a_{t+1})\}$

SARSA（State-Action-Reward-State-Action） 算法：

• $q_{t+1}(s_t,a_t)=q_t(s_t,a_t)-{\alpha }_t(s_t,a_t)[q_t(s_t,a_t)-[r_{t+1}+\gamma q_t(s_{t+1},a_{t+1})]]$
• $q_{t+1}(s,a)=q_t(s,a),\forall (s,a)\ne (s_t,a_t)$
  • ${\alpha }_t(s_t,a_t)$是取决于$s_t$和$a_t$的学习率

*与原始TD算法的差异：将公式中的$v(s_t)$替换为$q(s_t,a_t)$，因此Sarsa是TD算法的动作值估计的版本

Sarsa求解贝尔曼期望方程的动作值形式：
$q_{\pi }(s,a)=\mathbb{E}[R+\gamma q_{\pi }(S^{\prime },A^{\prime })|s,a],\forall s,a$
其中，$R\sim p(R|s,a)$，$S^{\prime }\sim p(S^{\prime }|s,a)$，$A^{\prime }\sim \pi (A^{\prime }|S^{\prime })$（$\sim$表示服从某种概率分布）。

注意到Sarsa所依赖的5个变量中，在给定$s_t$和$a_t$的情况下，只有$a_{t+1}$依赖于策略${\pi }_t$，而$r_{t+1}$和$s_{t+1}$本身并不依赖于策略，而是依赖于转移概率分布（通过采样确定）。

Sarsa收敛性类似于TD，略。

Sarsa+策略提升的完整算法：（也属于GPI框架）

• 更新动作值（策略评估）：Sarsa的公式，略
• 更新策略（策略提升）：ε-Greedy方法，基于$q_{t+1}(s_t,a)$立即更新
  • ${\pi }_{k+1}(a|s_t)=\{\begin{array}{ll}1-\frac{\epsilon }{|\mathcal{A}|}(|\mathcal{A}|-1)& \text{if }a={\mathrm{argmax}}_a{q}_{t+1}(s_t,a)\\ \frac{\epsilon }{|\mathcal{A}|}& \text{otherwise}\end{array}$

Sarsa有两个变体：Expected Sarsa和n-step Sarsa

变体1：Expected Sarsa

• $q_{t+1}(s_t,a_t)=q_t(s_t,a_t)-{\alpha }_t(s_t,a_t)[q_t(s_t,a_t)-[r_{t+1}+\gamma \mathbb{E}{q}_t(s_{t+1},A)]]$
• $q_{t+1}(s,a)=q_t(s,a),\forall (s,a)\ne (s_t,a_t)$

其中，$\mathbb{E}{q}_t(s_{t+1},A)=v_t(s_{t+1})$是状态值而非动作值

Expected Sarsa求解以下形式的贝尔曼公式：
$q_{\pi }(s,a)=\mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma v_{\pi }(S_{t+1})|S_t=s,A_t=a]$

与Sarsa的区别：

• 改变了TD Target
• 需要更多的计算量，但减少了随机变量个数（不需要对$a_{t+1}$采样），随机性减少

变体2：n-step Sarsa

n-step Sarsa是Sarsa的推广，统一了Sarsa和MC的思想

• Sarsa基于单步采样进行估计，MC基于∞步采样进行估计，因此n-step Sarsa相当于是二者的折中
• n-step Sarsa既不是online的，也不是offline的（或者是是特殊的online方法）

公式及其他细节略。
n-step Sarsa本身仅用于策略估计，也可以和策略提升相结合。

🟦Q-learing (TD for optimal action values)

Q-learing直接估计最优动作值，因此不需要策略评估-策略提升的过程。

• $q_{t+1}(s_t,a_t)=q_t(s_t,a_t)-{\alpha }_t(s_t,a_t)[q_t(s_t,a_t)-[r_{t+1}+\gamma {\max }_{a\in \mathcal{A}}{q}_t(s_{t+1},a)]]$
• $q_{t+1}(s,a)=q_t(s,a),\forall (s,a)\ne (s_t,a_t)$

Q-learing和Sarsa在公式上的唯一区别是TD target（公式的红字部分）。每个状态下，Q-learing在对action进行优化，但Sarsa只是依据当前策略选择action。

Sarsa求解贝尔曼方程，但Q-learing求解贝尔曼最优方程：
$q(s,a)=\mathbb{E}[R_{t+1}+\gamma {\max }_{a}q(s_{t+1},a)|S_t=s,A_t=a],\forall s,a$

此外，Sarsa属于on-policy算法，而Q-learing属于off-policy算法。

• Sarsa所需的$a_{t+1}$依赖于${\pi }_t$，之后根据动作值估计来更新策略为${\pi }_{t+1}$，可见其行为策略与目标策略相同
• Q-learing所需的数据为$\{(s_t,a_t,r_{t+1},s_{t+1})\}$，这4个变量都不依赖于特定策略（或者说可以由任意策略生成），因此其行为策略与目标策略可以不同
  • *二者相同时，Q-learing即为on-policy

Q-learing算法步骤（off-policy）：
由行为策略${\pi }_B$生成若干episode，每个episode包含 { s 0 , a 0 , r 1 , s 1 , a 1 , r 2 , ⋯   } \{ s_0, a_0, r_1, s_1, a_1, r_2, \cdots \} {s0​,a0​,r1​,s1​,a1​,r2​,⋯}。

• *例子：${\pi }_B$可以取$\epsilon =1$的ε-Greedy，保证对每个动作等概率探索

在每个episode的每个时间步$t=0,1,2,\cdots$中：

• 更新最优动作值（q-value）的估计：Q-learing的公式，略
• 更新目标策略${\pi }_T$：${\pi }_{T,t+1}=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }a={\mathrm{argmax}}_a{q}_{t+1}(s_t,a)\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$
  • 是greedy，但不是ε-greedy（不需要探索）

对于off-policy的Q-learing而言，行为策略的探索性越强，其目标策略收敛于最优策略的速度越快。

🟡TD算法汇总

所有估计动作值的TD算法可以由下式统一表示：
$$q_{t+1}(s_t,a_t)=q_t(s_t,a_t)-{\alpha }_t(s_t,a_t)[q_t(s_t,a_t)-{\bar{q}}_t]$$
其中，${\bar{q}}_t$为TD target，而TD算法的目标即使得$q_t(s_t,a_t)$接近${\bar{q}}_t$，或者说缩小TD error（$q_t(s_t,a_t)-{\bar{q}}_t$）。

不同算法的差异在于${\bar{q}}_t$的形式不同：【注意到，TD和MC实际上是有关联的，主要差异是采样的数量不同】

算法	${\bar{q}}_t$形式
Sarsa	${\bar{q}}_t=r_{t+1}+\gamma q_t(s_{t+1},a_{t+1})$
Expected-Sarsa	${\bar{q}}_t=r_{t+1}+\gamma {\sum }_a{\pi }_t(a|s_{t+1})q_t(s_{t+1},a)$
n-step Sarsa	${\bar{q}}_t=r_{t+1}+\gamma r_{t+2}+\cdots +{\gamma }^n{q}_t(s_{t+n},a_{t+n})$
Q-learning	${\bar{q}}_t=r_{t+1}+\gamma {\max }_a{q}_t(s_{t+1},a)$
Monte Carlo	${\bar{q}}_t=r_{t+1}+\gamma r_{t+2}+\cdots +{\gamma }^{\infty }{r}_{t+\infty }$（均为单步折扣奖励，没有$q_t$）

不同算法求解的公式也不同：

*随机近似（SA）&随机梯度下降（SGD）

【*注：本节内容主要是为理解时序差分的原理提供资料，但与强化学习核心内容关系不大，可以跳过。】

考虑求解均值估计（Mean Estimation）问题，MC利用采样的算数均值来估计期望，但缺点是需要等待所有样本收集完毕后再进行计算。
另一种求解思路：用增量和迭代方法进行计算，有多少数据利用多少数据。

举例：如何增量和迭代式地计算均值？
设$w_{k+1}=\frac{1}{k}{\sum }_{i=1}^k{x}_i$，可知$w_{k+1}=w_k-\frac{1}{k}(w_k-x_k)$。基于该方式，只需要基于过去的均值计算结果$w_k$和新采样$x_k$，即可计算出总体均值【思路上有点像是EWMA】。采样数量越多，计算结果越准确。

可以对上式进一步推广，得到$w_{k+1}=w_k-{\alpha }_k(w_k-x_k)$，其中${\alpha }_k>0$。可以证明，当${\alpha }_k$满足一定条件时，其迭代的计算结果会收敛至期望值。这是一种特殊的随机近似（SA）/随机梯度下降（SGD）算法。

随机近似（Stochastic Approximation，SA）：一类随机迭代算法，适用于方程求解或优化问题，但不需要目标函数/方程的表达式/导数形式。

Robbins-Monro（RM）算法

目标：在不知道$g(w)$的具体形式的情况下（视作黑盒），求解$g(w)=0$，设其解为$w^{\ast }$。
*$g(w)$须为单调递增

RM算法：
$$w_{k+1}=w_k-a_k\tilde{g}(w_k,{\eta }_k)$$

• $w_k$：对$w^{\ast }$的第$k$次估计
• $\tilde{g}(w_k,{\eta }_k)=g(w_k)+{\eta }_k$，其中${\eta }_k$是噪声，因此$\tilde{g}$表示对$g$的带有噪声的观测
• $a_k>0$：系数

RM算法依赖于数据：

• 输入序列： { w k } \{w_k\} {wk​}
• 带噪声的输出序列： { g ~ ( w k , η k ) } \{\tilde{g} (w_k, \eta_k)\} {g~​(wk​,ηk​)}

RM定理（收敛性）：在RM算法中，当以下三个条件成立时，$w_k$会按照概率1（w.p.1）收敛至$w^{\ast }$

1. $g(w)$的梯度需满足：$0<c_1\le {\nabla }_{w}g(w)\le c_2,\forall w$
   1. $g$须为单调递增，以保证$g(w)=0$的解存在且唯一
   2. $g$的梯度（对于多元函数，导数沿梯度方向取最大值）须有上界，以避免函数发散
2. $a_k$需满足：${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k=\infty$且${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k^2<\infty$
   1. 平方和小于无穷：随着$k\to \infty$，$a_k$收敛至0
   2. 和等于无穷：$a_k$收敛至0的速度不能太快
3. ${\eta }_k$需满足：$\mathbb{E}[{\eta }_k|{\mathcal{H}}_k]=0$且$\mathbb{E}[{\eta }_k^2|{\mathcal{H}}_k]<\infty$
   1. ${\eta }_k$的均值为0且方差有界
   2. 常见情形： { η k } \{\eta_k\} {ηk​}为独立同分布随机序列（但不要求是正态分布）

$a_k$的常见选择：$a_k=\frac{1}{k}$（或非常小的常数，为了避免最近采样的权重下降）

• ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k=\infty$

欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)
$\gamma ={\lim }_{n\to \infty }({\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n)\approx 0.557$
当$n\to \infty$时，$\ln n\to \infty$，因此可知${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}=\infty$

• ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k^2<\infty$

巴塞尔问题（Basel Problem）
${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}<\infty$

随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）

SGD是RM算法的一种特殊情况。

目标：求解以下优化问题
$$\underset{w}{\min }J(w)=\mathbb{E}[f(w,X)]$$

• $w$：待优化参数
• $X$：随机变量，$\mathbb{E}$是关于$X$的期望
• $w$与$X$可以是标量或向量，函数$f(\cdot )$为标量

*最小化用梯度下降，最大化用梯度上升

求解方法1：GD
$w_{k+1}=w_k-{\alpha }_k{\nabla }_w\mathbb{E}[f(w_k,X)]=w_k-{\alpha }_k\mathbb{E}[{\nabla }_{w}f(w_k,X)]$

• 缺陷：期望难以直接计算

求解方法2：BGD（Batch Gradient Descent），基于数据采样计算期望
$\mathbb{E}[{\nabla }_{w}f(w_k,X)]\approx \frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{\nabla }_{w}f(w_k,x_i)$（$n$次采样）
$w_{k+1}=w_k-{\alpha }_k\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{\nabla }_{w}f(w_k,x_i)$

• 缺陷：$w_k$的每次迭代都需要很多采样

求解方法3：SGD
$$w_{k+1}=w_k-{\alpha }_k{\nabla }_{w}f(w_k,x_k)$$

• 与GD的差异：将真实梯度（true gradient）$\mathbb{E}[{\nabla }_{w}f(w_k,X)]$替换为随机梯度（stochastic gradient）${\nabla }_{w}f(w_k,x_k)$
• 与BGD的差异：仅采样一次（$n=1$）

SGD收敛性：若以下三个条件成立，则$w_k$会按照概率1（w.p.1）收敛至$w^{\ast }$（${\nabla }_w\mathbb{E}[f(w,X)]=0$的解）

1. $0<c_1\le {\nabla }_w^{2}f(w,X)\le c_2$（二阶梯度）
   1. $f(\cdot )$是严格凸函数（标量）
2. ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k=\infty$且${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k^2<\infty$
3. { x k } k = 1 ∞ \{x_k\}_{k=1}^{\infin} {xk​}k=1∞​为独立同分布（i.i.d）

SGD的收敛模式：

• 当$w_k$距离$w^{\ast }$较远时，SGD的表现与GD相似，即$w_k$随着迭代不断向$w^{\ast }$逼近
• 当$w_k$距离$w^{\ast }$较近时，SGD会表现出较大的随机性，即$w_k$在$w^{\ast }$附近波动

BGD / MBGD / SGD

算法	形式	说明
BGD	$w_{k+1}=w_k-{\alpha }_k\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{\nabla }_{w}f(w_k,x_i)$	基于所有采样，最接近于均值
MBGD (mini batch)	$w_{k+1}=w_k-{\alpha }_k\frac{1}{m}{\sum }_{j\in {\mathcal{I}}_k}{\nabla }_{w}f(w_k,x_j)$	基于部分采样（$|{\mathcal{I}}_k|=m\le n$）
SGD	$w_{k+1}=w_k-{\alpha }_k{\nabla }_{w}f(w_k,x_k)$	基于单个采样

MBGD可以视作BGD和SGD的一种中间情况

• $m=1$：MBGD即为SGD
• $m=n$：MBGD接近于BGD，但不完全相同
  • BGD对每个采样使用1次，MBGD是从$n$个采样中随机选取$n$次，每个采样被使用的次数可能超过一次【大概是有放回和不放回的区别】