人类大脑有数百亿个相互连接的神经元（如下图(a)所示），这些神经元通过树突从其他神经元接收信息，在细胞体内综合、并变换信息，通过轴突上的突触向其他神经元传递信息。我们在博文《最优化方法Python计算：无约束优化应用——逻辑回归模型》中讨论的逻辑回归模型（如下图(b)所示）与神经元十分相似，由输入端接收数据$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$，作加权和$\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i$加上偏移量$b$，即$\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+b$，用逻辑函数将其映射到区间$(0,1)$内，然后将如此变换所得的信息$y$输出。

这启发人们将诸多逻辑回归模型分层连接起来，构成人工神经网络，创建出多层感应模型。下图展示了一个包括输入层、输出层和两个隐藏层（图中阴影部分）的人工神经网络。图中，黑点表示数据节点，圆圈表示人工神经元的处理节点。

记逻辑函数$\text{sigmoid}(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}=\phi (x)$。设多层感应模型的输入数据为$n$维向量$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$。不算输入层，模型连同输出层及隐藏层共有$l$层。记$m_0=n$，第$i$层（$0<i\le l$）含有$m_i$个神经元。于是，相邻的两层，第$i-1$和第$i$之间共有$(m_{i-1}+1)m_i$个待定参数。因此，模型具有
$$p=\sum _{i=1}^l(m_{i-1}+1)m_i$$
个待定参数，组织成$p$维向量$\mathbf{w}=\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ ⋮\\ w_p\end{array}\right)$。设$k_0=0$，对$1<i\le l$，$k_i=\sum _{t=0}^{i-1}(m_t+1)m_{t+1}$，记$(m_{i-1}-1)\times m_i$矩阵
$${\mathbf{w}}_i=\left(\begin{array}{ccc}{w}_{k_i+1}& \cdots & w_{k_i+(m_{i-1}+1)(m_i-1)+1}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ w_{k_i+(m_{i-1}+1)}& \cdots & w_{k_i+(m_{i-1}+1)m_i}\end{array}\right),i=1,2\cdots ,l$$
定义函数
$$F(\mathbf{w};\mathbf{x})=\underset{l}{\underbrace{\phi ((\cdots \phi }}(({\mathbf{x}}^{\top },1){\mathbf{w}}_1),1),\cdots ),1){\mathbf{w}}_l).$$
该函数反映了数据从输入层到输出层的传输方向，称为前向传播函数，作为多层感应模型的拟合函数。按此定义，我们构建如下的多层感应模型类

import numpy as np												#导入numpy
class MLPModel(LogicModel):										#多层感应模型
    def construct(self, X, hidden_layer_sizes):					#确定网络结构
        if len(X.shape)==1:										#计算输入端节点数
            k = 1
        else:
            k = X.shape[1]
        self.layer_sizes = (k,)+hidden_layer_sizes+(1,)  
    def patternlen(self):										#模式长度
        p = 0
        l = len(self.layer_sizes)								#总层数
        for i in range(l-1):									#逐层累加
            m = self.layer_sizes[i]
            n = self.layer_sizes[i+1]
            p += (m+1)*n
        return p
    def F(self, w, x):											#拟合函数
        l = len(self.layer_sizes)								#总层数
        m, n = self.layer_sizes[0],self.layer_sizes[1]
        k = (m+1)*n												#第0层参数个数
        W = w[0:k].reshape(m+1,n)								#0层参数折叠为矩阵
        z = LogicModel.F(self, W, x)							#第1层的输入
        for i in range(1, l-1):									#逐层计算
            m = self.layer_sizes[i]								#千层节点数
            n = self.layer_sizes[i+1]							#后层节点数
            W = w[k:k+(m+1)*n].reshape(m+1,n)					#本层参数矩阵
            z = np.hstack((z, np.ones(z.shape[0]).				#本层输入矩阵
                           reshape(z.shape[0], 1)))
            z = LogicModel.F(self, W, z)						#下一层输入
            k += (m+1)*n										#下一层参数下标起点
        y = z.flatten()											#展平输出
        return y
    def fit(self, X, Y, w = None, hidden_layer_sizes = (100,)):	#重载训练函数
        self.construct(X, hidden_layer_sizes)
        LogicModel.fit(self, X, Y, w)
class MLPRegressor(Regression, MLPModel):
    '''神经网络回归模型'''

MLPModel继承了LogicModel类（详见博文《最优化方法Python计算：无约束优化应用——逻辑回归模型》）在MLPModel中除了重载模式长度计算函数patternlen、拟合函数F和训练函数fit外，增加了一个LogicModel类所没有的对象函数construct，用来确定神经网络的结构：有少层，各层有多少个神经元。
具体而言，第3~8行的construct函数，利用传递给它的输入矩阵X和隐藏层结构hidden_layer_sizes，这是一个元组，计算神经网络的各层结构。第4~7行的if-else分支按输入数据X的形状确定输入层的节点数k。第8行将元组(k,1)和(1,)分别添加在hidden_layer_sizes的首尾两端，即确定了网络结构layer_sizes。
第9~16行重载了模式长度计算函数patternlen。第11行根据模型的结构元组layer_sizes的长度确定层数l。第12~15行的for循环组成计算各层的参数个数：m为前层节点数（第13行），n为后层节点数（第14行），则第15行中(m+1)*n就是本层的参数个数，这是因为后层的每个节点的输入必须添加一个偏移量。第16行将算得的本层参数个数累加到总数p（第10行初始化为0）。
第17~32行重载拟合函数F，参数中w表示模式$\mathbf{w}\in {\text{R}}^p$，x表示自变量$({\mathbf{x}}^{\top },1)$。第18行读取网络层数l。第19~22行计算第1隐藏层的输入：第19行读取第0层节点数m第1隐藏层节点数n。第20行计算第0层参数个数k（也是第1层参数下标起点）。第22行构造第0层的参数矩阵W。第22行计算$\phi (({\mathbf{x}}^{\top },1){\mathbf{w}}_1)$，作为第1隐藏层的输入z。第23~20行的for循环依次逐层构造本层参数矩阵${\mathbf{w}}_i$（第26行）和输入$({\mathbf{z}}_i^{\top },1)$（第27~28行），第30行计算下一层的输入$\phi (({\mathbf{z}}_i^{\top },1){\mathbf{w}}_i)$为z，第30行更新下一层参数下标起点k。完成循环，所得y因为是矩阵运算的结果，第31层将其扁平化为一维数组。第33~35行重载训练函数fit。与其祖先LogicModel的（也是LineModel）fit函数相比，多了一个表示网络结构的参数hidden_layer_sizes。如前所述，这是一个元组，缺省值为(100,)，意味着只有1个隐藏层，隐藏层含100个神经元。函数体内第34行调用自身的construct函数，构造网络结构layer_sizes，供调用拟合函数F时使用。第35行调用祖先LogicModel的fit函数完成训练。
第36~37用Regression类和MLPModel类联合构成用于预测的多层感应模型类MLPRegressor。
理论上，只要给定足够多的隐藏层和层内所含神经元，多层感应模型能拟合任意函数。
例1 用MLPRegressor对象拟合函数$y=x^2$。
解：先构造训练数据：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import uniform
np.random.seed(2023)
x = uniform.rvs(-1, 2, 50)
y = (x**2)
plt.scatter(x, y)
plt.show()

第5行产生50个服从均匀分布$U(0,1)$的随机数值，赋予x。第6行计算x的平方赋予y。第7行绘制$(x,y)$散点图。

用仅含一个隐藏层，隐藏层中包含3个神经元的多层感应器拟合$y=x^2$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import uniform
.random.seed(2023)
x = uniform.rvs(-1, 2, 50)
y = (x**2)
nnw = MLPRegressor()
nnw.fit(x,y,hidden_layer_sizes = (3,))
yp, acc = nnw.test(x, y)
plt.scatter(x, yp)
plt.show()
print('1隐藏层含3个神经元网络拟合均方根误差%.4f'%acc)

前5行与前同。第6行创建MLPRegressor类对象nnw。第7行用x，y训练nnw为含1个隐藏层，隐藏层含3个神经元的神经网络。第8行调用nnw的test函数，用返回的yp绘制$(x,y_p)$散点图。

训练中...，稍候
726次迭代后完成训练。
1隐藏层含3个神经元网络拟合均方根误差0.0238

用含两个隐藏层，分别包含7个、3个神经元的多层感应器拟合$y=x^2$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import uniform
.random.seed(2023)
x = uniform.rvs(-1, 2, 50)
y = (x**2)
nnw = MLPRegressor()
nnw.fit(x, y, hidden_layer_sizes = (7, 3))
yp, acc = nnw.test(x,y)
plt.scatter(x, yp)
plt.show()
print('2隐藏层含各7，3个神经元网络拟合方根误差%.4f'%acc)

与上一段代码比较，仅第8行训练nnw的网络换成两个隐藏层，分别包含7个、3个神经元的多层感应器。运行程序，输出

训练中...，稍候
1967次迭代后完成训练。
2隐藏层含各7，3个神经元网络拟合方根误差0.0053

比前一个显然拟合得更好，但也付出了计算时间的代价。
Say good bye, 2023.