Unity中Shader观察空间推导

文章目录

前言
一、本地空间怎么转化到观察空间
二、怎么得到观察空间的基向量
- 1、Z轴向量
- 2、假设观察空间的 Y~假设~ = (0,1,0)
- 3、X = Y 与 Z 的叉积
- 4、Y = X 与 Z 的叉积
三、求 [V~world~]^T^
- 1、求V~world~
- 2、求[V~world~]^T^
四、求出最后在Unity中使用的公式
- 1、偏移坐标轴
- 2、把平移的坐标构建成之前文章中使用的平移矩阵
- 3、化简我们的矩阵

前言

在上一篇文章中，我们推演了矩阵几何计算。

Unity中Shader矩阵变换的几何体现

在这篇文章中，我们来推导一下观察空间（摄像机空间）。

一、本地空间怎么转化到观察空间

可以根据上篇文章的推导得出：

在两个不同角度坐标系下的坐标信息转化可以由如下公式算出。

P_view = [W_view] * P_world

[W_view] = [V_world]^-1 = [V_world]^T

P_view = [V_world]^T * P_world

P_view顶点在观察空间下的坐标
P_world顶点在世界空间下的坐标
W_view世界空间的基向量在观察空间下的矩阵
V_world观察空间的基向量在世界空间下的矩阵

二、怎么得到观察空间的基向量

我们的观察空间使用的是右手坐标系

在这里插入图片描述

1、Z轴向量

Z轴正方向是从模型顶点指向摄像机方向
Z = ViewPos - ViewTarget

现在只知道 Z轴，还需要求 X Y轴。

2、假设观察空间的 Y_假设 = (0,1,0)

X = Y 与 Z 的叉积
Y = X 与 Z 的叉积

在这里插入图片描述

3、X = Y 与 Z 的叉积

请添加图片描述

4、Y = X 与 Z 的叉积

请添加图片描述
最后，得到的就是视图空间坐标轴方向上的向量，归一化后即可作为基向量使用

三、求 [V_world]^T

1、求V_world

把基向量一列一列的写来排列得到 V_world

$\begin{matrix} V~worldXx~&V~worldYx~&V~worldZx~\\ V~worldXy~&V~worldYy~&V~worldZy~\\ V~worldXz~&V~worldYz~&V~worldZz~\\ \end{matrix}$

2、求[V_world]^T

这里原本是求逆矩阵，但是基向量矩阵是正交矩阵,所以逆矩阵 = 转置矩阵

$\begin{matrix} V~worldXx~&V~worldXy~&V~worldXz~\\ V~worldYx~&V~worldYy~&V~worldYz~\\ V~worldZx~&V~worldZy~&V~worldZz~\\ \end{matrix}$

四、求出最后在Unity中使用的公式

P_view = [V_world]^T * P_world

1、偏移坐标轴

在之前的步骤中，我们只完成坐标系的旋转转化。
但是，我们的观察空间和世界空间的原点不在同一地方。
所以，需要进行平移变换

在这里插入图片描述

2、把平移的坐标构建成之前文章中使用的平移矩阵

$\begin{matrix} 1&0&0&-T~x~\\ 0&1&0&-T~y~\\ 0&0&1&-T~z~\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix}$

则我们的公式会变成如下样子：

3、化简我们的矩阵

在这里插入图片描述

这两个矩阵相乘，最后的一列的结果，可以化简为：

$\begin{matrix} -(V~worldX~ dot T) \\ -(V~worldY~ dot T) \\ -(V~worldZ~ dot T) \\ 1\\ \end{matrix}$

最后，公式化简为：

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